Решение линейных уравнений матричным методом презентация

Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемИнна Шульц

Презентация 10 класса по предмету «Математика» на тему: «Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель математики Симаков Е. Е., преподаватель спецкурса по информатике

2 Задачи: Рассмотреть понятие матрицы, области применения, основные действия над матрицами. Изучить способы решения систем линейных уравнений матричными методами. Применить изученные методы на практике для решения систем линейных алгебраических уравнений в программе MathCAD. Цель: Сравнение матричных методов решения с классическими методами, изучаемыми в школьном курсе и реализация решений в программе MathCAD.

3 Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк одинаковой длины или n столбцов одинаковой длины. A m×n = (а ij ) i= — номер строки,j= — номер столбца Квадратная матрица Единичная матрица Нулевая матрица Треугольная матрица Матрица — вектор

4 Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью матричных вычислений a ij, i = — коэффициенты системы b i – свободные члены А · Х = В Х – вектор-столбец из неизвестных x j, В – вектор-столбец из свободных членов b i.

5 x 1 = с 1, x 2 = с 2 …, x n = с n Решение системы

6 Метод Гаусса k n, a ii 0, i = a ii — главные элементы системы

7 общее решение системы: х 2 = 5 х х 3 – 3; х 1 = 5 х х 3 – 1. Если предположить, например, х 3 = 0, х 4 = 0, то х 1 = -1, х 2 =-3, х 3 = 0, х 4 = 0. Метод Гаусса

Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера» title=»А · Х = В | А -1 A -1 · А · Х = В · А -1 А -1 · А = Е и Е · Х = Х => Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера» > 8 А · Х = В | А -1 A -1 · А · Х = В · А -1 А -1 · А = Е и Е · Х = Х => Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера»> Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера»> Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера» title=»А · Х = В | А -1 A -1 · А · Х = В · А -1 А -1 · А = Е и Е · Х = Х => Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера»>

9 A 11 b 1 + A 21 b 2 + … + A n1 b n — разложение определителя Формула Крамера

10 Вывод Плюсы решения в MathCAD: от пользователя не требуется самому проводить преобразования ; программный код является универсальным, требующими только смены условия ; возможность экспортирования результатов в другие программы.

Презентация на тему «Решение систем трех линейных уравнений матричным методом»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение систем трех линейных уравнений матричным методом. Преподаватель ДППК Трохимюк О.В.

Цели занятия: сформировать: — понятие о матрицах, их видах, действиях над ними; — о матричным методом методе решения системы трех линейных уравнений с тремя переменными; воспитывать стремление к познанию, внимательное отношение к делу, аккуратность, самостоятельность, творческое отношение к учебной деятельности; развивать логическое и аналитическое мышление; прививать интерес к поисковой деятельности.

Математика является универсальным языком, который широко применяется во всех сферах человеческой деятельности. Во многих экономических и профессиональных дисциплинах необходимы знания о матрицах, операциях над ними, умения решать прикладные задачи с помощью матриц. Актуальность этой темы усиливается в связи с широким использованием матриц в экономических дисциплинах: финансы, экономика предприятий, статистика, логистика, экономико – математическое моделирование и др.

Матрица, её история и применение Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Термин «матрица» имеет много значений. Матрица — (нем., Matrize, от лат. matrix матка). 1) в литейном производстве: медная форма для отливки букв, а также монет. 2) в типографском деле: бумажная форма для отливки стереотипа. В программировании матрица – это двумерный массив, в электронике – набор проводников, которые можно замкнуть в точках их пересечений. Матрица в фотографии – это интегральная микросхема, которая состоит из фотодиодов (светочувствительных элементов).

План 1. Определение обратной матрицы. 2. Нахождение обратной матрицы. 3. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы.

Ключевые понятия и термины: матрица; определитель матрицы; квадратная матрица; прямоугольная матрица; виды матриц; обратная матрица; алгоритм нахождения обратной матрицы; алгебраические дополнения.

Литература 1. Алгебра и начала математического анализа: учебник для общеобразоват. организаций: базов. и углубл. уровни / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. – М.: Просвещение, 2016. – 463 с. 2. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. – К.: Знания, Макаренко В.А., 2008 – 517 с. 3. Математика: Учебник / О.М. Афанасьева, Я.С. Бродский и др. – К.: Высшая школа, 2001. 4.Дидактический материал по математике: Учебное пособие / О.М. Афанасьева, Я.С. Бродский и др. – К.: Высшая школа, 2001. 5. Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. – М.: Высшая школа, 1983.

Вопросы к теме Что такое матрицы и зачем они нужны? Какие виды матриц существуют? Как найти определитель матрицы? Какие операции можно выполнять над матрицами? Какая матрица называется обратной? Как найти обратную матрицу? Как решить систему трех линейных уравнений с тремя переменными методом обратной матрицы?

Актуализация опорных знаний студентов Вопросы для фронтального опроса студентов 1. Как вычисляется определитель второго порядка? 2. Вычислить определитель второго порядка: 3.Вычислить определитель третьего порядка разложением определителя по элементам 1 строки:

4. Проведем короткий анализ домашней работы. 5. Проверить определитель второго порядка из домашнего задания 6. Проверить определитель третьего порядка из домашнего задания

Изложение теоретического материала и его закрепление

1. Матрица – это упорядоченная таблица чисел которая имеет m строк и n столбцов.

Числа это элементы матрицы. Следует помнить, что определитель – это величина, которую изображают в виде квадратной таблицы; матрица – это всегда таблица чисел, никак по-другому не определяема. Если , то матрица прямоугольная, если , то – квадратная. прямоугольная матрица размером квадратная матрица ІІ порядка. диагональная матрица ІІІ порядка.

нулевая матрица размером единичная матрица. матрица — столбец. матрица – строка.

Равенство матриц Две матрицы с одинаковыми размерами равны, если их соответствующие элементы равны: и , то A=B, Так если

Транспонирование матрицы Если в данной матрице поменять строки и столбцы местами, то получится транспонированная матрица данной.

Где ещё применяются матрицы? Теперь подробнее остановимся на некоторых областях применения матриц. Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Так как значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме. С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.

Ресурсы Отрасли экономики Промышленность Сельское хозяйство Электроэнергия 5,3 4,1 Трудовые ресурсы 2,8 2,1 Водные ресурсы 4,8 5,1

В данной записи, например, матричный элемент показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент — сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство. С помощью матриц можно решать системы уравнений, в них удобно представлять какие-либо данные. Таким образом, мы пришли к выводу, что матрицы широко применялись и применяются до сих пор.

Произведением двух матриц АВ является матрица С, элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов i — той строки матрицы А и j — того столбца матрицы В. (Чтобы получить i-тую строку произведения, необходимо умножить i-тую строку матрицы А на каждый столбец матрицы В) Чтобы умножать матрицы, необходимо, чтобы количество столбцов матрицы А было равно количеству строк матрицы В. Размер А: m×n; размер В: n×p, то размер АВ: m×p.

Свойства произведений матриц

Пример 1. Пример 2.

2. Обратная матрица. Матрицей называют обратной к квадратной матрице А, если произведение этих матриц равняется единичной матрицей, то есть Обратная матрица существует для всякой невырожденной квадратной матрицы А, то есть когда определитель матрицы Обратная матрица невырожденной квадратной матрицы А находится по формуле: — определитель матрицы А, — алгебраические дополнения элементов определителя .

— определитель матрицы А, — алгебраические дополнения элементов определителя Запишем алгоритм нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А: 1) вычислить определитель матрицы А. Если , то матрица А имеет обратную, в противном случае обратной матрицы не существует; 2) вычислить алгебраические дополнения элементов матрицы А; 3) Записать обратную матрицу 4) проверить правильность вычислений: Алгебраические дополнения в обратной матрице записываются не по строкам, а по столбцам.

Матрицы можно подвергать элементарным преобразованиям: 1. Можно менять местами строки и столбцы. 2. Можно строку (столбец) умножать на одно и то же число. 3. К некоторой строке или столбцу можно прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число. Такие преобразования приводят к замене строк или столбцов строками (столбцами), состоящими из нулей, которые надо удалять из матрицы для рассмотрения матрицы меньшего размера.

Нахождение обратной матрицы Пример1. Определить обратную матрицу для матрицы Решение. Вычислим определитель матрицы А: то для матрицы А существует обратная матрица . Запишем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Проверка правильности вычислений: (Сделать вывод. Для матриц А и справедлив переместительный закон умножения). Делаем вывод. Для матриц А и справедлив переместительный закон умножения. Ответ:

Пример Определить обратную матрицу для матрицы

Пример Определить обратную матрицу для матрицы Решение. Вычислим определитель матрицы А: то для матрицы А существует обратная матрица Запишем алгебраические дополнения элементов матрицы А: Обратная матрица имеет вид:

3. Решение система трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы Пусть задана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными Если основная матрица системы линейных уравнений является квадратной и невырожденной, то систему можно решить матричным способом (с помощью обратной матрицы). Записав систему в матричном виде, получим решение X системы уравнений: А- матрица, составленная из коэффициентов при переменных x. y. z . Х- матрица – столбец составленная из переменных величин. В- матрица – столбец составленная из свободных членов.

Пример 1. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы: Решение. Запишем систему в матричном виде , где Решение матричного уравнения будет иметь вид: Найдем обратную матрицу Сначала найдем главный определитель матрицы:

Теперь будем находить алгебраические дополнения:

Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец :

Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец : Ответ:

Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец : Проверка: Ответ:

Подведение итогов занятия. Благодарю за работу на занятии. Подсчитываем поощрительные баллы. Оценки комментируются и выставляются в журнал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 137 материалов в базе

Другие материалы

15.01.2017
525
1

15.01.2017
708
0

15.01.2017
445
0

15.01.2017
2219
36

15.01.2017
374
0

15.01.2017
441
0

15.01.2017
17323
487

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

15.01.2017 2840
PPTX 1.1 мбайт
66 скачиваний
Рейтинг: 3 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Трохимюк Ольга Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 5 лет и 1 месяц
Подписчики: 0
Всего просмотров: 50145
Всего материалов: 20

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Матричный метод

Решите : >>

Матричный метод. Составим матрицу из коэффициентов уравнения. Найдем определитель матрицы. Составим матрицу ,где первый столбец заменим на свободные коэффициенты. Вычислим определитель. Составим матрицу ,где второй столбец заменим на свободные коэффициенты. Вычислим определитель. Найдем х и у.

Слайд 15 из презентации «Системы решений уравнений»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Системы решений уравнений.ppt» можно в zip-архиве размером 1035 КБ.

Уравнения

«Нахождение неизвестного слагаемого» — Сколько квадратов на рисунке. Нахождение неизвестного слагаемого в сложном уравнении. Танцевальная физминутка. Учимся решать уравнения. Найди закономерность. Самостоятельная работа. В трёх школах учатся 3600 человек. Переложи одну спичку, чтобы получилось верное равенство. Фея отправляет Золушку к нам.

«Квадратное уравнение» — Квадратное уравнение имеет один корень. Биквадратные квадратные уравнения. Квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет два корня. Квадратное уравнение не имеет корней. Формулы решения квадратного уравнения. Квадратный трёхчлен. Немецкий математик М.Штифель. Приведенные квадратные уравнения. Нидерландский математик А.Жирар.

«Уравнения 5 класс» — Пусть у нас было х грибов. Составим и решим уравнение: Х + 6 = 75 Х = 75 — 6 Х = 69 Ответ: 69 грибов. Задача. Уравнение. Решение уравнения. П р а в и л о. Корень уравнения. Знакомство с основными понятиями: «Было-х грибов Добавили-6грибов Стало-75 грибов Х+6=75. Можно ввести краткую запись: Сегодня на уроке:

«Решение уравнений 5 класс» — Зх+х=60. Сколько в школе обучается девочек и мальчиков? Задача. Девочек на 27 больше, чем мальчиков. Решение уравнений. Только думай, не гадай, Да правила применяй!

«Задания на решение уравнений» — Игра «Волшебное число». Ответьте на вопросы. Сколько Маша уплатила за покупку. Комариная семья. Разминка. Проверка домашнего задания. Физкультминутка. Самостоятельная работа. Включим светофор. Уравнения. Испытание. Испытание для Ивана-царевича.

«Система уравнений» — Решение системы способом подстановки. Уравнение и его свойства. Свойства уравнений. Решение системы способом сложения. Решение системы методом определителей. Способ сравнения (алгоритм). Линейное уравнение с одной переменной. Решение системы графическим способом. Графический способ (алгоритм). Способ подстановки (алгоритм).

источники:

http://infourok.ru/prezentaciya-na-temu-reshenie-sistem-treh-lineynih-uravneniy-matrichnim-metodom-1520735.html

http://900igr.net/prezentacija/matematika/sistemy-reshenij-uravnenij-230826/matrichnyj-metod-15.html