Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k 2 − ac , а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x 2 + 6x − 16 = 0 . В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k .

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k , то есть 2k .

Например, число 10 можно представить как 2 × 5 .

В этом произведении k = 5 .

Число 12 можно представить как 2 × 6 .

В этом произведении k = 6 .

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7 .

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k .

В уравнении x 2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6 . Это число можно представить как 2 × 3 . В этом произведении k = 3 . Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x 2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8 .

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта ( D=b 2 − 4ac ), в формуле D₁ = k 2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac .

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3) . То есть k = −3 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5) . То есть k = −5 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2 k . Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k , нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k . Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k 2 − ac .

В выражении 4(k 2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k 2 − ac . Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k . Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k . Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k 2 − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k 2 − ac обозначается через D₁ . Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Решение квадратных уравнений
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение квадратных уравнений

Цели урока: Повторить основную формулу решения квадратных уравнений; Вывести формулу №2; Научить применять её к квадратным уравнениям с чётным вторым коэффициентом; Познакомить с приёмами устного решения квадратных уравнений с помощью дополнительных формул; Научить применять новые формулы к решению уравнений Воспитание трудолюбия, любознательности , ответственного отношения к учёбе

Проверка домашнего задания № 542 а)5х2= 9х+2 х1,2 === 2;-0,2 б)-х2 =5х -14 =0 х1,2 === — 7; 2 в) 6х+9 =х2 х1,2 = 3 +3;3 — 3; г ) z -5 = z 2 -25 х1,2 === 5 ; — 4 г ) z -5 = z 2 -25 х1,2 === 5 ; — 4 д ) у2 =52у -576 х1,2 === 36 ; -16 е ) 15 у2 -30 =22у +7 х1,2 === -1; 2 ж ) 25 p 2 -10 p +1=0 х= = 0,2 з ) 299х2 +100х =500- 101х2 х1,2 === 1; -1 № 543 а) 25=26х-х2 х2 -26х +25 =0 Д= b 2 – 4 ac =676-100 =576; Д >0 ,2 корня : х1,2 === 25 ;1 б ) 3х2 =10 -29х 3х2 +29х -10 =0 Д= b 2 – 4 ac =841+120= 961; Д >0 ,2 корня : х1,2 === -10 ; в )у2 = 4у +96 у2 — 4у -96 =0 Д= b 2 – 4 ac =16+384= 400; Д >0 ,2 корня : х1,2 === -8 ;12 г ) 3 p 2 +3=10р 3 p 2 — 10р +3 =0 Д= b 2 – 4 ac =100-36= 64; Д >0 ,2 корня : х1,2 === 3 ; д ) х2 -20х=20х+100 х2 -40х -100 =0 Д= b 2 – 4 ac =1600+400= 2000; Д >0 ,2 корня : х1,2 === 20+10; 20 -10; е ) 25х2 -13 х =10х2 -7 15х2 -13х +7 =0 Д= b 2 – 4 ac =169 -420= -259; Д 0, то х1,2 = = , где D 1 = k 2 –ас , если D 1 Конспект урока по алгебре в 8 классе

на тему «Решение квадратных уравнений по формуле №2

с чётным вторым коэффициентом»

1. Вывести формулу корней квадратного уравнения с четным вторым

2. Продолжить формирование навыка решений квадратных уравнений .

3.Расширение знаний и навыков решения квадратных уравнений.

4.Развитие интеллекта , сознательного отношения к учебе.

I .ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

1.В парах по заранее приготовленным заданиям на доске проверяют правильность выполненных уравнений.

Д=b 2 – 4ac=81+40=121,Д >0 ,2 корня :

Х 1,2 = ; х 1 =2; х 2 =-0,2

Д=b 2 – 4ac=25+56= 81; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = — 7; 2

Д=b 2 – 4ac=35+36=72; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = 3 +3 ;3 — 3 ;

Д=b 2 – 4ac=1+80=81; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = 5 ; — 4

Д=b 2 – 4ac=2704 -2304=400; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = 36 ; -16

е ) 15 у 2 -30 =22у +7

15 у 2 -22у -37 =0

Д=b 2 – 4ac=484 +2220=2704; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = -1; 2

ж ) 25p 2 -10p +1=0

Д=b 2 – 4ac=100-100=0; Д =0 ,1 корень : х= = 0,2

з ) 299х 2 +100х =500- 101х 2

400х 2 +100х-500 =0| : 100

Д=b 2 – 4ac=1+80 =81; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = 1; -1

Д=b 2 – 4ac=676-100 =576; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = 25 ;1

Д=b 2 – 4ac=841+120= 961; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = -10 ;

Д=b 2 – 4ac=16+384= 400; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = -8 ;12

Д=b 2 – 4ac=100-36= 64; Д >0 ,2 корня : х 1,2 = = = 3 ;

д ) х 2 -20х=20х+100

Д=b 2 – 4ac=1600+400= 2000; Д >0 ,2 корня :

х 1,2 = = = 20+10 ; 20 -10 ;

е ) 25х 2 -13 х =10х 2 -7

Д=b 2 – 4ac=169 -420= -259; Д корней нет

II. УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

1.Докажите ,что -1 является корнем уравнения : х 3 +1=0, х 2 -1=0,х 2 +х =0,х 2 +3х+2=0.

2.Укажите коэффициенты квадратного уравнения:

2х 2 -5х+10 = 0 , 2+х+х 2 =0 , х 2 +3х -0,5 =0 , 5х 2 -4х =3 , 0,5х 2 –х -3 =0 , 8х -7 =х 2

1-3х-2х 2 =0 , 11-2х 2 =4х.

3.Замените уравнение равносильным ему приведённым квадратным уравнением:

3х 2 -6х -12 =0; х 2 -3х +6=0; -х 2 +2х -2 =0; 10х 2 -20х +30 =0.

4.Имеет ли квадратное уравнение корни ; если имеет, то сколько; рациональными или иррациональными числами являются корни: 4х 2 -12х +9 =0 , 2х 2 +3х -9 =0;

5х 2 — х+2=0 ; 4х 2 +7х -1 =0; х 2 -3х +5 =0; 3х 2 +2х -2 =0; 3х 2 -11х +10=0; 25х 2 +10х+1=0

5.Подберите какие-нибудь значения с , при которых уравнение имеет корни:

х 2 -3х +с =0; 5х 2 — 2х +с =0.

III.АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ :

(проводится в виде диктанта с взаимопроверкой в парах, двое учащихся выполняют задания на отворотах доски)

1.Запишите общий вид квадратного уравнения и формулу дискриминанта:

2.При каком условии полное квадратное уравнение :

Имеет единственный корень | не имеет корней

3.Вычислите дискриминант квадратного уравнения :

3х 2 -8х — 3=0 | 2х 2 -3х -2=0

4.Решите квадратное уравнение :

х 2 -4х+9=0 | х 2 -6х+5=0

5. Подберите какое-нибудь значение с , при котором уравнение имеет корни:

х 2 -3х +с=0; | х 2 -2х+с=0.

IV. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА :

Поручить уч-ся самостоятельно изучить в течение 5 минут вывод формулы из п.21(стр.115).Затем сильный ученик выполняет вывод на доске , дети записывают в тетради. Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом , формулу корней удобно записывать в другом виде:

D=b 2 – 4ac=4k 2 -4ас =4(k 2 –ас),D1 = k 2 –ас; если D1>0, то

х 1,2 = = = , где D1 = k 2 –ас ,

Привести вторую запись данной формулы при условии , если в приведенном квадратном уравнении второй коэффициент чётный :

х 2 +2kх +с =0; , где b =2k , то есть : х 1,2 = (формулаII)

Для быстрого запоминания формулы привожу стихотворные строки:

« …б со знаком взяв обратным , мы на два его поделим ,

И от корня аккуратно знаком „минус-плюс” отделим ,

а под корнем очень кстати – половина б в квадрате, минус це (с) и вот решенье небольшого уравненья»

V. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО:

Решить на доске : №539 (а,б,в,ж)

а )3х 2 -14х+16=0 б) 5х 2 -16х+3=0

Д 1 =7 2 -3·16=1, х 1,2 = = 2 ;2 Д 1 =8 2 -15=49, х 1,2 = = ;3

в ) х 2 +2х-80=0 ж)7z 2 -20z+14=0

х 1,2 = -1 =-1 9 =8; -10 Д 1 =10 2 -7∙14=2, х 1,2 = .

Обучающая самостоятельная работа :№539 (г, д , е, з) с последующей проверкой. Ответы :

8.8-3. Квадратные уравнения с чётным вторым коэффициентом

Алгебра. 8 класс. Параграф 8. Тест 3.

Вариант 1.

Решить уравнения.

1. 3x 2 -10x+3=0.

3. 5x 2 +14x-3=0.

A) -3; -0,2; B) 0,2; 3; C) -3; 0,2; D) -3; 0,5.

4. 5x 2 -18x+9=0.

A) -3; -0,6; B) -0,6; 3; C) 3; D) 0,6; 3.

5. 5x 2 -18x-8=0.

A) 0,4; 4; B) -4; -0,4; C) -0,4; 4; D) -4; 0,2.

6. 7x 2 +82x+55=0.

7. 9x 2 +12x-5=0.

9. 7(x 2 +2x-2)=(1-x)(1+x).

A) -2,5; -0,75; B) -0,75; 2,5; C) 0,75; 2,5; D) -2,5; 0,75.

10. 6x(x+4)+2x(x-1)= -15.

A) -1,5; 1,25; B) -1,5; -1,25; C) 1,25; 1,5; D) -2,5; 1,25.

Вариант 2.

Решить уравнения.

1. 3x 2 +14x-5=0.

3. 5x 2 -36x+7=0.

A) -7; 0,2; B) -0,2; 7; C) -7; 0,2; D) 0,2; 7.

4. 5x 2 -22x+8=0.

A) -4; -0,4; B) -0,4; 4; C) 0,4; 4; D) -4; 0,4.

5. 5x 2 +12x-9=0.

A) -3; 0,6; B) -3; -0,6; C) -0,6; 3; D) 0,6; 3.

6. 7x 2 +62x+48=0.

7. 9x 2 -6x-8=0.

9. 5(x 2 +x+3)=3х(9-x).

A) -1,5; -1,25; B) -1,25; 1,5; C) -1,5; 1,25; D) 1,25; 1,5.

10. 2x(x+5)+2(x 2 -18)= 6х-1.

A) -3,5; -2,5; B) 2,5; 3,5; C) -3,5; 2,5; D) -2,5; 3,5.