Решение квадратных уравнений способом выделения квадрата двучлена

Тема урока: «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

• освоить способ выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, заданного в стандартном виде; конструировать решения квадратного уравнения способом выделения квадрата двучлена;
• воспитывать познавательную активность, чувства ответственности и товарищества, культуры общения;
• развивать логическое мышление для сознательного восприятия учебного материала

Оборудование:

• план,
• проектор,
• компьютерная презентация,
• учебное пособие «Алгебра-8» под редакцией Теляковского С.А.,
• дидактические материалы по алгебре для 8 класса (В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк),
• таблицы устных упражнений,
• карточки-задания,
• исторические сведения,
• стенгазета,
• алгоритм решения квадрат­ного уравнения выделением квадрата двучлена, магнитофон.

I . Ориентировочно-мотивационный этап

Проверка домашнего задания через консультантов. Актуализация знаний.

Выполнение заданий творческого характера на доске.

1) (2 – 5х) 2 = 9 (Ответ: – 0,2; 1.)

2) х 2 – 4 | х | = 0,
| х | = а, а > 0,
а 2 – 4а = 0,
а(а – 4) = 0, а = 0 или а – 4 = 0,
а = 4,

| x | = 0, х = 0, | x | = 4, х = 4 или х = – 4. Ответ: – 4; 0; 4.

3) | 3x 2 + 5x – 4 | = 3x 2 + 4

3х 2 + 4 > 0 верно при любых значениях переменной х

а) 3х 2 + 5х – 4 = 3х 2 + 4, б) 3х 2 + 5х – 4 = – 3х 2 – 4,
5х = 8, х = 1,6 6х 2 + 5х = 0, х(6х + 5) = 0, х = 0, х = –
Устная работа. Теоретическая изюминка (презентация)

1) Какие уравнения вы знаете? (Линейные, квадратные)
2) Определение квадратного уравнения. Почему а ≠ 0?
3) Вспомните классификацию квадратных уравнений ( полные ,неполные , приведенные)
4) Какое уравнение называется неполным? Виды неполных квадратных уравнений.
5) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
6) Д/м, стр. 23, 1,2 задание
7) (а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 – квадрат суммы двух выражений . Замените * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:
а) ( * + 2в ) 2 = а 2 + 4ав + 4в 2
б) (15 + * ) 2 = 225у 2 + 1 2х 3 у + 0,16х 6
в) (3а – 2,5в) 2 = 9а 2 + 6,25в 2 – *

II. Операционально-исполнительный этап

Определение приведенного квадратного уравнения:

Квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 с первым коэффициентом а = 1 называется приведенным

1) Определите вид уравнения х 2 + 2х + 1= 0 и решите это уравнение

(х + 1) 2 = 0,
х + 1= 0, х = – 1.

– Каким способом вы решили?

2) Нельзя ли решить уравнение х 2 + 6х – 7 = 0 таким же способом? (Ответ учащихся: «Нужно выделить квадрат двучлена» )
– Сформулируйте учебную задачу нашего урока. (Ответ учащихся: «Учебная задача урока «Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена» )
– Итак, мы определили задачу нашего урока: научиться решать квадратные уравнения выделением квадрата двучлена.

3) Выделите квадрат двучлена: х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2х * 3 + 9 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16

4) Решите уравнение

х 2 + 6х – 7 = 0,
(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16
х + 3 = 4 или х + 3 = – 4
х = 1 или х = – 7
Ответ: – 7; 1.

Проговаривание способа решения уравнения.

Алгоритм решения квадратных уравнений выделением квадрата двучлена (презентация)

а) определяем первое выражение;
б) находим второе выражение: выражение с переменной (т.е. удвоенное произведение двух выражений ) делим на удвоенное первое выражение
в) прибавим и отнимем квадрат второго выражения;
г) упростим выражения, выделив квадрат двучлена;
д) решаем как неполное квадратное уравнение.

5) Решите уравнение х 2 – 5х + 10 = 0,

х 2 – 2х* 5/2 + (5/2) 2 – (5/2) 2 + 10 = 0,
(х – 5/2 ) 2 = – 15/4, нет корней.

6) Ребята, как вы думаете, можно ли решить выделением квадрата двучлена следующее уравнение 2х 2 – 9х + 10 = 0, 5х 2 + 3х – 8 = 0? (Можно, но сначала надо разделить каждый член уравнения на 2 (5), так как а = 2 (а = 5))

а) х 2 – (9/2)х + 5 = 0, б) х 2 + (3/5)х – (8/5) = 0

Решите данные уравнения в парах.

(Проверка по образцу).

б) х 2 + 2х * 3/10 + 9/100 – 9/100 – 8/5 = 0,
(х + 3/10) 2 = 169/100,
| x + 3/10 | = 13/10,
х + 3/10 = 13/10 или х + 3/10 = –13/10,
х = 1 или х = – 1,6
Ответ: – 1,6; 1.

Проговаривание решения квадратного уравнения в парах.

Самостоятельная работа

а) х 2 – 4х + 4 = 0 , б) х 2 + 12х + 20 = 0
(х = 2) (х = – 2; х = – 10)

а) х 2 + 14х + 49 = 0, б) х 2 – 8х – 9 = 0
(х = – 7) (х = – 1; х = 9)

а) х 2 – х + = 0, б) 5y 2 – 6y + l = 0,
(х = ) (х = 1; х = )

а) у 2 – у + 1 = 0, б) 5х 2 – 8х + 3 = 0
(х = 2) (х = 1; х = 0,6 )

(Во время самостоятельной работы звучит классическая музыка) Взаимопроверка.
Учащиеся выставляют оценки карандашом.

Физминутка для глаз (компьютерная презентация)

7) При каком значении а уравнение х 2 + 12х + 36 = а имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?
(х + 6) 2 = а при а > 0 , 2 корня ;
при а = 0, 1 корень;
при а 2 – 4х + 5 = m?
х 2 – 2х * 2 + 4 – 4 + 5 = m,
(х – 2) 2 + 1 = m,
(х – 2) 2 = m – 1,
при m > 1, 2 корня;
при m = 1, 1 корень.

9) Решите уравнение: у 2 – 4| y | – 96 = 0.
Пусть | y | = b, b > 0,
b 2 – 4b – 96 = 0,
b 2 – 2b* 2 + 4 – 4 – 96 = 0,
(b – 2) 2 = 100,
| b – 2 | = 10,
b – 2 = 10 или b – 2 = – 10,
b = 12 или b = – 8.
b = – 8 не удовлетворяет условию b > 0,
| у | = 12,
y = 12 или у = – 12.

Домашняя работа

№526 – обязательный уровень;
№528, С-24, №7 – повышенный уровень;

Творческая работа

а) Заполни «окошки» х 2 – 7х + 8 = (х – ∆) 2 + 8 – ∆ 2 2 и придумать самим такие задания.
б) Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + вх + с = 0.

III. Рефлексивно-оценочный этап

– Что изучали на уроке?
– Как решали квадратные уравнения?
– Что вы знаете об истории возникновения квадратных уравнений?

Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 году в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика 12 века Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Уже в то время он знал о двузначности корней квадратных уравнений (х/8) 2 + 12 = х.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанная в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в 17 веке , благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых , способ решения квадратных уравнений принимает современный вид , о котором мы с вами будем говорить на следующем уроке.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \( p, q \) и \( n, m \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>x + \frac<1><7>x^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена. открытый урок
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

Конспект урока алгебры 8 класса по теме «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена» может быть использован при подготовке к уроку по данной теме.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение квадратных уравнений

выделением квадрата двучлена

Цель образовательная : научить использовать способ

выделения квадрата двучлена для решения

полных квадратных уравнений.

Цель развивающая: развить исследовательские и познавательные способности учащихся, культуру математической речи, умение делать выводы.

Цель воспитательная : учить вниманию, последовательности, логическому мышлению, аккуратности.

— подготовка к уроку;

2) Проверка домашней работы.

3) Устная работа:

1. В перечисленных примерах укажите и назовите коэффициенты в квадратных уравнениях, неполных квадратных уравнениях и линейных уравнениях:

2. Решите уравнения, назовите корни:

г) 5х 2 -25х=0; х=0, х=5

д) х 2 +9=0; корней нет

ж) 3х 2 =27. х=3, х=-3

3. Вставьте пропущенные слагаемые и назовите формулы квадрата суммы или квадрата разности:

в) 16а 2 + … +25в 2 =(4а+5в) 2 .

4. Представьте выражение в виде удвоенного произведения переменной на число:

4) Подготовка к изучению новой темы :

записать на доске и в тетрадях общий вид квадратного уравнения и неполного квадратного уравнения с помощью букв:

ax 2 +bx+c=0; а,b,с некоторые числа

ах 2 +bх =0; с=0 (разложение на множители)

ах 2 +с=0; в=0 (извлечение квадратного корня)

Мы умеем решать неполные квадратные уравнения, а как решать полные квадратные уравнения, у которых три коэффициента отличны от нуля?

Сегодня мы познакомимся со способом решения таких уравнений – выделение квадрата двучлена и начнем с уравнений, в которых старший коэффициент при х 2 а=1. Такие уравнения называются приведенными квадратными уравнениями и записываются в виде букв:

x 2 +рx+g =0, где р,g числа

Решим приведенное квадратное уравнение

5) Изучение нового материала: (учитель )

представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена х 2 +2Х5х+5 2 — 5 2 +21 =0,

(ученики с помощью учителя)

х 2 +2Х3х+3 2 — 3 2 +8 =0,

х 2 -2Х2х+2 2 — 2 2 +3= 0,

х 2 +2Х2х+2 2 -2 2 +20=0,

Ответ: корней нет.

6) Закрепление изученного материала (самостоятельно с последующей проверкой, два ученика за крылом по желанию)

№524(а,б) а) х 2 -8х+15=0,

х 2 -2Х4х+4 2 -4 2 +15=0,

х 2 +2Х6х+6 2 -6 2 +20=0,

7) Подвести итог урока, поблагодарить и поставить оценки за урок .

8) Домашнее задание: п. ,№523а, 525г, 526а,в,г, 530

Предварительный просмотр:

Решение квадратных уравнений

выделением квадрата двучлена

Цель образовательная : научить использовать способ

выделения квадрата двучлена для решения

полных квадратных уравнений.

Цель развивающая: развить исследовательские и познавательные способности учащихся, культуру математической речи, умение делать выводы.

Цель воспитательная : учить вниманию, последовательности, логическому мышлению, аккуратности.

— подготовка к уроку;

2) Проверка домашней работы.

3) Устная работа:

1. В перечисленных примерах укажите и назовите коэффициенты в квадратных уравнениях, неполных квадратных уравнениях и линейных уравнениях:

2. Решите уравнения, назовите корни:

г) 5х 2 -25х=0; х=0, х=5

д) х 2 +9=0; корней нет

ж) 3х 2 =27. х=3, х=-3

3. Вставьте пропущенные слагаемые и назовите формулы квадрата суммы или квадрата разности:

в) 16а 2 + … +25в 2 =(4а+5в) 2 .

4. Представьте выражение в виде удвоенного произведения переменной на число:

4) Подготовка к изучению новой темы :

записать на доске и в тетрадях общий вид квадратного уравнения и неполного квадратного уравнения с помощью букв:

ax 2 +bx+c=0; а,b,с некоторые числа

ах 2 +bх =0; с=0 (разложение на множители)

ах 2 +с=0; в=0 (извлечение квадратного корня)

Мы умеем решать неполные квадратные уравнения, а как решать полные квадратные уравнения, у которых три коэффициента отличны от нуля?

Сегодня мы познакомимся со способом решения таких уравнений – выделение квадрата двучлена и начнем с уравнений, в которых старший коэффициент при х 2 а=1. Такие уравнения называются приведенными квадратными уравнениями и записываются в виде букв:

x 2 +рx+g =0, где р,g числа

Решим приведенное квадратное уравнение

5) Изучение нового материала: (учитель )

представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена х 2 +2Х5х+5 2 — 5 2 +21 =0,

(ученики с помощью учителя)

х 2 +2Х3х+3 2 — 3 2 +8 =0,

х 2 -2Х2х+2 2 — 2 2 +3= 0,

х 2 +2Х2х+2 2 -2 2 +20=0,

Ответ: корней нет.

6) Закрепление изученного материала (самостоятельно с последующей проверкой, два ученика за крылом по желанию)

№524(а,б) а) х 2 -8х+15=0,

х 2 -2Х4х+4 2 -4 2 +15=0,

х 2 +2Х6х+6 2 -6 2 +20=0,

7) Подвести итог урока, поблагодарить и поставить оценки за урок .

8) Домашнее задание: п. ,№523а, 525г, 526а,в,г, 530

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

конспект открытого урока по алгебре для 8 класса «Решение квадратных уравнений различными способами» с применением ИКТ

систематизация, обобщение полученных ранее знаний, а также ознакомление с новыми способами решения квадратных уравнений.

Комбинированный урок по теме РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ВЫДЕЛЕНИЯ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА

Непростая тема алгебры 8 класса «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ВЫДЕЛЕНИЯ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА» часто вызывает трудности у школьников. Хочу предложить свой вариант подхода к введению этой темы.

Открытый урок Тема урока: «Решение квадратных уравнений по формуле»

Тип урока: Урок закрепления знаний, комбинированный с элементами игры и кейс – технологий.Цели урока.-обучающие: закрепить и систематизировать знания о квадратных уравнениях в ходе в.

Конспект урока по теме «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена»

Цель данного урока — повторить понятие квадратного уравнения (полного, неполного, квадратного), закрепить метод решения квадратного уравнения с помощью выделения квадрата двучлена.

Выделение квадрата двучлена

Выделение квадрата двучлена.

Конспект урока по теме: квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений.

Урок в 8 классе по теме Учитель математики: Папшева Ю.А. Тема урока: Квадратные уравнения. Ре.

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.