Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена конспект

Тема урока: «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

• освоить способ выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, заданного в стандартном виде; конструировать решения квадратного уравнения способом выделения квадрата двучлена;
• воспитывать познавательную активность, чувства ответственности и товарищества, культуры общения;
• развивать логическое мышление для сознательного восприятия учебного материала

Оборудование:

• план,
• проектор,
• компьютерная презентация,
• учебное пособие «Алгебра-8» под редакцией Теляковского С.А.,
• дидактические материалы по алгебре для 8 класса (В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк),
• таблицы устных упражнений,
• карточки-задания,
• исторические сведения,
• стенгазета,
• алгоритм решения квадрат­ного уравнения выделением квадрата двучлена, магнитофон.

I . Ориентировочно-мотивационный этап

Проверка домашнего задания через консультантов. Актуализация знаний.

Выполнение заданий творческого характера на доске.

1) (2 – 5х) 2 = 9 (Ответ: – 0,2; 1.)

2) х 2 – 4 | х | = 0,
| х | = а, а > 0,
а 2 – 4а = 0,
а(а – 4) = 0, а = 0 или а – 4 = 0,
а = 4,

| x | = 0, х = 0, | x | = 4, х = 4 или х = – 4. Ответ: – 4; 0; 4.

3) | 3x 2 + 5x – 4 | = 3x 2 + 4

3х 2 + 4 > 0 верно при любых значениях переменной х

а) 3х 2 + 5х – 4 = 3х 2 + 4, б) 3х 2 + 5х – 4 = – 3х 2 – 4,
5х = 8, х = 1,6 6х 2 + 5х = 0, х(6х + 5) = 0, х = 0, х = –
Устная работа. Теоретическая изюминка (презентация)

1) Какие уравнения вы знаете? (Линейные, квадратные)
2) Определение квадратного уравнения. Почему а ≠ 0?
3) Вспомните классификацию квадратных уравнений ( полные ,неполные , приведенные)
4) Какое уравнение называется неполным? Виды неполных квадратных уравнений.
5) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
6) Д/м, стр. 23, 1,2 задание
7) (а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 – квадрат суммы двух выражений . Замените * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:
а) ( * + 2в ) 2 = а 2 + 4ав + 4в 2
б) (15 + * ) 2 = 225у 2 + 1 2х 3 у + 0,16х 6
в) (3а – 2,5в) 2 = 9а 2 + 6,25в 2 – *

II. Операционально-исполнительный этап

Определение приведенного квадратного уравнения:

Квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 с первым коэффициентом а = 1 называется приведенным

1) Определите вид уравнения х 2 + 2х + 1= 0 и решите это уравнение

(х + 1) 2 = 0,
х + 1= 0, х = – 1.

– Каким способом вы решили?

2) Нельзя ли решить уравнение х 2 + 6х – 7 = 0 таким же способом? (Ответ учащихся: «Нужно выделить квадрат двучлена» )
– Сформулируйте учебную задачу нашего урока. (Ответ учащихся: «Учебная задача урока «Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена» )
– Итак, мы определили задачу нашего урока: научиться решать квадратные уравнения выделением квадрата двучлена.

3) Выделите квадрат двучлена: х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2х * 3 + 9 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16

4) Решите уравнение

х 2 + 6х – 7 = 0,
(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16
х + 3 = 4 или х + 3 = – 4
х = 1 или х = – 7
Ответ: – 7; 1.

Проговаривание способа решения уравнения.

Алгоритм решения квадратных уравнений выделением квадрата двучлена (презентация)

а) определяем первое выражение;
б) находим второе выражение: выражение с переменной (т.е. удвоенное произведение двух выражений ) делим на удвоенное первое выражение
в) прибавим и отнимем квадрат второго выражения;
г) упростим выражения, выделив квадрат двучлена;
д) решаем как неполное квадратное уравнение.

5) Решите уравнение х 2 – 5х + 10 = 0,

х 2 – 2х* 5/2 + (5/2) 2 – (5/2) 2 + 10 = 0,
(х – 5/2 ) 2 = – 15/4, нет корней.

6) Ребята, как вы думаете, можно ли решить выделением квадрата двучлена следующее уравнение 2х 2 – 9х + 10 = 0, 5х 2 + 3х – 8 = 0? (Можно, но сначала надо разделить каждый член уравнения на 2 (5), так как а = 2 (а = 5))

а) х 2 – (9/2)х + 5 = 0, б) х 2 + (3/5)х – (8/5) = 0

Решите данные уравнения в парах.

(Проверка по образцу).

б) х 2 + 2х * 3/10 + 9/100 – 9/100 – 8/5 = 0,
(х + 3/10) 2 = 169/100,
| x + 3/10 | = 13/10,
х + 3/10 = 13/10 или х + 3/10 = –13/10,
х = 1 или х = – 1,6
Ответ: – 1,6; 1.

Проговаривание решения квадратного уравнения в парах.

Самостоятельная работа

а) х 2 – 4х + 4 = 0 , б) х 2 + 12х + 20 = 0
(х = 2) (х = – 2; х = – 10)

а) х 2 + 14х + 49 = 0, б) х 2 – 8х – 9 = 0
(х = – 7) (х = – 1; х = 9)

а) х 2 – х + = 0, б) 5y 2 – 6y + l = 0,
(х = ) (х = 1; х = )

а) у 2 – у + 1 = 0, б) 5х 2 – 8х + 3 = 0
(х = 2) (х = 1; х = 0,6 )

(Во время самостоятельной работы звучит классическая музыка) Взаимопроверка.
Учащиеся выставляют оценки карандашом.

Физминутка для глаз (компьютерная презентация)

7) При каком значении а уравнение х 2 + 12х + 36 = а имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?
(х + 6) 2 = а при а > 0 , 2 корня ;
при а = 0, 1 корень;
при а 2 – 4х + 5 = m?
х 2 – 2х * 2 + 4 – 4 + 5 = m,
(х – 2) 2 + 1 = m,
(х – 2) 2 = m – 1,
при m > 1, 2 корня;
при m = 1, 1 корень.

9) Решите уравнение: у 2 – 4| y | – 96 = 0.
Пусть | y | = b, b > 0,
b 2 – 4b – 96 = 0,
b 2 – 2b* 2 + 4 – 4 – 96 = 0,
(b – 2) 2 = 100,
| b – 2 | = 10,
b – 2 = 10 или b – 2 = – 10,
b = 12 или b = – 8.
b = – 8 не удовлетворяет условию b > 0,
| у | = 12,
y = 12 или у = – 12.

Домашняя работа

№526 – обязательный уровень;
№528, С-24, №7 – повышенный уровень;

Творческая работа

а) Заполни «окошки» х 2 – 7х + 8 = (х – ∆) 2 + 8 – ∆ 2 2 и придумать самим такие задания.
б) Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + вх + с = 0.

III. Рефлексивно-оценочный этап

– Что изучали на уроке?
– Как решали квадратные уравнения?
– Что вы знаете об истории возникновения квадратных уравнений?

Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 году в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика 12 века Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Уже в то время он знал о двузначности корней квадратных уравнений (х/8) 2 + 12 = х.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанная в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в 17 веке , благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых , способ решения квадратных уравнений принимает современный вид , о котором мы с вами будем говорить на следующем уроке.

решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена. открытый урок
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

Конспект урока алгебры 8 класса по теме «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена» может быть использован при подготовке к уроку по данной теме.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение квадратных уравнений

выделением квадрата двучлена

Цель образовательная : научить использовать способ

выделения квадрата двучлена для решения

полных квадратных уравнений.

Цель развивающая: развить исследовательские и познавательные способности учащихся, культуру математической речи, умение делать выводы.

Цель воспитательная : учить вниманию, последовательности, логическому мышлению, аккуратности.

— подготовка к уроку;

2) Проверка домашней работы.

3) Устная работа:

1. В перечисленных примерах укажите и назовите коэффициенты в квадратных уравнениях, неполных квадратных уравнениях и линейных уравнениях:

2. Решите уравнения, назовите корни:

г) 5х 2 -25х=0; х=0, х=5

д) х 2 +9=0; корней нет

ж) 3х 2 =27. х=3, х=-3

3. Вставьте пропущенные слагаемые и назовите формулы квадрата суммы или квадрата разности:

в) 16а 2 + … +25в 2 =(4а+5в) 2 .

4. Представьте выражение в виде удвоенного произведения переменной на число:

4) Подготовка к изучению новой темы :

записать на доске и в тетрадях общий вид квадратного уравнения и неполного квадратного уравнения с помощью букв:

ax 2 +bx+c=0; а,b,с некоторые числа

ах 2 +bх =0; с=0 (разложение на множители)

ах 2 +с=0; в=0 (извлечение квадратного корня)

Мы умеем решать неполные квадратные уравнения, а как решать полные квадратные уравнения, у которых три коэффициента отличны от нуля?

Сегодня мы познакомимся со способом решения таких уравнений – выделение квадрата двучлена и начнем с уравнений, в которых старший коэффициент при х 2 а=1. Такие уравнения называются приведенными квадратными уравнениями и записываются в виде букв:

x 2 +рx+g =0, где р,g числа

Решим приведенное квадратное уравнение

5) Изучение нового материала: (учитель )

представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена х 2 +2Х5х+5 2 — 5 2 +21 =0,

(ученики с помощью учителя)

х 2 +2Х3х+3 2 — 3 2 +8 =0,

х 2 -2Х2х+2 2 — 2 2 +3= 0,

х 2 +2Х2х+2 2 -2 2 +20=0,

Ответ: корней нет.

6) Закрепление изученного материала (самостоятельно с последующей проверкой, два ученика за крылом по желанию)

№524(а,б) а) х 2 -8х+15=0,

х 2 -2Х4х+4 2 -4 2 +15=0,

х 2 +2Х6х+6 2 -6 2 +20=0,

7) Подвести итог урока, поблагодарить и поставить оценки за урок .

8) Домашнее задание: п. ,№523а, 525г, 526а,в,г, 530

Предварительный просмотр:

Решение квадратных уравнений

выделением квадрата двучлена

Цель образовательная : научить использовать способ

выделения квадрата двучлена для решения

полных квадратных уравнений.

Цель развивающая: развить исследовательские и познавательные способности учащихся, культуру математической речи, умение делать выводы.

Цель воспитательная : учить вниманию, последовательности, логическому мышлению, аккуратности.

— подготовка к уроку;

2) Проверка домашней работы.

3) Устная работа:

1. В перечисленных примерах укажите и назовите коэффициенты в квадратных уравнениях, неполных квадратных уравнениях и линейных уравнениях:

2. Решите уравнения, назовите корни:

г) 5х 2 -25х=0; х=0, х=5

д) х 2 +9=0; корней нет

ж) 3х 2 =27. х=3, х=-3

3. Вставьте пропущенные слагаемые и назовите формулы квадрата суммы или квадрата разности:

в) 16а 2 + … +25в 2 =(4а+5в) 2 .

4. Представьте выражение в виде удвоенного произведения переменной на число:

4) Подготовка к изучению новой темы :

записать на доске и в тетрадях общий вид квадратного уравнения и неполного квадратного уравнения с помощью букв:

ax 2 +bx+c=0; а,b,с некоторые числа

ах 2 +bх =0; с=0 (разложение на множители)

ах 2 +с=0; в=0 (извлечение квадратного корня)

Мы умеем решать неполные квадратные уравнения, а как решать полные квадратные уравнения, у которых три коэффициента отличны от нуля?

Сегодня мы познакомимся со способом решения таких уравнений – выделение квадрата двучлена и начнем с уравнений, в которых старший коэффициент при х 2 а=1. Такие уравнения называются приведенными квадратными уравнениями и записываются в виде букв:

x 2 +рx+g =0, где р,g числа

Решим приведенное квадратное уравнение

5) Изучение нового материала: (учитель )

представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена х 2 +2Х5х+5 2 — 5 2 +21 =0,

(ученики с помощью учителя)

х 2 +2Х3х+3 2 — 3 2 +8 =0,

х 2 -2Х2х+2 2 — 2 2 +3= 0,

х 2 +2Х2х+2 2 -2 2 +20=0,

Ответ: корней нет.

6) Закрепление изученного материала (самостоятельно с последующей проверкой, два ученика за крылом по желанию)

№524(а,б) а) х 2 -8х+15=0,

х 2 -2Х4х+4 2 -4 2 +15=0,

х 2 +2Х6х+6 2 -6 2 +20=0,

7) Подвести итог урока, поблагодарить и поставить оценки за урок .

8) Домашнее задание: п. ,№523а, 525г, 526а,в,г, 530

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

конспект открытого урока по алгебре для 8 класса «Решение квадратных уравнений различными способами» с применением ИКТ

систематизация, обобщение полученных ранее знаний, а также ознакомление с новыми способами решения квадратных уравнений.

Комбинированный урок по теме РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ВЫДЕЛЕНИЯ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА

Непростая тема алгебры 8 класса «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ВЫДЕЛЕНИЯ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА» часто вызывает трудности у школьников. Хочу предложить свой вариант подхода к введению этой темы.

Открытый урок Тема урока: «Решение квадратных уравнений по формуле»

Тип урока: Урок закрепления знаний, комбинированный с элементами игры и кейс – технологий.Цели урока.-обучающие: закрепить и систематизировать знания о квадратных уравнениях в ходе в.

Конспект урока по теме «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена»

Цель данного урока — повторить понятие квадратного уравнения (полного, неполного, квадратного), закрепить метод решения квадратного уравнения с помощью выделения квадрата двучлена.

Выделение квадрата двучлена

Выделение квадрата двучлена.

Конспект урока по теме: квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений.

Урок в 8 классе по теме Учитель математики: Папшева Ю.А. Тема урока: Квадратные уравнения. Ре.

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

Урок алгебры в 8 классе «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебры в 8 классе

«Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена»

Цель урока: показать способ решения полных квадратных уравнений выделением квадрата двучлена, формировать умение решать квадратные уравнения этим способом.

. Проверка домашнего задания (3 ученика у доски).

Решить уравнения: а) х 2 – 25 = 0; 4х 2 – 9 = 0;

б) х 2 – 5х = 0; 3х 2 + 7х = 0;

в) (х + 2) 2 = 0; (х – 5) 2 = 16;

Дополните сумму до квадрата двучлена:

а) а 2 + 2а + …; б) х 2 – 6х + …; в) у 2 + 8у + …;

г) х 2 – 5х + …; д) х 2 – х + …; е) х 2 – 2ах + …

Дома повторить формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, что будет необходимо для выполнения домашнего задания.

2) Указать в квадратном уравнении его коэффициенты:

а) 7х 2 – 8х – 2 = 0; б) х 2 + 6х – 7 = 0;

в) – 3х 2 – 3х + 10 = 0; г) х 2 – 9х + 4 = 0.

Это необходимо знать для выполнения домашнего задания.

Есть ли похожие уравнения и чем? (б и в).

 V. Изучение нового материала.

1) определение приведенного квадратного уравнения (если а = 1), например

х 2 + 10х + 25 = 0.

решим уравнение а) х 2 + 10х + 25 = 0 б) х 2 – 6х – 7 = 0

(х + 5) 2 = 0 (х 2 – 6х + 9) – 9 – 7 = 0

х + 5 = 0 (х – 3) 2 – 16 = 0

х = – 5 (х – 3) 2 = 16

х – 3 = 4 х – 3 = – 4

х = 4 + 3 х = – 4 + 3

Способ, с помощью которого мы решили уравнения называют выделением квадрата двучлена.

V. Закрепление изученного материала.

1) на доске и в тетрадях с подробным объяснением – №541(ж,е)

ж) у 2 – 12у + 32 = 0 е) х 2 + 9х – 22 = 0

(у 2 – 12у + 36) – 36 + 32 = 0 (х 2 + 9х + 20,25) – 20,25 – 22 = 0

(у – 6) 2 – 4 = 0 (х + 4,5) 2 – 42,25 = 0

(у – 6) 2 = 4 (х + 4,5) 2 = 42,25

у – 6 = у – 6 = – х + 4,5 = х + 4,5 = –

у – 6 = 2 у – 6 = – 2 х + 4,5 = 6,5 х + 4,5 = – 6,5

у = 6 + 2 у = 6 – 2 х = 6,5 – 4,5 х = – 6,5 – 4,5

решает на доске учитель с объяснением

а) х 2 + 8х – 1 = 0 б) х 2 – 4х + 10 = 0

(х 2 – 8х + 16) – 16 – 1 = 0 (х 2 – 4х + 4) – 4 + 10 = 0

(х – 4) 2 – 17 = 0 (х – 2) 2 + 6 = 0

(х – 4) 2 = 17 (х – 2) 2 = – 6

х – 7 = х – 7 = – решений нет

самостоятельно с последующей проверкой – №540(д)

(х 2 + 6х + 9) – 9 – 19 = 0

V.Повторение пройденного материала – №472.

Найдите значение выражения:

а) + (2) 2 = 0,4 + 4 · 0,1 = 0,4 + 0,4 = 0,8

б) (0,2) 2 + 0,5 = 0,04 · 10 + 0,5 · 4 = 0,4 + 2 = 2,4

в) 2 = 12 0,5 · 12 = 12 6 = 6

г) (3) 2 + () 2 = 9 · 3 + 9 · 3 = 27 + 27 = 54

д) (5) 2 (2) 2 = 25 · 2 4 · 5 = 50 20 = 30

е) () 2 3() 2 = 9 · 6 3 · 6 = 54 18 = 36

V. Итог урока. Дифференцированное домашнее задание:

1.Решите уравнение выделением квадрата двучлена:

а) х 2 + 12х + 36 = 0; б)х 2 – 8х + 15 = 0; в)х 2 – 5х – 6 = 0.

2. Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты и найдите значение выражения b 2 – 4ас: а) 2х 2 – 9х + 10 = 0; б) – х 2 + х – 5 = 0.

1.Решите уравнение выделением квадрата двучлена:

а) х 2 + 8х + 16 = 0; б)х 2 – 4х + 3 = 0; в)х 2 + 9х + 14 = 0.

2. Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты и найдите значение выражения b 2 – 4ас: а) 7х 2 – 8х – 2 = 0; б) –4х 2 +15 х + 7 = 0.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 392 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

21. Неполные квадратные уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 04.06.2017
• 381
• 1

• 04.06.2017
• 568
• 0

• 04.06.2017
• 992
• 5

• 04.06.2017
• 344
• 2

• 04.06.2017
• 1054
• 2

• 04.06.2017
• 325
• 0

• 04.06.2017
• 294
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 04.06.2017 2668
• DOCX 31.8 кбайт
• 108 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Емельянова Лариса Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 49797
• Всего материалов: 41

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность со скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки