Решение квадратных уравнений на факультативах

Факультативный курс по алгебре в 8 классе «Методы решения квадратных уравнений»
элективный курс по алгебре (8 класс) на тему

Данный факультатив по математике для учащихся 8-ого класса относится к группе факультативов, которые предназначены как для дополнения знаний учащихся, полученных на уроках, так и для их углубления. В школьной программе рассматриваются подробно пять способов решения квадратных уравнений, а в математической науке их больше. На факультативе школьники знакомятся с новыми способами решения уравнений и заглядывают в будущее, где это может пригодиться. Материал факультатива «Методы решения квадратных уравнений» содержит страницы истории математики, а также теоретические выкладки для способов решения квадратных уравнений, алгоритмы, показано практическое применение решения квадратных уравнений различными способами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Факультативный курс по алгебре в 8 классе «Методы решения квадратных уравнений»

§1. Программа факультативного курса

1. Пояснительная записка

Математика есть часть общего образования, которое признано содействовать гармоническому развитию личности, формировать ее интеллект и должно дать опору в будущей профессиональной деятельности. Среди предметов, формирующих интеллект, вне всякого сомнения, на первом месте находится математика.

Математическое образование должно способствовать тому, чтобы каждый человек:

• освоил навыки логического и алгоритмического мышления (научился анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, понимать смысл поставленной задачи, схематизировать, отчетливо выражать свои мысли и т.п.), а также развил воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения и т.п.);
• овладел многими конкретными математическими знаниями, необходимыми для ориентации в окружающем мире и для подготовки к будущей профессиональной деятельности;
• осознал этические принципы человеческого общежития (интеллектуальную честность, объективность, стремление к постижению истины; эти принципы закладываются и другими предметами, но роль математики в осознании их очень велика и не может быть заменена ничем другим);
• развил в себе эстетическое восприятие мира (постижение красоты интеллектуальных достижений, идей и концепций, познал радость творческого труда).

Предлагаемый факультативный курс по алгебре в 8-ом классе «Методы решения квадратных уравнений» отвечает вышеизложенным требованиям, предъявляемым к математическому образованию. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся и воспитания у них математической культуры, культуры устной и письменной математической речи. Учащиеся учатся моделировать реально происходящие процессы, т.е. создавать математическую модель задачи, а также находить способы и применять различные методы для решения задачи. Факультативный курс посвящен одной из самых важных тем – «Квадратные уравнения».

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида, которые представляют собой большой и важный класс уравнений.

При решении многих задач на старшей ступени обучения, например, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, приходиться обращаться к нахождению корней квадратного трехчлена, области значений квадратичной функции, разложению квадратного трехчлена на множители, определению знака квадратного трехчлена. В последнее время в материалах итоговой аттестации, ЕГЭ по математике и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения предлагаются уравнения и неравенства второй степени или уравнения и неравенства, сводящиеся к ним.

Данный факультатив по математике для учащихся 8-ого класса относится к группе факультативов, которые предназначены как для дополнения знаний учащихся, полученных на уроках, так и для их углубления. В школьной программе рассматриваются подробно пять способов решения квадратных уравнений, а в математической науке их больше. На факультативе школьники знакомятся с новыми способами решения уравнений и заглядывают в будущее, где это может пригодиться.

К истории математики на уроках обращаемся очень редко, часто учащиеся не знают ученых, которые внесли свой вклад в развитие математической науки. Материал факультатива «Методы решения квадратных уравнений» содержит страницы истории математики, а также теоретические выкладки для способов решения квадратных уравнений, алгоритмы, показано практическое применение решения квадратных уравнений различными способами.

Факультативный курс по алгебре в 8 классе «Методы решения квадратных уравнений» поможет учащимся подготовиться к итоговой аттестации за курс основной школы, оценить свои способности к математике на повышенном уровне и не исключено, что поможет сделать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения. То есть, можно отметить, что данный факультативный курс является курсом обобщения и систематизации знаний учащихся по названной теме, а также пропедевтическим и предпрофильным курсом.

2. Цели и задачи факультативного курса

Главной задачей курса является более широкое и углубленное рассмотрение различных видов квадратных уравнений, выходящих своей сложностью за рамки школьной программы; выработка умения выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений, а также составлять алгоритмы для способов решения квадратных уравнений. Познакомить с историческими сведениями о квадратных уравнениях – задача факультатива.

В ходе изучения названного курса преследуются следующие цели:

• расширение и углубление знаний и умений учащихся по математике;
• развитие способностей и интересов учащихся;
• развитие математического мышления;
• формирование активного познавательного интереса к предмету;
• обучение самостоятельному анализу учебной деятельности;
• формирование коммуникативных навыков и волевых качеств личности.

В результате изучения курса учащиеся должны:

• научиться решать квадратное уравнение различными способами;
• правильно применять основные понятия при решении задач;
• уметь работать с дополнительной литературой;
• создавать алгоритм и действовать по нему;
• закрепить навык индивидуальной работы, работы в группах.

Кроме того, одна из главных задач факультатива в том, чтобы довести требования обязательных результатов до сознания каждого ученика. С этой целью необходимо использовать разнообразные формы и методы обучения.

3. Методические рекомендации

Перед учителем математики стоит задача – так управлять учебной деятельностью, чтобы помочь учащимся как можно полнее проявить свои способности, развить самостоятельность, инициативу, творческий потенциал.

Материал подобран таким образом, чтобы в нем реализовались задачи курса. В начале каждой темы рассматривается необходимый теоретический материал. Имеется достаточное количество упражнений различной сложности, есть задания для самостоятельной работы.

При проведении занятий планируется использовать различные формы работы с учащимися. Это и работа в группах, парах, индивидуально.

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности на факультативе являются: изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, дискуссии, решение задач, доклады учащихся и т.д.

Динамика интереса учащихся к курсу будет осуществляться в виде теста на первом занятии, во время выступлений учащихся на текущих занятиях, защиты задач, решенных индивидуально. На последнем занятии планируется контроль в виде индивидуальных заданий, защита проектов и рефератов учащихся.

Отметки ставить не планируется.

Критерии и способы отслеживания результатов:

• знания и практические навыки учащихся;
• рефлексивные способности;
• самостоятельность, креативность, инициативность.

способы отслеживания результатов:

• самоанализ учащимися собственных умений, навыков;
• наблюдение за процессом деятельности;
• анализ самостоятельных работ учащихся.

Так же предусмотрен список литературы, как для учителя, так и для учащихся.

4. Учебно-тематическое планирование факультативного курса

Факультатив «Методы решения квадратных уравнений» предполагает 16 занятий по одному часу в неделю.

Реализация программы осуществляется за счет часов, отводимых на выполнение школьного компонента.

Факультативное занятие : Квадратные уравнения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ГУО «ВОЛЫНЕЦКАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА ВЕРХНЕДВИНСКОГО РАЙОНА»

по теме «Квадратные уравнения»

Подготовила учитель математики ГордынскаяЛ.И.

2016/2017 учебный год

факультативное занятие в 9 классе

Тема: «Квадратные уравнения»

Цель : Актуализировать основные знания, умения и навыки по данной теме, полученные на уроках математики, способствовать формированию навыков решения квадратных уравнений, основанным на свойстве коэффициентов

Образовательные: научить использовать нестандартный способ решения полных квадратных уравнений и определять условия, когда его применение наиболее рационально

Воспитательные : умение слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, строить продуктивное взаимодействие между сверстниками, воспитывать ответственность и уважение

Развивающие: умение обрабатывать и использовать информацию.

Форма работы обучающихся: фронтальная работа с классом, работа в парах, индивидуальная работа учеников у доски, самостоятельная работа

Материалы : презентация в Mi crosoft PowerPoint , дидактические карточки

1.Организационный момент. Мотивация учебной деятельности:

Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (выслушиваются варианты ответов учеников). Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный Ал – Бируни:«Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». (Слайд 1)

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

2)Определение темы занятия

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы», так говорил математик С.Коваль

Итак, тема занятия: «Квадратные уравнения». Записать тему в тетради. (Слайд 2)

3)Определение цели урока

Ребята мы с вами проходили эту тему в 8 классе, но постоянно сталкиваемся с решением квадратных уравнений как на уроках алгебры, так и на уроках геометрии. Умения решать квадратные уравнения понадобятся нам и при изучении следующей темы по алгебре «Квадратные неравенства», а также для сдачи выпускного экзамена, давайте определим цель нашего сегодняшнего занятия:

-Повторить решение квадратных уравнений ;

— ознакомиться с нестандартным способами решения квадратных уравнений способ основанный на коэффициенте.( Вывешивается на доске)

Пожелание удачи (Слайд 3)

2)Актуализация знаний(Слайд 4)

«Вспоминай-ка» (Устно) Решите кроссворд

Ключевое слово -государство Древнего мира, где еще две тысячи лет тому назад умели решать квадратные уравнения.

Как называется уравнение вида ах 2 +вх +с=0?

Название выражения- в 2 — 4 а с

Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D > 0 ? (По каким формулам найти корни уравнения)

Сколько корней имеет квадратное уравнение если D = 0 ? (По какой формуле найти корень уравнения)

Чему равен корень уравнения ах 2 = 0 ?

Как называется квадратное уравнение, где коэффициенты в или с равны нулю?

Как называется квадратное уравнение, в котором первый коэффициент а =1

Ключевое слово Вавилон

«Выбирай-ка» — тесты и ответы

На столах у вас листы, задание под номером один

Решение теста (самоконтроль) : (с последующей проверкой) (Слайд 5)

1.Найди коэффициенты уравнения: 8Х- 11Х 2 +2=0

А) а=8,в=2, с=-11 В) а=11, в=-8,с=2 С)а=-11,в=8, с=2 Д)а=8, в=-11 с=2

2.Вычислите дискриминант уравнения: 2Х 2 –4Х -3=0

3.Решите уравнение : Х 2 -4 =0

А)2 В)2 С)16 Д) нет решения

Ответы: 1-С; 3-С ;4-В

Многие ученые-математики занимались изучением уравнений, их классификацией, способами решения. Это и Виет, Фибоначчи, Ферма. А для того, чтобы узнать имя еще одного математика, для этого проведем математическое «Поле чудес». ( Слайд 6 )

Задание 2: (работа в парах) Вы должны установить соответствие между уравнением и способом решения квадратных уравнений. (необходимо предлагать более простой рациональный способ). Выбираете способ решения находите уравнение, которое решается данным способом и рядом около способа решения записываете букву

Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов? Т

В результате получили имя Диофант .

3.Историческая минутка (Сообщение учащегося)(Слайд 7)( 2 мин)

Греческий математик Диофант, живший в III веке, занимался решением уравнений с целыми коэффициентами различных видов, в том числе и квадратных. Его книга«Арифметика» содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений. Долгое время пытались отыскать общий способ решения диофантовых уравнений. Однако, в 1970 году Ленинградский математик Ю.В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Итак, повторим простейшие способы решения полных квадратных уравнений .

Давайте повторим решение квадратных уравнений по т. Виета. Сформулируем теорему Виета и обратную ей

Теорема: Если приведенное квадратное уравнение имеет два корня, то сумма его корней равна коэффициенту при х , взятому с противоположным знаком (- в ), а произведение свободному члену.

Всегда ли можно применить т. Виета?

Нет, только когда

Задание 3 (взаимоконтроль) : (с последующей проверкой) (Слайд 9)

№ 1 Решите уравнение по теореме Виета:

№ 2 Найти сумму корней уравнения:

№ 3 Найти произведение корней уравнения (Решений нет) :

Сегодня мы познакомимся с новым методом позволяющим решать некоторые квадратные уравнения очень быстро.

4. Овладение новым знанием:

Предлагаю решить четыре уравнения.

(учитель вызывает к доске четырех учащихся, остальные учащиеся решают 1 вариант- 1 уравнение, 2 вариант -3 уравнение)

Внесем корни в таблицу. (Слайд 9)

Какую особенность корней этих уравнений вы заметили?

Заполняют таблицу вместе с учителем.

Первое и второе уравнения имеют корень 1, а второй корень ; третье и четвертое имеют корень -1, а второй .

Всегда ли и для всех уравнений это будет выполняться? Проверим!

Нет не для всех. Я предлагаю найти вам сумму коэффициентов каждого уравнения. Что получилось?

Для 1 и 2 – го: ; для 3 и 4 – го:

Мы с вами сделали «открытие» (метод коэффициентов).

Способ, основанный на свойстве коэффициентов. «(2мин)

Учащимся предлагается изучить алгоритм решения данным способом и решить предложенные уравнения, и далее показать их решение на доске (обучающиеся работают в парах)

Алгоритм решения квадратного уравнения, основанный на свойстве коэффициентов.

2. В случае выполнения условий находят корни

3. Выполняют проверку по теореме обратной теореме Виета

5.Физминутка (2 мин)

Решите уравнение . 6a 2 -2a+14=0 (D, если нет корней встаньте и подойдите к доске, если есть решения поменяйтесь местами друг с другом.

Решите уравнения: у доски 2ученика решают (Слайд 8)

Остальные учащиеся:1 вариант -1 уравнение, 2 вариант -2 уравнение

Учитель задает вопрос о преимуществе данного способа (Позволяет решать квадратные уравнения с большими коэффициентами очень быстро)

7.Самостоятельная работа: (с последующей проверкой) (Слайд 9) (4 мин)

Вариант 1 Вариант 2

Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

а) 3 Х² — 5 Х + 2 = 0 а) 4 Х² — 12Х + 8 = 0

б)132Х² + 247Х + 115 = 0 б) 188 Х² + 332Х + 144 = 0

Учитель: Зачем необходимо уметь решать квадратные уравнения различными способами? Почему решение квадратных уравнений имеет такое большое значение? (знание различных способов решения квадратных уравнений позволяет экономить время на экзамене, упрощает выполнение задания, снижает количество ошибок; решение квадратных уравнений лежит в основе решения более сложных уравнений, таких как тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических, используется в других дисциплинах, например, в физике)

Учитель совместно с учащимися подводит итоги занятия (выполнение всех поставленных задач, достижение цели). Ребята давайте вернемся к цели, которые были поставлены в начале урока, достигли ли мы цели?

Что нового вы узнали на занятии?

Все ли было понятно?

Возникли ли трудности?

Подойдите к доске и приклейте на нее стикеры, которые будут соответствовать удовольствию полученному от урока, выраженному в процентах

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 %

И закончить наше занятие хотелось бы словами великого математика У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Алгоритм решения квадратного уравнения, основанный на свойстве коэффициентов.

2. В случае выполнения условий находят корни

Алгоритм решения квадратного уравнения, основанный на свойстве коэффициентов.

2. В случае выполнения условий находят корни

Алгоритм решения квадратного уравнения, основанный на свойстве коэффициентов.

2. В случае выполнения условий находят корни

Алгоритм решения квадратного уравнения, основанный на свойстве коэффициентов.

2. В случае выполнения условий находят корни

1.Найди коэффициенты уравнения: 8Х- 11Х 2 +2=0

А) а=8,в=2, с=-11 В) а=11, в=-8,с=2 С)а=-11,в=8, с=2 Д)а=8, в=-11 с=2

2.Вычислите дискриминант уравнения: 2Х 2 –4Х -3=0

3.Решите уравнение : Х 2 -4 =0

А)2 В)2 С)16 Д) нет решения

7.Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов?

№ 1 Решите уравнение по теореме Виета:

№ 2 Найти сумму корней уравнения:

№ 3 Найти произведение корней уравнения

Вариант 1 Вариант 2

Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

а) 3Х² — 5Х + 2 = 0 а) 4 Х² — 12Х + 8 = 0

б)132Х² + 247Х + 115 = 0 б) 188 Х² + 332Х + 144 = 0

Квадратные уравнения (способы решения)

Разделы: Математика

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 находят по формуле

Выражение D = b 2 — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Полное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

Решение неполного квадратного уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1. имеет один корень z = 0, если а = 0;
2. имеет два действительных корня z_{1, 2} = ±√a
3. Не имеет действительных корней, если a 2 + x + 1 = 0.
   Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x 2 ; y = x + 1.

y = x 2 , квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.

Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.
Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.