Решение квадратных уравнений с модулем 8 класс презентация

Урок по теме «Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля»

Разделы: Математика

Задача: провести повторение, обобщение и систематизацию знаний учащихся по теме “Квадратные уравнения. Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля ”.

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная работа.

Форма проведения урока: беседа с элементами самостоятельной работы учащихся, работа у доски, индивидуальная и групповая работа по выполнению учебных заданий.

Оборудование: ПК, проектор, экран.

I. Организационный момент.

(Приветствие учащихся и проверка готовности к уроку.)

– Квадратные уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.), сегодня на уроке мы должны суметь применить все свои знания и умения к решению квадратных уравнений с параметром и модулем.

II. Постановка цели.

– Тема урока: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”. Сегодня у нас урок по решению квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Ребята, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

– Иными словами, повторить, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для возможности выбора рационального пути решения.

– Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений с параметром и модулем, научиться выбирать рациональный путь решения.

III. Воспроизведение и коррекция опорных знаний:

– Прежде всего, вспомним некоторый, изученный материал. Приложение 1

– Выполним устно задания теста. Приложение 2

– Итак, весь необходимый материал повторили, я приглашаю вас на презентацию решения квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для начала заполним карточки, которые лежат у каждого на столе. Приложение 3

Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.

Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные карточки вперед.

IV. Обобщение и систематизация знаний, их применение для выполнения практических заданий:

1. Пример: Решите уравнение: x 2 -5│х│= 0.

Решение. Используя свойство модуля: |a| 2 =a 2 , перепишем данное уравнение в виде: │х│* (│х│– 5) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. Решив уравнение, имеем: х₁= 0, х_2,3= +5.

2. Пример: Существует ли на окружности, заданной уравнением (х-3) 2 + (у+1) 2 = 7, точка: а) с абсциссой, равной 1,5; б) с ординатой, равной – 3?

Решение. а) (у+1) 2 = 7 – (1,5 – 3) 2 >0 – такая точка существует; б) (х+3) 2 =7-(-3+1)>0-такая точка существует.

3.Пример: дано соотношение 2а 2 +4а + 2b 2 -4b – 5(a+1)(b-1) +4 = 0. Выразите b через а.

Решение. Имеем 2(а 2 +2a)+2(b 2 -2b) – 5(a+1)(b-1) +4 = 0;

2(a 2 +2a+1) +2(b 2 -2b+1)-5(a+1)(b-1)=0; 2(a+1) 2 -5(a+1)(b-1)+2(b-1) 2 =0.

Рассматривая это равенство, как квадратное уравнение относительно а+1, получим a+1 = 2(b-1) или a+1=(b-1)/2. Следовательно, b = (a+3)/2 или b= 2a+3.

4. Пример: Решите уравнение:│х 2 +х-3│=х.

Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью, по определению модуля получаем систему:

5.Пример: Решите уравнение: │х+3│=│2х 2 +х-5│.

Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью двух уравнений, по определению модуля получаем:

6.Пример: Решите уравнение: х 2 +(3-а)х-3а ‗0

Ответ: Нет решений при а = -3 и а = 4; при х = а данное уравнение имеет решение.

VI. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний:

7.Пример: Решите уравнение: │х-2│х 2 =10-5х.

Решение. Так как │х-2│х 2 =5(2-х), то х≤2.

Тогда уравнение примет вид (х-2)х 2 =5(2-х);

8. Пример: Решите уравнение:

Ответ: При b =7 или b = 2: один корень х = 2 b; при b = 1/2 или b = 3: один корень х = b – 1; при остальных b: два корня х = 2 b и х = b – 1.

VII. Оперирование ЗУН-ми в стандартных ситуациях:

9. Пример: Найдите сумму квадратов всех корней уравнения

Решение. Применив метод – введения новой переменной, решим уравнение. Пусть: t = │х│, получим уравнение t 2 – 3t + 1 = 0, имеющее два корня t₁ и t₂ (так как D>0). Очевидно, что корни t₁ и t₂ – положительны (t₁ + t₂ >0, t₁ * t₂ >0). Следовательно, по свойству модуля исходное уравнение, равносильно совокупности уравнений

имеет четыре корня: + t₁, + t₂. Их сумма квадратов t₁ 2 + (-t₁ ) 2 + t₂ 2 + (-t₂ ) 2 = 2(t₁ 2 +t₂ 2 ). Так как t₁ 2 +t₂ 2 = (t₁+t₂) 2 – 2 t₁ t₂ = 9 – 2*1 = 7, то искомая сумма квадратов всех корней равна 14.

10.Пример: При каком значении параметра а уравнение (а + 4х – х 2 -1)(а+1-│х – 2│) = 0 имеет три корня?

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Рассмотрим уравнение х 2 – 4х + 1 – а = 0.

Так как ¼ D = 4 – 1 + а = 3 + а, то при а > – 3 оно имеет два корня;

при а = – 3 – один корень; при а – 1 – два корня. При а – 1 каждое из уравнений имеет по два корня, симметричных относительно точки х₀ = 2. В этом случае х = 2 не является корнем, а общее число корней уравнений четно.

Итак, исходное уравнение имеет три корня лишь при а = – 1.

VIII. Пауза отдыха:

– Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.

IX. Выполнение упражнений:

11. Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Найдите это число.

Решение. Пусть а – одна из цифр числа, тогда а + 3 – другая цифра. Исходное число имеет вид 10а + (а + 3) = 11а + 3.

После перестановки цифр получится число 10(а + 3) + а = 11а + 30. Согласно условию, получаем уравнение (10а + 3) 2 +(11а+30) 2 = 1877, откуда находим а = 1.

Ответ: 14 или 41.

X. Подведение итогов.

– Сегодня на уроке мы:

1) повторили определение квадратного уравнения;

2) рассмотрели виды квадратных уравнений и алгоритм решения квадратных уравнений, формулы для нахождения корней квадратного уравнения;

3) сформулировали теорему Виета и обратную ей теорему;

4) повторили определение модуля и параметра;

5) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр;

6) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих модуль;

7) обобщили опыт решения квадратных уравнений с параметром и модулем;

8) научились выбирать наиболее рациональный метод решения квадратного уравнения с параметром и модулем.

– Оценки на уроке выставляются: – за теоретический опрос;

– за индивидуальную работу у доски;

– за работу по карточкам;

– за самостоятельную работу.

XI. Домашнее задание и его инструктаж:

М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Приложение 4

(Учащимся предлагается выполнить задание на приготовленных карточках)

1. Анищенко А.Г. и др. Имена в математике и информатике. – Брянск: РИО Брянского ИПКРО, 1995. – 96 с.
2. Балаян Э.Н. Как сдать ЕГЭ по математике на 100 баллов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2003. – 288 с.
3. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва. 1996 и последующие издания.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа (методические рекомендации и дидактические материалы). – М.: Просвещение, 1986.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математики в 9 классе. Москва “Просвещение” 1994 и последующие издания.
7. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва “Просвещение” 1997 и последующие издания.
8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва “Просвещение” 1997 и последующие издания.
9. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики. Москва “Просвещение” 2001 и последующие издания.
10. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики. Москва “Просвещение” 2001 и последующие издания.

Презентация урока по алгебре 8 класс на тему :»Решение квадратных уравнений с модулем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнения вида
|ax2+bx| + c = 0;
ax2+b|x|+c=0;

Урок алгебры 8 класс
Учитель Осипова Лариса Геннадиевна
КГУ «Общеобразовательная школа №80»
2021-2022 учебный год Город Алматы

Какие уравнения сегодня будем решать на уроке ?

Математический диктант
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c-заданные числа, a ≠ 0, x- переменная, называется _______________
Полное квадратное уравнение не имеет корней, если _________
Уравнение вида x2 + px + q = 0 называется _____________
Квадратное уравнение имеет два корня, если _____________
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна _______________, а произведение равно _____________

Математический диктант
6. Если для квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 верно равенство a+b+c=0, то корни уравнения равны __________________
7. Полное квадратное уравнение имеет два равных корня, если _______
8. Уравнение вида ax2 + c = 0, где a ≠ 0, c ≠ 0, называют_____________
9. Если для квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 верно равенство a-b+c=0, то корни уравнения равны ___________
10. Модулем числа называется_________

Ответы на вопросы

Модуль числа
Модуль (абсолютная величина) числа x, пишется так|x|=
x, если x≥0, и -x, если x

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 581 370 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 23.12.2021
• 52
• 0

• 23.12.2021
• 144
• 2

• 23.12.2021
• 86
• 0

• 23.12.2021
• 246
• 3

• 23.12.2021
• 116
• 3

• 23.12.2021
• 112
• 0

• 22.12.2021
• 53
• 1

• 22.12.2021
• 615
• 133

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.12.2021 77
• PPTX 1.9 мбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Осипова Лариса Геннадиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 11210
• Всего материалов: 12

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация к открытому уроку в 8 классе «Обобщающий урок по теме «Решение квадратных уравнений»

На этом уроке учащиеся изучат новые свойства квадратных уравнений, которые не изучаются в школьном курсе

Просмотр содержимого документа
«Презентация к открытому уроку в 8 классе «Обобщающий урок по теме «Решение квадратных уравнений»»

Предмет: алгебра 8 класс.

УМК: «Алгебра». Макарычев Ю.Н. и другие. М., «Просвещение», 2017 г.

Тема урока: Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения»

Тип урока: Урок обобщения и систематизации.

1.Контроль знаний с помощью тестирования.

2. Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.

3. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

II. Повторение пройденного материала

Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся полученные при изучении темы, отработка умений и навыков по решению квадратных уравнений различного вида различными способами, выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения, изучение нового свойства квадратных уравнений.

Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать, умения выступать с самостоятельными суждениями и отстаивать их.

Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, умение работать в группах, развивать познавательную активность и логическое мышление учащихся, развития интереса к предмету.

Личностные: Формирование навыков анализа, сопоставления, сравнения.

Предметные: Повторение теоремы Виета; умение использовать эту теорему, правила разложения многочленов на множители; умение решать квадратные уравнения различными способами.

Коммуникативные: определять цели и функции участников, способы взаимодействия; планировать общие способы работы; обмениваться знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений.

Регулятивные: формировать целевые установки учебной деятельности, выстраивать последовательность необходимых операций.

Познавательные: осуществлять сравнение и классификацию по заданным критериям

Используемые формы работы:

— Здоровье сберегающие технологии (физкультминутка, правильная осанка при письме, освещение класса);

— ИКТ технологии: презентация по новой теме;

1. методы организации учебно-познавательной деятельности: словесный, наглядный, практический, самостоятельная работа, работа под руководством.

2. методы контроля и самоконтроля: устный опрос; фронтальный опрос; письменный контроль; взаимный контроль; самоконтроль.

— алгоритм решения задач на составление уравнений;

— способы решения задач с помощью квадратных уравнений.

— применять алгоритм решения задач на составление уравнений на практике;

— применять удобный способ решения квадратных уравнений;

— использовать различные источники знаний;

— работать с карточками различного содержания;

— работать в группах, индивидуально.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, презентация, карточки для проведения рефлексии, карточки с заданиями, карты результативности учащихся, тесты

«Посредством уравнений, теорем

Я уйму всяких разрешил проблем»

Английский поэт средних веков – Чоссер

Настроимся на урок.

Здравствуйте, ребята! Я очень рада всех видеть вас сегодня и надеюсь на совместную плодотворную работу.

Какую тему мы изучили? Как выдумаете, чем мы будем сегодня заниматься на уроке? (ответы учащихся) Да. Сегодня у нас последний урок по теме «Квадратные уравнения» и наша цель – обобщить и систематизировать знания по данной теме.

II. Устная работа.

1)- Какое же уравнение называется квадратным уравнением?

— Как называются числа а, в и с в квадратном уравнении? (старший коэффициент, второй коэффициент, свободный член)

— Какое квадратное уравнение называется приведенным?

-Как называются квадратные уравнения, у которых хотя бы один из коэффициентов в или с =0 (неполное)

— Что необходимо найти, чтобы определить количество корней уравнения? (дискриминант).

Чему равна сумма корней уравнения х 2 — 5х + 6 =0?

Чему равна произведение корней этого уравнения?

Найдите корни этого уравнения.

— Ребята, откройте тетради, запишите число и отложите тетради. У вас на столе лежат карты результативности, в которые вы будете вносить свои результаты в течение урока. Сейчас мы вспомним некоторые понятия, которые мы изучили.

3 ученика у доски решают квадратные уравнения:

5 x 2 + 3x — 8 = 0 2) 2x 2 – 9x + 7 = 0 3) 4x 2 + 5x + 1 = 0

2) Игра «Найди лишнее». Вам предстоит в каждой группе уравнений выбрать лишнее и объяснить свой выбор

1) x 2 –3 x = 0
2) x 2 – 16 = 0
3) 5x 2 = 0
4) 5x 2 –3 x – 6= 0

1) x 2 – 5x + 6 = 0
2) 5x 2 – 6x +1 = 0
3) x 2 + 8x – 2 = 0, 2
4) x 2 + 2x + 16 = 0, 8

1) 3x 2 – 4x + 1 = 0
2) 7x 2 – x + 9 = 0
3) x 2 – 3x – 1 = 0
4) 8 x 2 + 10x – 2 = 0

(Предполагаемые ответы: в 1 столбце – лишнее 4-е уравнение, так как в первом столбце сгруппированы неполные квадратные уравнения; во 2-м столбце – лишнее 2-е уравнение, так как в этом столбце сгруппированы приведенные квадратные уравнения; в 3-м столбце – лишнее 3-е уравнение, так как в этом столбце сгруппированы уравнения с четным вторым коэффициентом).

(У доски работают три ученика, которые решают первые уравнения, каждый из своего столбца, а остальные продолжают устную работу.)

— Теперь давайте проверим, насколько хорошо вы умеете определять виды квадратных уравнений. Вашему вниманию предлагается тест, в котором нужно определить вид пяти предлагаемых уравнений. Напротив каждого уравнения вы ставите «плюс» в той колонке, какому виду оно принадлежит (слайд)