Решение линейных квадратных уравнений неравенств

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5y +1/7y^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>y + \frac<1><7>y^2 \)

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Нажмите на кнопку для изменения типа неравенства.

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
Решить неравенство

Немного теории.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), \frac<1> <3>\) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а b означает, что разность а — b положительна, т.е. а — b > 0. Неравенство а b, a = b, a , = или b и b > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй — более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d — положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c и и b, \quad ax

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
\( ax^2+bx+c >0 \) и \( ax^2+bx+c 0 \) или \( ax^2+bx+c 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 0 \) ) или ниже оси x (если решают неравенство
\( ax^2+bx+c

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х — 3)(х — 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \( (-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \( (5; +\infty) \)

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х — 3)(х — 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

Отсюда ясно, что:
если \( x \in (-\infty;-2) \), то f(x) 0;
если \( x \in (3;5) \), то f(x) 0.

Мы видим, что в каждом из промежутков \( (-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5), \; (5; +\infty) \) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x₁)(x-x₂) . (x-x_n),
где x–переменная, а x₁, x₂, . x_n – не равные друг другу числа. Числа x₁, x₂, . x_n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.

Ответ:
\( x \in \left( -4; \; 0 \right) \cup \left( 0,5; \; +\infty \right) \)
или
\( -4 0,5 \)

Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
\( x \in \left( -\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
или
\( x

Линейные, квадратные и простейшие кубические уравнения. Примеры

Определение

Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). \[f(x)=g(x) \qquad \qquad (1)\] Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой \(x\) .

Замечание

Заметим, что \(x\) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.

Определение

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида \((1)\) будем называть множество значений переменной \(x\) , при которых определены (то есть не теряют смысла) функции \(f(x)\) и \(g(x)\) .

Пример

Уравнение \(\dfrac <10>=5\) определено при всех значениях переменной \(x\) , кроме \(x=1\) , потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения \(x\in (-\infty;1)\cup(1;+\infty)\) .

Определение

Корнем уравнения называется то числовое значение \(x\) , при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число \(x=3\) , потому как тогда уравнение принимает вид \(\dfrac<10><3-1>=5\) или, что то же самое, \(5=5\) , что является верным равенством.

Замечание

1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение \(\dfrac 1x=0\) ни при каких значениях \(x\) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель \(1\ne 0\) .

2) Фраза “решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.

Определение

Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения.
Например, уравнения \(x=3\) и \(3x=6+x\) эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение \(x=3\) .

Эквивалентность уравнений обозначается так: \(x=3 \quad \Leftrightarrow \quad 3x=6+x\) .

Свойства уравнений

1. В любом уравнении можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую, при этом меняя их знак на противоположный. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(x+4=2x^2\) можно переписать в виде \(x+4-2x^2=0\) .

2. В любом уравнении можно правую и левую части умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(0,5x=-2\) равносильно уравнению \(x=-4\) , которое получено из исходного путем умножения обеих частей на \(2\) .

3. В любом уравнении можно к правой и левой частям прибавлять одно и то же число. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(x+2=5x^2\) после прибавления к обеим частям \(-2\) примет вид \(x=5x^2-2\) .

\[<\Large<\text<Линейные уравнения>>>\] Линейное уравнение – это уравнение вида \[ax + b = 0\qquad \qquad (2)\] где \(a\ne 0,b\) – числа, или уравнение, к нему сводящееся.

ОДЗ линейного уравнения \((2)\) — все \(x \in\mathbb\) .

Линейное уравнение \(ax+b=0\) преобразуется в \(ax=-b\) и всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\) .
Например, \(2x-4=0\) имеет корень \(x=2\) . Замечание: при переносе слагаемых из одной части равенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. Например, выражение \(x-5=8\) преобразуется в выражение \(x=8+5\) .
Знак, стоящий перед слагаемым – это и есть его знак, то есть в выражении \(x-5\) два слагаемых: \(x\) и \(-5\) . Если перед слагаемым не стоит никакого знака, то подразумевается, что перед ним стоит знак “ \(+\) ”.

\[<\Large<\text<Квадратные уравнения>>>\] Квадратное уравнение – это уравнение вида \[ax^2+bx+c=0 \qquad \qquad (3)\] где \(a, b, c\) – числа, причем \(a\ne 0\) , или уравнение, к нему сводящееся.

Число \(a\) называется старшим (первым) коэффициентом, число \(b\) – вторым коэффициентом, число \(c\) – свободным членом.

Замечание

1) Заметим, что если \(a=0\) , то уравнение \((3)\) становится линейным; именно поэтому в определении \(a\ne 0\) .

2) Выражение \(ax^2+bx+c\) называется квадратичным (квадратным) трехчленом.

ВАЖНО! Обращаем ваше внимание на то, что, например, в квадратном трехчлене \(7-x^2+2x\) коэффициент \(a=-1\) , \(b=2\) и \(c=7\) ! Так как \(7-x^2+2x=-x^2+2x+7\) , а по определению \(a\) – коэффициент перед \(x^2\) , \(b\) – коэффициент перед \(x\) , \(c\) – свободный член.

Определение

Дискриминантом квадратного уравнения \((3)\) называется выражение \(D=b^2-4ac\) .

Корни квадратного уравнения

1) Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля ( \(D>0\) ), то оно имеет два различных корня \[x_1=\dfrac<-b-\sqrt D> <2a>\qquad \text <и>\qquad x_2=\dfrac<-b+\sqrt D><2a>\]

2) Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю ( \(D=0\) ), то оно имеет два совпадающих корня (часто говорят, что оно имеет один корень) \[x=-\dfrac b<2a>\]

3) Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля ( \(D ), то оно не имеет корней.

Пример:
Решите уравнение \[3x^2 — 33x + 90 = 0.\]

Решение.
Найдём дискриминант данного уравнения: \[D = 33^2 — 4\cdot 3\cdot 90 = 9\] Следовательно, уравнение имеет два различных корня, равных \[x_1=\dfrac<33 + 3> <6>= 6 \qquad \text <и>\qquad x_2=\dfrac<33 - 3> <6>= 5\]

Теорема Виета

Пусть квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) , \(a\neq 0\) , имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) (возможно, совпадающих), то есть \(D\geqslant 0\) . Тогда их сумма равна \[x_1+x_2=-\dfrac\] а их произведение равно \[x_1\cdot x_2=\dfrac\]

Доказательство

Определение

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент \(a=1\) .
Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным: для этого необходимо разделить уравнение на \(a\) .

Следствие

Для приведенного квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) теорема Виета выглядит следующим образом: \[x_1+x_2=-p, \qquad \qquad x_1\cdot x_2=q\]

Теорема: разложение на множители квадратного трехчлена

Пусть уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) , \(a\neq 0\) , имеет два корня (возможно, совпадающих), то есть \(D\geqslant 0\) . Тогда при любом значении \(x\) выполнено \[ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2),\] где \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) (возможно, совпадающие).

Доказательство

Сделаем преобразования: \[\begin &a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x — \dfrac<-b + \sqrt><2a>\right)\left(x — \dfrac<-b - \sqrt><2a>\right) =a\left(x^2 — x\left(\dfrac<-b + \sqrt> <2a>+ \dfrac<-b - \sqrt><2a>\right) + \dfrac<4a^2>\right)=\\[2ex] &=a\left(x^2-x\cdot \left(-\dfrac ba\right)+\dfrac<4a^2>\right) =a(x^2+\dfrac ba x+\dfrac ca)=ax^2+bx+c \end\]

Пример

Разложить на множители квадратный трехчлен \(3x^2-2x-1\) .

Решение.
Рассмотрим уравнение \(3x^2-2x-1=0\) и найдем его корни.
\(D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-1)=16\) , значит

Таким образом, \(3x^2-2x-1=3(x-1)(x+\frac13)=(x-1)(3x+1)\) .

\[<\Large<\text<Простейшие кубические уравнения>>>\] \(\bullet\) Кубический корень из числа \(a\) – это такое число \(b\) , которое при возведении в куб равно \(a\) : \[\sqrt[3] a=b\quad \text<то же самое, что >\quad a=b^3\] \(\bullet\) Таблица кубов чисел от 1 до 10: \[\begin <|ll|>\hline 1^3=1 & \quad6^3=216 \\ 2^3=8 & \quad7^3=343\\ 3^3=27 & \quad8^3=512\\ 4^3=64 & \quad9^3=729\\ 5^3=125 & \quad10^3=1000\\ \hline \end\] \(\bullet\) Простейшие кубические уравнения – уравнения, сводящиеся к виду \[x^3=a\] Для любого числа \(a\) такие уравнения имеют единственный корень \[x=\sqrt[3]a\] Пример:
1) решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]<-8>=-2\) .
2) решением уравнения \(x^3=64\) является \(x=4\) .

Теория линейных и квадратных уравнений традиционно изучается школьниками Москвы и других городов в 8 классе. И хотя данная тема рассматривается в рамках образовательного курса достаточно подробно, и ей отводится немало времени, с заданиями из этого раздела выпускники не всегда справляются с легкостью. Именно поэтому, готовясь к сдаче ЕГЭ, учащимся непременно стоит освежить в памяти теорию и разобраться в решении задач с линейными и квадратными уравнениями.

Сделать это легко, оперативно и эффективно вам позволит образовательный портал «Школково». Всю необходимую теорию по теме «Квадратные и линейные уравнения» для подготовки к ЕГЭ вы можете найти в соответствующем разделе. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Изучив определения, формулы и основные свойства линейных и квадратных уравнений, учащиеся смогут не только вспомнить всею необходимую теорию, но и грамотно объяснить принцип решения задач ЕГЭ. Закрепить усвоенный материал вам помогут упражнения в разделе «Каталог». Здесь вы можете найти как простые, так и более сложные задачи по данной теме. Для каждого задания на сайте наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Изучить теорию по теме «Линейные и квадратные уравнения» и попрактиковаться в выполнении упражнений можно в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в «Избранное», чтобы в дальнейшем можно было к нему вернуться или обсудить с преподавателем.

Решение линейных и квадратных неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы будем решать линейные и квадратные неравенства повышенной сложности. Вначале вспомним, что такое линейные и квадратные неравенства. Вспомним все методы их решения и свойства квадратичной функции и сведем эти данные в таблицу. Далее будем решать неравенства повышенной сложности.