Решение квадратных уравнений с помощью номограммы пример

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений.

Номограмма даёт значения положительных корней уравнения z 2 + pz + q = 0. Если уравнение имеет корни разных знаков, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из – р.

Рис. 6. Вид монограммы для решения уравнения z 2 + pz + q = 0

В случае, когда оба корня отрицательны, берут z = – t и находят по номограмме два положительных корня t1; t 2 уравнения t 2 + – pt + z = 0, а затем z1 = – t1; z 2 = – t2.

Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z = kt и решают посредством номограммы уравнение

где k берётся с таким расчётом, чтобы имели место неравенства

; .

Вид монограммы для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 можно найти на рис. 6.

«Плюсы» и «минусы» различных способов решения

Название способа решения квадратных уравнений	Плюсы	Минусы
Решение квадратных уравнений по формуле	Можно применить ко всем квадратным уравнениям.	Нужно выучить формулы.
Разложение левой части уравнения на множители	Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.	Нужно правильно вычислить слагаемых для группировки.
Метод выделения полного квадрата	За минимальное количество действий можно найти корни уравнений	Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.
Решение уравнений с использованием теоремы Виета	Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.	легко находятся только целые корни.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения	Не требует особых усилий	Подходит только к некоторым уравнениям
Решение уравнений способом переброски	За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.	легко найти только целые корни.
Геометрический способ решения квадратных уравнений	Наглядный способ.	похож на способ выделения полного квадрата
Графическое решение квадратного уравнения	Наглядный способ	Могут быть не точности при составлении графиков
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки	Наглядный способ	Могут быть не точности
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы	Наглядный способ, прост в применении.	Не всегда под рукой имеется номограмма.

График квадратичной функции.

•Квадратичной функцией называется функция вида y=ax 2 +bx+c, где a,b,c — числа, причем a≠0.
•Графиком квадратичной функции является парабола.

Чтобы построить график функции y=x 2 составим таблицу значений

и построим график, используя полученные точки:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции y=-x 2 имеет вид:

Итак:
•Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
•Если старший коэффициент a 2 +bx+c нужно решить квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D=b 2 -4ac, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:
1. Если D 2 +bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, парабола y=ax 2 +bx+c не имеет точек пересечения с осью ОХ.
Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

2. Если D=0 ,то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет одно решение, и, следовательно, парабола y=ax 2 +bx+c имеет одну точку пересечения с осью ОХ.
Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

3.Если D>0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет два решения, и, следовательно, парабола y=ax 2 +bx+c имеет две точки пересечения с осью ОХ: ,
Если a>0, то график функции выглядит примерно так:

Значит, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный этап построения графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один этап построения графика функции – точка пересечения параболы y=ax 2 +bx+c с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax 2 +bx+c с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c.

Тема: «Решение квадратных уравнений с помощью номограммы»

Тема: «Решение квадратных уравнений с помощью номограммы»

Тип занятия: Изучение нового материала

Вид занятия: Урок углубления знаний

Программное обеспечение: Авторская программа элективного курса ««История квадратных уравнений и десять способов их решения»

Дидактический материал: Номограммы для учащихся, карточки с заданиями

Форма работы: индивидуальная, парная, групповая

Время проведения: 40 минут

— Формирование знания решения квадратных уравнений с помощью номограмм

· Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью номограмм

· Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью номограмм на практике

· Создать условия для формирования мотивации выбора математики для последующего углубленного изучения.

· Выработать умения выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

· Сформировать умения составлять алгоритмы для способа решения квадратных уравнений

· Развитие вычислительных навыков

· Развитие кругозора учащихся

· Развитие умения наблюдать, анализировать.

· Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.

· Развитие коммуникативных качеств личности

· Воспитание навыков сотрудничества в процессе совместной работы.

· Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей

· Воспитание самостоятельности, умения представлять выбранный способ решения уравнения

— Организационный момент. Вступительное слово учителя

— Актуализация опорных теоретических и практических знаний о способах решения квадратных уравнений

— Объяснение нового материала

— Закрепление нового материала

— Подведение итогов. Рефлексия.

Вступительное слово учителя.

Сообщаю цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических – повторение алгоритмов известных способов решения квадратных уравнений (разложение левой части на множители, выделение квадрата двучлена, с помощью теоремы Виета, с помощью свойства коэффициентов, с помощью «переброски» коэффициентов, графический способ)

Актуализация практических знаний о способах решения квадратных уравнений. Решить квадратные уравнения различными способами:

1. Способом разложения на множители

2. Способом выделения квадрата двучлена

3. По теореме Виета (обратной)

4. Используя свойства коэффициентов

345х2 – 137х – 208 = 0

5. Используя свойства коэффициентов

313х2 + 326х + 13 = 0

6. Способом переброски

7. Графическим способом

Задание выполняют самостоятельно, но каждое уравнение решает двое учащихся, которые не в одной группе.

Проверка проводится по группам учащихся с одинаковыми заданиями.

1) Способом разложения на множители:

7х2 + 7х + 2х + 2 = 0

7х (х + 1) + 2(х +1) =0

7х +2 = 0 или х +1 = 0

2) Способом выделения квадрата двучлена:

3(х2 + 2/3 х –5/3) = 0

х2 + 2* 1/3 х +1/9– 1/9– 5/3=0

(х +1/3)– 16/9 = 0

(х + 1/3)= 16/9

х +1/3 = 4/3 или х+1/3 = –4/3

3) По теореме Виета (обратной)

х + х= 4, х= 1

х * х= 3 х= 3

4) Используя свойство коэффициентов

345х2 – 137х – 208 = 0

а + b+ с = 345 –137 –208 =0, значит, х = 1, х= –208/345

5) Используя свойство коэффициентов

313х2 + 326х + 13 = 0

а – b +с = 313 – 326 +13 = 0, значит, х = –1, х= –13/313

6) Способом переброски

у+ 3у – 4 = 0

у + у= –3

у * у= –2

у= – 4 у= 1

х = – 4: 2 = –2 х= 1:2=0,5

Ответ: –2; 0,5

7) Графическим способом х2 – 2х – 3 = 0

у = х2 , графиком является парабола

у = 2х + 3, графиком является прямая

Прямая и парабола

имеют две общие точки,

абсциссы которых являются

Объяснение нового материала

«Решение квадратных уравнений с помощью номограммы»

Сообщение ученика о понятии номограмма

Разработка теории номографических построений началась в 19 в. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм (французский математик Л. , 1843).

Основания общей теории номографических построений дал М. Окань в 1884—91; в его же работах впервые встречается название Номография. Первым в России вопросами Номография начал заниматься М. Герсеванов в 1906—08. Большая заслуга в деле развития теории Номография и организации номографирования инженерных расчетов принадлежит А. Глаголеву, возглавлявшему советскую номографическую школу.

Номограмма (от греческого «nomos» – закон и …грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

(Большой энциклопедический словарь: Номограмма – см. в ст. Номография.)

Номограмма – графическое изображение математической зависимости. С помощью номограммы можно, не производя вычислений, получать решения уравнений, для которых номограмма построена. Номограммы широко применяются в базисных прицелах, радиотехнических системах и других устройствах и системах для бомбометания, воздушной стрельбы, самолетовождения и т. д.

(Военно-авиационный словарь, Москва, Воениздат)

Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. К ним можно отнести достаточно сложные построения, содержащие семейства линий и шкалы как изображения переменных (встречающиеся, например, в солнечных часах и астролябиях).

Номография (от греч. nómos — закон и . графия), раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм – специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей. Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определенным геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определенном соответствии, общем для номограмм одного и того же типа

(Современный энциклопедический словарь)

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, о котором рассказывается в Таблице XXII Четырехзначных математических таблиц, автор Брадис для решения уравнения z2 + рz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам ОВ = , АВ = .

(слайд) Полагая, что ОС = р, ЕД =q, ОЕ = а, из подобия треугольников САН и СДF (почему треугольники подобны?) получим пропорцию . Подставив, ОВ = , АВ = , получим ,

1+z0

p – q = p + pz +z

z+ pz + q = 0

Из пропорции после подстановок и упрощений получаем уравнение z2 + рz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Для уравнения z2 – 9 z + 8 = 0,

номограмма дает корни z = 8,0 и z2 = 1,0

2. Решим с помощью номограммы уравнение 2z 2 – 9z + 8 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z – 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z= 4 и z= 0,5

3. Решить самостоятельно:

4. Проверить полученные результаты:

Для уравнения z2 + 5z – 6 = 0 номограмма дает положительный корень z = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из

– р, т. е. z 2 = – р –1 = – 5 – 1 = – 6,0

Для решения уравнения z2 – 2z – 8 = 0 номограмма дает положительный корень z=4,0, отрицательный корень равен z= – р – z= 2–4 = – 2

Уравнения для закрепления:

С каким способом познакомились?

· Каков план решения при этом способе?

· Какие могут быть варианты при решении уравнения данным способом?

1) Решить уравнения с помощью номограмм:

2) В теоретическом материале:

— Доказать подобие треугольников

— Подготовить алгоритм решения квадратного уравнения с помощью номограмм

(План решения с помощью номограмм может быть таким:

1. Отметить числа, соответствующие коэффициентам квадратного уравнения z2 + рz + q = 0 на вертикальных осях

2. Соединить их отрезком

3. На шкале определить числа, соответствующие точкам пересечения отрезка и осей

— Если оба корня положительные, то получаем ответ

— Если один из корней отрицательный на шкале получим один корень, а второй корень найдем, используя теорему Виета)

4. Подумать над вариантами решения уравнений (если не предложат, то:

— Если оба корня отрицательные

— Если коэффициенты выходят за пределы шкалы)

На следующем занятии рассмотрим остальные возможные случаи решения уравнений способом номограмм.

Вычислить квадратные корни из 784, 841, 1156, 3364, 2116 без таблиц

Выбрать цвет соответствующий состоянию в конце занятия

· Зеленый – все понятно в новом способе

· Желтый – не совсем понятно

· Красный – все непонятно, требуется помощь

1. Брадис математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. – М.: Просвещение, 1990. С. 83.

2. Клюквин , 6-8. Пособие для учащихся 6-8 классов. – М.: Просвещение, 1963.

3. , Рубанов по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: высшая школа, 1969.

4. Математика (приложение к газете «Первое сентября), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Пресман АА. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М.: Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник B. C., Милое вопросов и задач по математике. Изд. 4-е, дополн. – М., Высшая школа, 1973.

7. 7. И. Сборник задач по алгебре и элементарным
функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. – М.: Просвещение,1970

8. , Считающие чертежи. (Номограммы), 2 изд., М.: 1959; его же, Номография, М. — Л., 1949;

СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х₁; 0 ) и D (х₂; 0), где х₁ и х₂ — корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, и проходит через точки

А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х₁х₂/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х₁; 0) и D(х₂; 0), где х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х₁; 0), где х₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.