Решение линейных уравнений метод перебора

Методы решения линейных уравнений в целых числах

В работе рассмотрены 9 методов решения линейных уравнений в целых числах: метод перебора, остатков, спуска и другие. Материал будет полезен при подготовке к ЕГЭ (задание 19, профильный уровень).

Просмотр содержимого документа
«Методы решения линейных уравнений в целых числах»

Методы решения линейных уравнений в целых числах

1. Метод прямого перебора

Пример 1. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других. Указать все решения.

Решение. Пусть х – количество кроликов, у – количество фазанов, тогда имеем уравнение:

Если х = 1, то у = 9 – 2

Если х = 2, то у = 9 – 2

Если х = 3, то у = 9 – 2

Если х = 4, то у = 9 – 2

Если х = 5, то у = 9 – 2 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 1 кролик и 7 фазанов или 2 кролика и 5 фазанов или 3 кролика и 3 фазана или 4 кролика и 1 фазан.

2. Использование неравенств

Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение 5х + 8у = 39.

Решение. Для уменьшения перебора вариантов рассмотрим неравенства

Проведем перебор по неизвестной у с учётом условия . Предварительно выразим х:

Если у = 1, то не является натуральным числом.

Если у = 2, то не является натуральным числом.

Если у = 3, то

Если у = 4, то не является натуральным числом.

3. Использование отношения делимости

Пример 3. Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и 160 кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида, если вместе они весят 3 тонны? Указать все решения.

Решение. Пусть х – количество контейнеров первого вида, у – количество контейнеров второго вида, тогда имеем уравнение:

Значит, разность делится на 13.

Если не является натуральным числом.

Если не является натуральным числом.

Если

Если не является натуральным числом.

Если не является натуральным числом.

Если , но

Ответ: 12 контейнеров по 130 кг и 9 контейнеров по 160 кг.

4. Выделение целой части

Пример 4. У осьминога 8 ног, а у морской звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них 39 ног?

Решение. Пусть х – количество осьминогов, у – количество морских звёзд, тогда получаем уравнение:

Выразим у из уравнения и выделим целую часть:

Значит, разность делится на 5.

Если не является натуральным числом.

Если не является натуральным числом.

Если не является натуральным числом.

Ответ: 3 осьминога и 3 морские звезды.

Замечание. В двух последних примерах использовано отношение делимости, при этом уравнения приводились к разному виду.

Пример 5. Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причём в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа В входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа А.

Решение. Пусть в автобус типа В входит х человек, а в автобус типа А входит х + 7 человек, и пусть каждый их трёх автобусов типа В сделает по у рейсов, а каждый из двух автобусов типа А по у + 1 рейсов. Так как в обоих случаях автобусы перевезут одно и то же количество детей, получаем уравнение:

Число – это один из восьми делителей числа 42.

Математика 5 класс, часть 1

Математика 5 класс, часть 1.

Тема урока: «Метод перебора» (работа с задачами 4 типа)

1) сформировать представление о методе перебора;

2) сформировать умение решать задачи 4 типа по выведенному алгоритму;

3) повторить и закрепить представление чисел в виде произведения двух множителей, составление моделей задач 4 типа, работу с именованными величинами объема.

Оборудование, демонстрационный материал

1) задания для актуализации знаний:

Работа с математическими моделями

1. Числовые и буквенные выражения

2. Уравнения вида: ах + bх = с

3. Уравнения вида: х(х + а) = с

№ 1. Запишите с помощью фигурных скобок множество делителей числа 48.

№ 2. Представьте число 60 в виде произведения двух множителей
всеми возможными способами.

Алгоритм решения уравнений методом перебора.

1. Проанализировать первое уравнение и найти множество его возможных корней.

2. Проверить, можно ли сократить количество элементов данного множества за счет использования чисел.

3. Проверить для каждой пары, которая является корнем второго уравнения.

4. Записать ответ, выписав все найденные корни.

Алгоритм решения задач 4 типа.

1. Внимательно прочитать условие и вопрос задачи.

2. Определить взаимосвязь между входящими в нее величинами (если необходимо, записать их в виде формул, схем, таблиц).

3. Проверить соответствие единиц измерения величин (при необходимости выполнить их преобразования).

4. Обозначить неизвестные величины буквами и составить уравнения.

5. Если возможно, упростить уравнения и решить их методом перебора.

6. Ответить на вопрос задачи (проверить ответ на соответствие единицам счета или измерения)

xy = a,

4) Раздаточный материал

1. Эталон для самопроверки самостоятельной работы.

Количество карандашей в 1 коробке

Общее количество
карандашей

36 или (х – 1) (у + 3)

ху = 36

Составить таблицу делителей 36:

Для каждой пары проверяем верность второго уравнения:

Если х = 2, у = 18, то (2 – 1)(18 + 3) = 36 (ложно)

Если х = 3, у = 12, то (3 – 1)(12 + 3) = 36 (ложно)

Если х = 4, у = 9, то (4 – 1)(9 + 3) = 36 (истинно)

Если х = 6, у = 6, то (6 – 1)(6 + 3) = 36 (ложно)

Ответить на вопрос задачи.

Значит, было 4 коробки по 6 карандашей в каждой.

Записать ответ задачи.

Ответ: 4 коробки по 6 карандашей.

2. Карточка для этапа рефлексии.

1. Я смогу применить новый алгоритм при выполнении домашней работы.

2. В самостоятельной работе у меня все получилось.

3. Я нашел место и понял причину своей ошибки в самостоятельной работе.

4. Я знаю над чем мне надо поработать.

5. Я доволен своей работой на уроке.

Ход урока

Цель этапа: включение учащихся в учебную деятельность и определение её содержательных рамок: продолжение работы с математическими моделями.

Организация учебного процесса на этапе 1:

— Доброе утро, ребята. Я рада вновь вас видеть на уроке математики.

Мы с вами на наших уроках работаем с математическими моделями. Сегодня вам предстоит вспомнить то, что вам известно и узнать что-то новое, ведь вы пришли учиться.

— Что вам нужно сделать сначала для успешной работы сегодня на уроке? (Повторить, что уже умеем выполнять)

— Хорошо! Приступаем к повторению.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности

Цель этапа: актуализировать знания учащихся по различным видам моделей, изученных ранее; зафиксировать затруднение в работе с моделью задач четвёртого типа, невозможности решить уравнение известными способами; сформулировать тему урока в общем виде.

Организация учебного процесса на этапе 2:

— Вспомните, какие основные моменты, связанные с моделями, проверялись в контрольной работе. (Составление моделей трех видов и их решение:

1) числовые и буквенные выражения

2) уравнения вида: ах + bх = с

3) уравнения вида: х(х + а) = с)

На доске появляется таблица, в которой правый столбец пустой и заполняется на уроке по вопросам учителя, как ответы учащихся; в первом столбце отсутствует п. 4.

Работа с математическими моделями

1. Числовые и буквенные выражения

2. Уравнения вида: ах + bх = с

3. Уравнения вида: х(х + а) = с

4. ху = а
(х + b)(у + с) = а

Упрощение выражений и нахождение их значений

Решение уравнений, используя распределительное свойство

Метод проб и ошибок

— Какую работу вы умеете выполнять над этими моделями? (Составлять выражения, уравнения, решать их.)

— Какие способы решения моделей трех типов вам известны? (1) Упрощение выражений и нахождение их значений; 2) Решение уравнений, используя распределительное свойство; 3) Метод проб и ошибок.)

— В составленной таблице указаны все модели текстовых задач, которые мы рассматривали? (Нет.)

— Какие модели вы еще знаете? (Два уравнения с двумя переменными и уравнение с двумя переменными.)

— Откройте тетради с домашними работами и посмотрите, на какую модель была задача? (Модель задачи состояла из двух уравнений с двумя переменными.)

Через проектор идет проверка решения задачи.

Задача. Для проведения праздника надо было изготовить 48 подарков. Эту работу поручили выполнить нескольким работникам. Если бы работников было на 2 больше, то подарков каждому пришлось бы сделать на 4 меньше. Сколько было работников и сколько подарков собрал каждый из них?

Количество подарков на 1 работника

Общее количество подарков

48 или (х + 2)(у – 4)

ху = 48

Модель данной задачи написана и на доске, но закрыта до определенного момента урока.

— Ребята есть другие варианты решения? Чем они отличаются от данной модели? (Если есть другие варианты, то выслушиваются ответы учащиеся.)

— Что помогло вам в составлении модели к этой задаче? (Алгоритм построения математической модели к задачам 4 типа.)

— Проговорите шаги данного алгоритма.

Алгоритм вывешивается на доску.

— Какая модель к задачам 4 типа существует в общем виде? Выберите ее из предложенных карточек

xy = a,

В таблице заполняется четвертая строка 1 столбца.

— Вы знаете, как работать с такими моделями? (Нет.)

— Какая цель сегодняшнего урока? (Научиться решать модели, в которых два уравнения с двумя переменными.)

— Какая тема урока? (Решение двух уравнений с двумя переменными.)

На доске открывается тема урока, учащиеся записывают ее в тетрадь: «Решение двух уравнений с двумя переменными».

— В ходе урока мы с вами уточним тему урока.

-Ребята, что помогает вам на уроках в освоении нового материала? (Повторение изученного материала.)

— Готовы к дальнейшему повторению? (Да.)

— Рассмотрим следующее задания.

Задания подготовлены на боковых досках и были закрыты.

№ 1. Запишите с помощью фигурных скобок множество делителей числа 48.

№ 2. Представьте число 60 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами.

Решение: 60 = 1 ∙= 4 ∙ 15

— Как называются множители произведений для числа 60? (Делителями.)

— Какую цель вы поставили? (Научиться решать модели, состоящие из двух уравнений с двумя переменными.)

— Вернемся к модели из домашней работы. Запишите в тетрадях модель:

ху = 48

Модель открывается на доске, учащиеся записывают ее в тетрадях.

— Посмотрите на доску в таблицу, где вы повторили модели решения задач. И еще раз проговорит какие способы решения уравнений вы знаете. (1) Упрощение выражений и нахождение их значений; 2) Решение уравнений, используя распределительное свойство; 3) Метод проб и ошибок.)

— Какой еще способ решения уравнений вам известен? (Нахождение неизвестного компонента.)

— Что вы сейчас повторили? (Известные способы решения моделей задач — уравнений.)

— Решите записанную модель уравнения одним из известных вам способом.

— Для работы даю вам 2-3 минуты.

По истечению времени учитель просит продемонстрировать результаты работы учащихся.

Вариант первый: нет правильных решение, нет решений.

-Что показало выполнение этого задания? (Мы не смогли решить, так как не знаем способа решения таких уравнений. Не хватило времени, а решить надо было два уравнения.)

Вариант второй: есть правильные решения.

— Докажите, что вы решили уравнение верно. (Не можем, нет алгоритма решения таких уравнений.)

3. Выявление места и причины затруднения.

Цель этапа: зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности.

Организация учебного процесса на этапе 3:

— Какую модель вы должны были решить? (Два уравнения с двумя переменными.)

— Какой из известных способов вы пытались применить? (Метод проб и ошибок.)

— Возможно, найти решение этим способом? (Да, но это займет много времени.)

— Как же быть? (Надо найти другой способ, который позволит найти решение этой модели, и не будет вызывать сомнений, все ли решения найдены.)

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа: Составление плана для реализации выхода из затруднения; фиксация во внешней речи основных правил, алгоритмов, повторенных на уроке.

Организация учебного процесса на этапе 4:

— Что теперь будем делать? (Находить новый способ, составлять алгоритм.)

— Что поможет вам в достижении цели? (Известные алгоритмы, правила, повторенные на уроке вопросы.)

— Проговорим известные алгоритмы.

— Решение таких уравнений сложный вопрос и я вам помогу достичь поставленной цели, для этого мы с вами составим план решения новых уравнений.

— Проанализируем уравнения, входящие в модель.

Проанализируем первое уравнение.

Проанализируем второе уравнение

Найдем общее решение модели: двух уравнений с двумя переменными.

5. Реализация построенного проекта.

Цель этапа: Построение алгоритма решения двух уравнений с двумя переменными методом перебора по намеченному плану; построение алгоритма решения задач 4 типа.

Организация учебного процесса на этапе 5:

— Чтобы найти более простое решение, что необходимо провести с моделью? (Анализ.)

— Рассмотрим первое уравнение: ху = 48.

-Что вы можете сказать о нем? (В левой части два множителя, произведение которых равно 48.)

— Сможем найти все такие варианты? (Да.)

— Что составим? (Пары чисел, произведения которых равны 48.)

— Рассмотрим второе уравнение модели: (х + 2)(у – 4) = 48.

— Что вы скажите про это уравнение? (В левой части тоже произведение двух множителей, но они другие, а произведение так же равно 48.)

— Какой вывод можно сделать о корнях первого и второго уравнений? (Они должны быть одинаковыми числами.)

— Каким может быть значение переменной х? (Больше 1 и делителем числа 48.)

— Каким может быть значение переменной у? (Больше 4 и делителем числа 48.)

-Составим и заполним таблицу для х и у, которые являются делителями числа 48.

Учитель оформляет таблицу на доске, ученики в тетрадях:

Научно-исследовательская работа » Метод перебора»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Метод перебора..doc

Всероссийский фестиваль исследовательских и

творческих работ учащихся «Портфолио».

Математика. В помощь учителю.

Автор ─ составитель: Маркевич Евгений,

11 «В» класс МОУ СОШ № 2 г. Нарткала.

Руководитель: Грудачёва А. Н.,

Метод перебора. Математика. В помощь учителю. Автор─составитель: Маркевич Евгений, 11 класс.

Руководитель: Грудачёва А. Н., учитель математики. ─ г.Нарткала, МОУ СОШ № 2, 2013г.

В работе рассматривается один из древнейших методов решения математических задач, возникающих на практике ─ это метод перебора. Задачи, решаемые методом перебора, приводят зачастую к красивым, неожиданным результатам, которые полезно рассмотреть на кружке или факультативе.

Перебор ─ один из древнейших методов решения математических задач, возникающих на практике. Трудно назвать ещё какой-либо метод, который мы использовали бы так же часто в своей повседневной жизни, как этот. Метод перебора, является наряду с анализом, синтезом и другими методами, важным инструментом интеллектуальной деятельности учащихся. Он наиболее легко алгоритмизируется и поэтому может быть положен в основу составления компьютерных программ для решения задач.

Перебор применяется лишь в тех случаях, когда речь идет о конечном числе значений переменных. Этот метод, хотя и не требует больших знаний в области математики, имеет значительную дидактическую ценность. Она состоит в том, что при переборе мы фактически экспериментируем, наблюдаем, на основе частных выводов делаем общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается учебный и практический опыт. Задачи, решаемые методом перебора, приводят зачастую к красивым, неожиданным результатам, которые полезно рассмотреть на кружке или факультативе.

Перебор должен носить системный характер, только тогда он обеспечивает рассмотрение всех возможных случаев и позволяет не только найти решение, но и показать, что других решений нет. Если число случаев невелико, то применяется простой (полный) перебор. Но если число случаев очень велико, то простой перебор становится трудоемким, и здесь уже применяется метод оптимального перебора, который фактически является простейшим вариантом методов линейного программирования.

При оптимальном переборе между значениями функции устанавливается закономерность, которая позволяет рассмотреть не все значения функции, а лишь некоторые из них. Оптимальный перебор, предпочтительнее даже в небольшом количестве значений аргумента, хотя появление компьютеров делает возможным и весьма быстрым перебор большого числа значений переменных. Рассмотрим задачи.

Решите в натуральных числах уравнение:

Решение: число 96 делится нацело на ( ), если выражение ( ) принимает значения из множества <1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 12; 16; 24; 32; 48; 96>.

В таком случае значения также принадлежат этому множеству. Легко видеть, что принимают натуральные значения только в том случае, если . Первая система дает две пары значений ( x ; y ):

(2; 4) и (4; 2). Вторая ─ одну (1; 95).

Решите в целых числах систему уравнений:

Решение: из второго уравнения вычитаем первое, получим Число 6 можно разложить на целые множители четырьмя способами: Отсюда и из последнего уравнения получаем восемь систем:

Эти системы дают следующие тройки значений (х;y; z ):

которые являются решениями данной системы.

Существует ли такое натуральное число n , не равное 1, при котором число делится на 100?

Решение: число делится на 100, если две последние его цифры ─ нули. Таким образом, нет никакой необходимости возводить число 7 в n -ю степень, достаточно следить за двумя последними цифрами степеней, что облегчает процесс перебора. Простыми прикидками получим, что .

В последнем случае имеем: , т.е. число делится на 100.

Завод должен переслать заказчику 1100 деталей. Детали упаковываются в ящики трех видов: по 70, 40 или 25 деталей в каждом. Стоимость пересылки одного ящика соответственно 20, 10 или 7 рублей. Сколько ящиков, и какого вида должен использовать завод, чтобы стоимость пересылки была наименьшей. Недогрузка ящиков не допускается.

Решение: 1 способ (простой перебор):

стоимость пересылки одной детали в первом ящике составляет 2/7 руб., во втором ─ 1/4руб., в третьем ─ 7/25 руб.

Поскольку то выгоднее всего пересылать детали в ящиках по 40 штук, не менее выгодно ─ по 25штук и еще менее выгодно упаковать детали в ящики по 70 штук. Но в ящики по 40 штук нельзя упаковывать без недогрузки 1100 деталей, поэтому приходится искать наибольшее число деталей, которые можно переслать в ящиках по 40 штук. Это число следует искать среди чисел, близких к 1100 и кратных 40, т.е. среди чисел 1080, 1040, 1000 и т.д. Из последовательности 1080, 1040, 1000,…. Первым числом, которое нам подходит, является число 1000, так как в этом случае остается 100 деталей, которые можно разместить в четырех ящиках по 25 штук. Мы показали, что выгоднее всего взять 25 ящиков по 40 деталей в каждом и

4 ящика по 25 деталей.

2 способ: составим по условию задачи таблицу.

деталей в одном ящике

70

20

40

10

25

Суммируя стоимости пересылки ящиков всех трёх видов, составим функцию: Найдём минимальное значение функции при условии:

Учитывая стоимость пересылки одной детали , делаем вывод, что наиболее выгодно пересылать детали в ящиках второго вида, т.е. так, чтобы в каждом ящике было по 40 деталей. Тогда должно выполняться условие, при котором уравнение 40 Оно не имеет решений в области натуральных чисел. Это значит, что необходимо использовать ящики и другого вида. Выгоднее всего предпочесть ящики третьего вида, т.е. положить, что Тогда уравнение , будет иметь вид или Решая последнее уравнение в натуральных числах при помощи метода перебора, находим следующие пары значений переменных и х _{3 :} (0; 44), (5; 36), (10; 28),

(15; 20), (20; 12), (25; 4). При функция принимает вид . Легко установить непосредственной подстановкой, что наименьшее значение функция принимает при т.е. при использовании пары (25;4).

Найти все двузначные числа, каждое из которых на 13 больше суммы квадратов его цифр.

Решение: пусть х ─ это десятки и у ─ единиц в данных числах, тогда их можно записать в виде 10х + у. По условию, 10х + у = х 2 + у 2 + 13, или

х 2 ─10х + у 2 ─ у + 13 = 0. Решим это уравнение:

D =4(25─ у 2 + у – 13) = 4 ·(12 – у 2 + у)=4·(4 ─ у)(у+3).

Дискриминант больше или равен нулю, если ─3≤ у≤ 4. Так как у выражается целым неотрицательным числом, то у=0, 1, 2, 3, 4.

Рассмотрим все случаи:

Если у=0, у=1, у=2, у=3 , то х ─ не натуральное число, а если у=4 , то х = 5.

Получим число – 54.

В задачах учащиеся сталкиваются с проблемой решения уравнений в целых и натуральных числах, со стандартным приёмом определения делимости чисел данного вида по их последним цифрам. На примере практической задачи мы показали, как может быть использован метод перебора при решении экстремальных задач.

Бартнев Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре. М., 1976. Возняк Г.М., Малюк Е.П. Прикладная направленность школьного курса математики. Киев, 1984.

Гарднер М. Математические досуги. М., 1972.

Монахов В.М., Малкова Т.В. Математическое моделирование – необходимый компонент современной подготовки школьника.

Математика в школе. 1984. №3.

Ткачук В.В. Математика ─ абитуриенту. М., 1995.