Метод замены переменной
Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.
Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.
У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.
Заменим выражение \(x+\frac<1>
Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).
Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:
Попробуем сделать замену здесь.
Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).
Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.
Примеры использования метода замены переменной
Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.
Теперь используем метод замены.
Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).
Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.
Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .
Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!
Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Приступим к решению.
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.
Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.
Формула биквадратного уравнения:
Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.
ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0
Как решаются биквадратные уравнения?
Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю
Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.
\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.
Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.
Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.
Выносим переменную x 2 за скобку,
Приравниваем каждый множитель к нулю
Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end
Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end
Ответ: решения нет.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение уравнений методом замены переменной»
Разделы: Математика
Класс: 8.
Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.
Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.
Тип урока: ознакомление с новым материалом.
Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.
Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.
Ход урока
1. Оргмомент.
2. Сообщение темы урока и целей урока.
— Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.
3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)
4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).
У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.
— А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)
Слайд 4 Решить уравнение:
х 2 = 16 2х 2 = 50
х 2 + 9 = 0 х 3 — 4х = 0
Слайд 5 Разложить на множители:
- а 2 — 36 =
- 3в 2 — 12 =
- х 2 — 10х + 25 =
- х 3 — 49х =
Раскрыть скобки:
- (х 2 + 3х ) 2 =
- (7 — х 2 ) 2 =
- — (3х — 5у ) 2 =
5. Изучение нового материала.
— Сейчас попробуйте решить это уравнение:
Слайд 6 (х 2 — 3 ) 2 + 5 (х 2 — 3 ) + 6 = 0 (Проблема)
— Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?
Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.
— Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 — 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?
D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1
— Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?
— Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется » замена переменной». Это и есть тема нашего урока. Запишите. Слайд 8
— Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.
— Посмотрите решение еще одного примера.
— А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.
Пример 1 (3х — 4 ) 2 — 5(3х — 4 ) + 6 = 0
Сделаем замену переменной. Пусть 3х — 4 = t, получим
D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1
Вернемся к замене.
1) 3х — 4 = 3
2) 3х — 4 = 2 Ответ:
; 2.
Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 — 7 (х 2 + 3) 2 = — 3
Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим
D = b 2 — 4ac = 49 — 24 = 25
Вернемся к замене:
1) х 2 + 3 = 3 х = 0
2) х 2 + 3 = х 2 =
нет корней
6. Закрепление изученного материала.
— Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25.
7. Подведение итогов и задание на дом.
— Что нового вы узнали на уроке?
— Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной?
— Ваше домашнее задание на экране.
— На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха!
8. Самостоятельная работа. (Приложение 2)
Вариант 1 Вариант 2 Решить уравнения: 1) (х — 5 ) 2 — 2 (х — 5 ) = 8
2) (х 2 — 8 ) 2 + 3 (х 2 — 8 ) 2 — 4 = 0
Решить уравнения: 1) (2х + 3 ) 2 — 4 (2х + 3 ) = 5
2) (х 2 + х ) 2 — 11 (х 2 + х ) = 12
Вариант 3 Вариант 4 Решить уравнения: 1) (х 2 — 2х ) 2 + (х 2 — 2х ) = 12
2) (х 2 + 2 ) 2 — 5 (х 2 + 2 ) — 6 = 0
Решить уравнения: 1) (х 2 — х ) 2 — 8 (х 2 — х ) + 12 = 0
2) (х 2 — 1 ) 2 + 2 (х 2 — 1 ) = 15
Дополнительно.
- (х 2 + 4х )( х 2 + 4х — 17 ) + 60 = 0
- (х 2 — 5х )( х 2 — 5х + 10 ) = — 24
источники:http://tutomath.ru/baza-znanij/bikvadratnye-uravneniya.html
http://urok.1sept.ru/articles/601133
; 2.
