Решение квадратных уравнений способом переброски пример

СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски»

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

равносильно данному. Его корни у₁и у₂ найдем с помощью теоремы Виета.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у₁ = 5 х₁ = 5/2 x₁ = 2,5

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1,

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x 2 + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x₁ + x₂ = — а + b/a= -1 – c/a,

т.е. х₁ = -1 и х₂ = c/a, что м требовалось доказать.

1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

В. Приведенное уравнение

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости —

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1) Решим графически уравнение х 2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х₁ = — 1 и х₂ = 4. Ответ: х₁ = — 1;

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 5х — 5. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

«Решение квадратных уравнений способом «переброски»
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

Ознакомление с одним из способов решения квадратных уравнений, который можно назвать способом «переброски».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Материал к занятию по теме «Решение квадратных уравнений способом «переброски»

Тема: «Решение квадратных уравнений способом «переброски»

Тип занятия: Изучение нового материала и первичное закрепление с комплексным применением знаний и способов деятельности

Вид занятия: Урок углубления знаний

Возраст учащихся: 8 класс

Форма работы: индивидуальная, групповая

Оборудование: мультимедийный компьютер

• Познавательный
• Систематизирующий
• Коммуникативный
• Логический

Формирование знания решения квадратных уравнений с помощью способа «переброски»

• Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью способа «переброски»
• Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью способа «переброски»
• Сформировать умения составлять алгоритмы для данного способа решения квадратных уравнений
• Развитие вычислительных навыков
• Развитие кругозора учащихся

• Развитие умения наблюдать, анализировать
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся
• Познакомить учащихся с интересными фактами из истории
• Развитие коммуникативных качеств личности

• Воспитание навыков сотрудничества в процессе совместной работы.

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей
• Воспитание самостоятельности, умения представлять выбранный способ решения уравнения

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя
2. Актуализация опорных теоретических и практических знаний о квадратных уравнениях
3. Объяснение нового материала
4. Закрепление нового материала
5. Подведение итогов

Оформление доски: на доске написано

«Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение». А Дистервег

Вступительное слово учителя. Сообщается цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических и практических знаний.

Коллективная работа. Устно.

Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными. /Уравнение вида , где х — переменная, a,b,c – числа , называется квадратным./ Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

/ а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член/

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов. Первый вид квадратных уравнений – неполные квадратные уравнения. С этим видом квадратных уравнений мы познакомились на первых уроках изучения квадратных уравнений. Вспомним, какие виды неполных квадратных уравнений бывают и как они решаются.

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения, записанные в стандартном виде. Прежде всего, обратимся к понятию дискриминанта. Для чего и зачем он нужен? Вспомните слово “дискриминация”, что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к разным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от одного латинского слова, означающего “различающий”. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней (анализ слайда). Важное дополнение: в таких случаях ( D ) обычно уточняют – нет действительных корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; так вот, мнимые корни у такого уравнения есть. О мнимых числах и разрешимости таких квадратных уравнений мы поговорим в старших классах. Мы вспомнили всю “азбуку” квадратного уравнения?

/Нет. Мы не вспомнили теорему Виета./

Решение задач на применение теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

а) В уравнениях найти подбором корни уравнения:

х 2 – 6х + 8 = 0
(Д = 1; х 1 = 2, х 2 = 4)

z 2 + 5z + 6 = 0
(Д = 1; z 1 = – 3, z 2 = –2)

б) Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

3; 4
(х 2 – 7х + 12 = 0)

–2; 5
(х 2 – 3х – 10 = 0)

в) Один из корней уравнения равен 3. Найти второй корень уравнения.

х 2 – 21х + 54 = 0
3 и ?
(х 2 = 18)

х 2 + 17х – 60 = 0
3 и ?
(х 2 = – 20)

Подведем итог этого этапа:

• Что утверждает теорема Виета?

• Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

• Чему равна сумма и произведение корней квадратного уравнения ах 2 + + вх + с = 0 ?

Это интересно. Биографическая миниатюра. Ф. Виет. (Сообщение учащегося).

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые написаны в 1202 году. Вывод формулы решения квадратного уравнения встречается у французского математика Ф. Виета. Франсуа Виет родился в провинции Франции в 1540 году. Виет имел возможность получить хорошее образование и относился к обучению очень серьезно. Став юристом, он продолжал заниматься математикой, астрономией и космологией. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней формулами. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

По праву достойна в стихах быть воспета.
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого,
Умножишь ты корни – и дробь уж готова.
В числителе С, в знаменателе А.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда?
В числителе В, в знаменателе А.

А все могло быть по-другому. Эта замечательная теорема могла быть открыта совсем другим талантливым человеком. А знаете почему?

Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Известно, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки – Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед Папой Римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виета обвинили, что он был в союзе с дьяволом и приговорили его к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

Решение квадратных уравнения, используя свойства коэффициентов. (Повторение предыдущей темы факультативных занятий)

1. 345х 2 – 137х – 208 = 0
2. 313х 2 + 326х + 13 = 0

Задание учащиеся выполняют самостоятельно. Взаимоконтроль.

а + b + с = 345 – 137 – 208 = 0 , значит, х = 1 , х = – 208/345

а – b + с = 313 – 326 + 13 = 0 , значит, х = – 1 , х = – 13/313

Изучение нового материала. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений, который можно назвать так: способ «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = ; тогда приходим к уравнению

равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = и х 1 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

• Пример 1 (объясняет учитель)

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0 .

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11y + 30 = 0 .

Согласно теореме Виета

• Пример 2 (один ученик решает на доске, остальные в тетрадях)

у 1 = 6 х 1 = 6/2 х 1 = 3

у 2 = 3 ↔ х 2 = 3/2 ↔ х 2 = 1,5

«Математическая эстафета». Работа по командам. На последней парте каждого ряда находится листок с 6 заданиями (по 2 задания на каждую парту). Ученики, получившие листок, выполняют первые 2 задания (разрешается совместная работа) и передают листок впереди сидящим ребятам.

Решите уравнения, используя метод «переброски»:

1. 10х 2 – 11х + 3 = 0 3. 3х 2 + 11х + 6 = 0 5. 6х 2 + 5х – 6 = 0

1. 2х 2 + х – 10 = 0 4. 5х 2 – 11х + 6 = 0 6. 4х 2 + 12х + 5 = 0

Работа считается оконченной, когда учитель получает три листка (по количеству рядов) с выполненными 6 заданиями.

Побеждают учащиеся того ряда, в котором раньше решат шесть примеров.

Проверка итогов работы осуществляется с помощью мультимедийного компьютера.

Оценка – 6 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример).

1. Самооценка труда учащихся:

• В каких знаниях уверен;
• Выполнил ли программу занятия полностью;
• Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения;
• Помогло ли занятие продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету.

2. Оценка труда товарищей:

• Насколько результативным было занятие сегодня;
• Кто, по вашему мнению, внёс наибольший вклад в его результаты;
• Кому, над чем следовало бы ещё поработать.

3. Оценка результатов занятия учителем:

• Оценка работы группы (активность, адекватность ответов, неординарность работы отдельных детей, уровень самоорганизации, прилежание).

4. Выводы по занятию.

Решить уравнения. Каждое решить 3 различными способами.

• 3х 2 + 5х – 2 = 0
• х 2 – 8х + 7 = 0
• 5х 2 – 11 х + 2 = 0