Решение квадратных уравнений способом номограммы

Для уравнения z2 – 9 z + 8 = 0,

номограмма дает корни z = 8,0 и z2 = 1,0

2. Решим с помощью номограммы уравнение 2z 2 – 9z + 8 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z – 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z= 4 и z= 0,5

3. Решить самостоятельно:

4. Проверить полученные результаты:

Для уравнения z2 + 5z – 6 = 0 номограмма дает положительный корень z = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из

– р, т. е. z 2 = – р –1 = – 5 – 1 = – 6,0

Для решения уравнения z2 – 2z – 8 = 0 номограмма дает положительный корень z=4,0, отрицательный корень равен z= – р – z= 2–4 = – 2

Уравнения для закрепления:

С каким способом познакомились?

· Каков план решения при этом способе?

· Какие могут быть варианты при решении уравнения данным способом?

1) Решить уравнения с помощью номограмм:

2) В теоретическом материале:

— Доказать подобие треугольников

— Подготовить алгоритм решения квадратного уравнения с помощью номограмм

(План решения с помощью номограмм может быть таким:

1. Отметить числа, соответствующие коэффициентам квадратного уравнения z2 + рz + q = 0 на вертикальных осях

2. Соединить их отрезком

3. На шкале определить числа, соответствующие точкам пересечения отрезка и осей

— Если оба корня положительные, то получаем ответ

— Если один из корней отрицательный на шкале получим один корень, а второй корень найдем, используя теорему Виета)

4. Подумать над вариантами решения уравнений (если не предложат, то:

— Если оба корня отрицательные

— Если коэффициенты выходят за пределы шкалы)

На следующем занятии рассмотрим остальные возможные случаи решения уравнений способом номограмм.

Вычислить квадратные корни из 784, 841, 1156, 3364, 2116 без таблиц

Выбрать цвет соответствующий состоянию в конце занятия

· Зеленый – все понятно в новом способе

· Желтый – не совсем понятно

· Красный – все непонятно, требуется помощь

1. Брадис математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. – М.: Просвещение, 1990. С. 83.

2. Клюквин , 6-8. Пособие для учащихся 6-8 классов. – М.: Просвещение, 1963.

3. , Рубанов по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: высшая школа, 1969.

4. Математика (приложение к газете «Первое сентября), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Пресман АА. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М.: Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник B. C., Милое вопросов и задач по математике. Изд. 4-е, дополн. – М., Высшая школа, 1973.

7. 7. И. Сборник задач по алгебре и элементарным
функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. – М.: Просвещение,1970

8. , Считающие чертежи. (Номограммы), 2 изд., М.: 1959; его же, Номография, М. — Л., 1949;

Исследовательская работа по теме: «Решение квадратных уравнений различными способами.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 19» ИМРСК

Исследовательская работа по теме:

работа выполнена в течении 4 месяцев

Работа ученицы 9 б класса ,

учитель математики школы № 19,

Ерёмина Екатерина Дмитриевна.

1. Определение квадратного уравнения, его виды ________________стр. 3

2. Из истории квадратных уравнений __________________________стр. 4

3. Различные способы решения квадратных уравнений:

1) Разложение левой части уравнения на множители ________________стр. 6

2) Метод выделения полного квадрата ____________________________стр. 6

3) Решение квадратных уравнений по формуле _____________________стр. 7

4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета _____________ стр. 8

5) Решение уравнений способом переброски _______________________стр. 9

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения ________________стр. 10

7) Графическое решение квадратного уравнения __________________ стр. 13

8) Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки _________________________________________стр. 14

9) Решение квадратных уравнений с помощью

номограммы _____________________________________________стр. 18

10) Геометрический способ решения квадратных уравнений _________стр. 20

4. Дидактический материал __________________________________стр. 22

5. Литература _______________________________________________ стр. 24

1. Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение : Квадратным уравнением называется уравнение вида

где х — переменная , а, b и с -некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением .

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах 2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах 2 + b х = 0, где b ≠ 0;

2. Из истории квадратных уравнений .

а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х 2 + х = , х 2 – х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

б) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта ( VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В уравнении коэффициенты, кроме а , могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

в) Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII .

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

3. Различные способы решения квадратных уравнений.

1) Разложение левой части уравнения на множители.

1. Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = — 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х – 24 = 0.

2) Метод выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере.

Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х , а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2. Имеем:

х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 –16 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х = 3 = 4, х ₁ = 1, или х +3 = — 4 , х ₂ = – 7.

3) Решение квадратных уравнений по формуле

Умножим обе части уравнения

на 4 а и следовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b с + 4ас = 0.

((2ах) 2 + 2ах · b + b 2 ) – b 2 + 4ас = 0,

(2ах + b ) 2 = b 2 – 4ас,

2ах + b = ±

2ах = – b ±

Х _1,2 =

а) 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 – 4 ас = 7 2 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D > два разных корня;

х = , х = ; х = , х ₁ = , х = , х ₂ = –1

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

т. е. при b 2 – 4 ас≥0 уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х 2 – 4х + 1 = 0,

х=

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b 2 – 4 ас= 0, то уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х 2 +3х + 4 = 0, а =2, b = 3, с = 4, D = b 2 – 4 ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = — 13,

Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b 2 – 4 ас 0, то уравнение

4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета

(прямой и обратной)

а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

Его корни удовлетворяют теореме Виета , которая при а = 1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p .

Если p >0 , то оба корня отрицательные, если p , то оба корня положительны.

х 2 – 3х + 2 = 0; х ₁ = 2 и х ₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3

х 2 +8х + 7 = 0; х ₁ = – 7 и х ₂ = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p >0.

х 2 + 4х – 5 = 0; х ₁ = – 5 и х ₂ = 1, так как q = – 5 0 и p = 4 > 0;

х 2 – 8х – 9 = 0; х ₁ = 9 и х ₂ = – 1, так как q = – 9 0 и p = – 8 >0.

б) Теорема Виета для квадратного уравнения

Справедлива теорема, обратная теореме Виета :

Если числа х ₁ и х ₂ таковы, что х ₁ +х ₂ = -р, х ₁ х ₂ = q , то х ₁ и х ₂ – корни квадратного уравнения

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

1. Решить уравнение

Попробуем найти два числа х ₁ и х ₂ , такие, что

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2. Решить уравнение

Попробуем найти два числа х ₁ и х ₂ , такие, что

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

5)Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

равносильного данному. Его корни у ₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х ₁ = и х ₁ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

Ответ: 2,5;3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х ₁ = 1, х ₂ = .

Доказательство . Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

х 2 + х + = 0.

Согласно теореме Виета

По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с . Значит,

Получаем х ₁ = 1, х ₂ = , что и требовалось доказать.

2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х ₁ = – 1, х ₂ = – .

Доказательство . По теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

т.е. х ₁ = – 1 и х ₂ = , что и требовалось доказать.

1. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение . Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х ₁ = 1, х ₂ = = .

Ответ : 1; – .

2. Решим уравнение 132х 2 + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а- b +с = 0 (132 – 247 +115=0), то

х ₁ = — 1, х ₂ = —

Ответ: — 1; —

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

х _1,2 =

можно записать в виде

х _1,2 =

Решим уравнение 3х 2 – 14х + 16 = 0.

D = k 2 – ac = (– 7) 2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D >0, два различных корня;

х =

Ответ : 2; .

В. Приведенное уравнение

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

х _1,2 =

х _1,2 = или х _1,2 = — (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

1. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение . Имеем: х _1,2 = 7± = 7± = 7±8.

7. Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

Построим графики зависимостей у = х 2 и у = – px – q .

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.