Решение линейных уравнений и координатная плоскость

«Координатная плоскость. Решение линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ГУ ШКОЛА-ГИМНАЗИЯ №3

ТЕМА: ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ. ДЕЙСТВИЯ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

Учитель математики – Хитрик А.М.

ТЕМА урока: КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ. ДЕЙСТВИЯ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Цель урока: проверить знания по данным темам, уметь анализировать, систематизировать знания по теме, сопоставлять, сравнивать теоретический материал с практическим. Уметь ориентироваться ев станциях, выполнять задания.

Оборудование: маршрутный лист, таблицы с графиками.

Проводим игру в виде путешествия по маршруту с несколькими станциями. Перед началом игры каждой команде выдается маршрутный лист, в котором указана последовательность прохождения станций маршрута. На каждой станции учащимся вручают задания, которые они тут же должны выполнить и отдать на проверку — контролерам.

После выполнения практических заданий в маршрутном листе выставляется оценка.

В некотором царстве в некотором государстве все города имеют прямоугольную планировку. Улицы вытянуты с запада на восток и с юга на север. Главный терем расположен в точке, которую называют НАЧАЛОМ КООРДИНАТ, а город называют ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМОЙ КООРДИНАТ. (Прямоугольная система координат)

Назовите, где живут сказочные герои?

Волшебная страна состоит из четырех частей: Розовой страны, желтой страны, Голубой страны, Фиолетовой страны и Изумрудного города. Границами этих стран являются две взаимно-перпендикулярные прямые.

а) Как называются эти страны?

б) Как называются границы? Где расположен изумрудный город?

Даны точки: А(2;3), В(-3;4),С(-5;6),

Какие из этих точек расположены:

выше оси абсцисс?

ниже оси абсцисс?

правее оси ординат?

левее оси ординат?

Придумать персонажа из этой волшебной страны и изобразить его в координатной плоскости.

Моно ли устно найти:

б) расскажите, как это сделать?

Вычислите значение выражения:

А знаете ли вы, что самой большой существующий птицей является зашифрованная в примерах птица:

Самой большой африканской птицей является африканский страус, численность которого за последнее время сократилась. Обитает он к югу от Атласских гор в Верхнем Сенегале, Судане, Центральной Эфиопии. Некоторые самцы (взрослые самки меньше) это нелетающегоь подвида достигает 2,64 м в высоту и весят156,5 кг.

Решите задачу и составьте уравнение: Отец оставил сыновьям Чарлзу и Роберту 100 долларов. Если одну треть части Чарлза вычесть из одной четверти части Роберта, то останется 11 долларов. Сколько долларов получил каждый из братьев?

Великие математики: К. Гаус – король математики. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивил окружающих, поправил расчеты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (10 лет) учитель предложил классу сложить в уме все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гауса был готов ответ.

На его доске была запись: 101*50=5050

Придумай способ, с помощью которого быстро и просто вычисдить значение выражения: 99-97+95-93+91-89 … -5+3-1

По станции ведет Клоун из учебника – собеседника. Математика 5-6 класс.

Клоун искал расстояние от точки А (5) до точки В (-6): Применяем формулу: /5-6/ = /-1/=1

Расстояние между А и В равно единице.

Публика смеялась: всем была видна ошибка клоуна.

а) Скажите, в чем состояла ошибка клоуна?

б) Найдите правильное расстояние между точками А (5) и В (-6).

Клоун заявил, что следующие два выражения равны:

3 – (а — 5) и 3 – а – 5

«Я раскрыл скобки в первом выражении, и получилось второе» — сказал он.

Публика смеялась: все видели, сто клоун не умеет раскрывать скобки.

а) объясните, в чем состояла ошибка клоуна, и раскройте скобки в первом выражении правильно.

Б) найдите разность этих двух выражений.

Добры молодцы, красны девицы, на базар вы пришли, много денег принесли! Вы нам денег принесли, а мы товаров припасли.

Отпилите шест длиной в маховую сажень. Выразите его длину в метрах. За шест заплати четыре полушки. Сколько это копеек?

Имеется мешок муки весом 3 пуда. Сколько нужно заплатить за муку, если 1 кг муки стоит 4 рубля?

Имеется фунт гвоздей. Подсчитайте, какова масса каждого гвоздя.

У меня товар свежее,

У меня товар вкуснее!

Покупай фунт карася

За три алтына два гроша. Почем карась?

1 локоть = 45 см;

1 маховая сажень = 176 см;

1 косая сажень = 248 см;

1 алтын = 3 копейки;

1 полушка = 1/4 копейки;

1 грош = 1/2 копейки

Подводятся итоги. Выставляются оценки. Победившей считается команда, которая набрала больше баллов и показала меньшее время прохождения маршрута.

Домашнее задание: Индивидуальное по карточкам

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 583 825 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 26.03.2017
• 806
• 0

• 26.03.2017
• 650
• 0

• 26.03.2017
• 777
• 1

• 26.03.2017
• 2306
• 26

• 26.03.2017
• 8653
• 106

• 26.03.2017
• 241
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.03.2017 578
• DOCX 297.2 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Хитрик Альбина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 2906
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
• Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
• Нахождение площади получившейся фигуры.

Глоссарий по теме

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где a, b и c — некоторые числа (a ≠ 0 , b ≠0), а, х и у — переменные.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Построить график уравнения 2х+у =1

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
2. Пусть точка М₁(х_1,у₁) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, а М₂(х_1,у₂)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0_. Тогда 2у₂ – 3х₁ – 6 = 0, а 2у₁ – 3х₁ – 6 0 штриховкой (рис. 1)

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c 0, достаточно взять какую-нибудь точку М₁(х₁; у₁), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх₁ + bу₁ + c.

7 класс. Алгебра. Линейная функция.

7 класс. Алгебра. Линейная функция.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы рассмотрим уравнение с двумя переменными, дадим его определение и построим график.

Тема: Ли­ней­ная функ­ция

Урок: Ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми и его гра­фик

Опредепение

Мы по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­я­ми ко­ор­ди­нат­ной оси и ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти. Мы знаем, что каж­дая точка плос­ко­сти од­но­знач­но за­да­ет пару чисел (х; у), при­чем пер­вое число есть абс­цис­са точки, а вто­рое – ор­ди­на­та.

Мы будем очень часто встре­чать­ся с ли­ней­ным урав­не­ни­ем с двумя пе­ре­мен­ны­ми, ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го и есть пара чисел, ко­то­рую можно пред­ста­вить на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

Урав­не­ние вида:

, где a, b, с – числа, при­чем

На­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным урав­не­ни­ем с двумя пе­ре­мен­ны­ми х и у. Ре­ше­ни­ем та­ко­го урав­не­ния будет любая такая пара чисел х и у, под­ста­вив ко­то­рую в урав­не­ние мы по­лу­чим вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

Пара чисел будет изоб­ра­жать­ся на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти в виде точки.

У таких урав­не­ний мы уви­дим много ре­ше­ний, то есть много пар чисел, и все со­от­вет­ству­ю­щие точки будут ле­жать на одной пря­мой.

Построение графика

; ; ;

Чтобы найти ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния нужно по­до­брать со­от­вет­ству­ю­щие пары чисел х и у:

Пусть , тогда ис­ход­ное урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в урав­не­ние с одной неиз­вест­ной:

,

То есть, пер­вая пара чисел, яв­ля­ю­ща­я­ся ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния (0; 3). По­лу­чи­ли точку А(0; 3)

Пусть . По­лу­чим ис­ход­ное урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной: , от­сю­да , по­лу­чи­ли точку В(3; 0)

За­не­сем пары чисел в таб­ли­цу:

По­стро­им на гра­фи­ке точки и про­ве­дем пря­мую:

От­ме­тим, что любая точка на дан­ной пря­мой будет ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния. Про­ве­рим – возь­мем точку с ко­ор­ди­на­той и по гра­фи­ку най­дем ее вто­рую ко­ор­ди­на­ту. Оче­вид­но, что в этой точке . Под­ста­вим дан­ную пару чисел в урав­не­ние. По­лу­чим 0=0 – вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство, зна­чит точка, ле­жа­щая на пря­мой, яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Пока до­ка­зать, что любая точка, ле­жа­щая на по­стро­ен­ной пря­мой яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния, мы не можем, по­это­му при­ни­ма­ем это за прав­ду и до­ка­жем позже.

При­мер 2 – по­стро­ить гра­фик урав­не­ния:

Со­ста­вим таб­ли­цу, нам до­ста­точ­но для по­стро­е­ния пря­мой двух точек, но возь­мем тре­тью для кон­тро­ля:

В пер­вой ко­лон­ке мы взяли удоб­ный , най­дем у:

, ,

Во вто­ром стол­би­ке мы взяли удоб­ный , най­дем х:

, , ,

Возь­мем для про­вер­ки и най­дем у:

, ,

Умно­жим за­дан­ное урав­не­ние на два:

От та­ко­го пре­об­ра­зо­ва­ния мно­же­ство ре­ше­ний не из­ме­нит­ся и гра­фик оста­нет­ся таким же самым.

Вывод:

мы на­учи­лись ре­шать урав­не­ния с двумя пе­ре­мен­ны­ми и стро­ить их гра­фи­ки, узна­ли, что гра­фи­ком по­доб­но­го урав­не­ния есть пря­мая и что любая точка этой пря­мой яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния

Урок: Ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми и его гра­фик (более слож­ные слу­чаи)

На­пом­ним, что ли­ней­ным урав­не­ни­ем с двумя пе­ре­мен­ны­ми на­зы­ва­ет­ся урав­не­ние вида

Мы на­учи­лись стро­ить гра­фи­ки по­доб­ных урав­не­ний и узна­ли, что они имеют бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний – пар чиселх и у, ко­то­рые на гра­фи­ке отоб­ра­жа­ют­ся в виде точек.

В преды­ду­щих за­да­чах нам было за­да­но урав­не­ние, но как и все дру­гие – ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми это ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель неко­то­рой ре­аль­ной си­ту­а­ции. Те­перь рас­смот­рим такие за­да­чи, в ко­то­рых нужно для про­стей­шей за­да­чи со­ста­вить урав­не­ние – ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель, а затем его ре­шить.

При­мер 1:

Сумма двух чисел равна че­ты­рем. По­стро­ить ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель, то есть со­от­вет­ству­ю­щее ли­ней­ное урав­не­ние, и его гра­фик.

Пусть ис­ко­мые числа это х и у, сумма их равна че­ты­рем:

– ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми. По­стро­им гра­фик, для этого со­ста­вим таб­ли­цу, для кон­тро­ля возь­мем три точки, а не две: