Как известно, квадратное уравнение: имеет корни, которые вычисляются по простой форумуле .
Онлайн решений очень много, наш же бот, вычисляет квадратное уравнение, если его коэффициенты являются комплексными числами.
В русскоязычном секторе Интернета, такого сервиса нет, и наш бот будет тут первым.
Хотелось бы заметить, что коэффициентами квадратного уравнения могут быть не только комплексные числовые значения, но и произвольное комплексное выражение. Это несомненно расширяет возможности представленного сервиса, и дает определенные преимущества.
Ну и естественно, для тех кто хорошо учился в школе, и понимающих, что комплексные числа это лишь расширенное представление наших «обычных» действительных чисел, следует вывод, что данный сервис правильно считает и в том случае, если числа в коэффициентах имеют действительные значения.
Для того, что бы по известным корням можно было построить произвольное уравнение, в том числе и квадратное с комплексными коэфициентами можно воспользоватся ресурсом Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн
Синтаксис
Для всех кто пользуется XMPP клиентами: ur2_i
Коэффициенты уравнения могут быть как действительными так и мнимыми значениями.
Более того, каждый коэффициент может быть выражен не только числом, но и каким либо выражением
Элементы уравнения вводятся по принципу слева направо, от элемента с более высокой степенью переменной х, к более низкой.
Каждый элемент уравнения должен быть разделен пробелами.
Примеры
Пишем в поле ввода коэффициенты
Не забудьте, что как минимум одним пробелом разделяются эти значения
ответ будет следующий
Вы ввели следующее выражение
Результат решения заданного уравнения
Давайте проверим, а правильно ли нам посчитал бот эти корни. Для этого воспользуемся Аргумент и значения функции комплексной переменной и посчитаем чему же будет равно значение функции, при полученных корнях
При выборе первого корня ответ будет такой:
Вы ввели следующую функицю
Табличное представление значений функции
Переменная x
Значение функции f(x)
-0.007843258+0.125005019i
0+0.000009959i
Несмотря на небольшую погрешность, результат говорит нам о том что расчеты проведены верно
Здесь мы видим, что коэффициенты представлены в виде комплексных выражений, но для бота это не помеха.
Калькулятор онлайн. Решение квадратного уравнения.
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами: — с помощью дискриминанта — с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный. Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква. Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные. Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей. В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой. Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей. В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: / Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2 Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается. Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений \( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \) имеет вид \( ax^2+bx+c=0, \) где x — переменная, a, b и c — числа. В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения \( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \); 2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \); 3) ax 2 =0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a: \( x^2 = -\frac \Rightarrow x_ <1,2>= \pm \sqrt< -\frac> \)
Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac \neq 0 \)
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение \( x^2+\fracx +\frac=0 \)
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е. \( D = b^2-4ac \)
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения: \( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt> <2a>\), где \( D= b^2-4ac \)
Очевидно, что: 1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня. 2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\). 3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством: \( \left\< \beginx_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)