Решение линейных уравнений методом гаусса для чайников

Метод Гаусса для чайников: примеры решений

В данной статье метод рассматривается как способ решения систем линейных уравнений (СЛАУ). Метод является аналитическим, то есть позволяет написать алгоритм решения в общем виде, а потом уже подставлять туда значения из конкретных примеров. В отличие от матричного метода или формул Крамера, при решении системы линейных уравнений методом Гаусса можно работать и с теми, что имеют решений бесконечно много. Или не имеют его вовсе.

Что значит решить методом Гаусса?

Для начала необходимо нашу систему уравнений записать в виде матрицы. Выглядит это следующим образом. Берется система:

Коэффициенты записываются в виде таблицы, а справа отдельным столбиком — свободные члены. Столбец со свободными членами отделяется для удобства вертикальной чертой. Матрица, включающая в себя этот столбец, называется расширенной.

Далее основную матрицу с коэффициентами нужно привести к верхней треугольной форме. Это основной момент решения системы методом Гаусса. Проще говоря, после определенных манипуляций матрица должна выглядеть так, чтобы в ее левой нижней части стояли одни нули:

Тогда, если записать новую матрицу опять как систему уравнений, можно заметить, что в последней строке уже содержится значение одного из корней, которое затем подставляется в уравнение выше, находится еще один корень, и так далее.

Это описание решения методом Гаусса в самых общих чертах. А что получится, если вдруг у системы нет решения? Или их бесконечно много? Чтобы ответить на эти и еще множество вопросов, необходимо рассмотреть отдельно все элементы, использующиеся при решении методом Гаусса.

Матрицы, их свойства

Никакого скрытого смысла в матрице нет. Это просто удобный способ записи данных для последующих операций с ними. Бояться их не надо даже школьникам.

Матрица всегда прямоугольная, потому что так удобнее. Даже в методе Гаусса, где все сводится к построению матрицы треугольного вида, в записи фигурирует прямоугольник, только с нулями на том месте, где нет чисел. Нули можно не записывать, но они подразумеваются.

Матрица имеет размер. Ее «ширина» — число строк (m), «длина» — число столбцов (n). Тогда размер матрицы A (для их обозначения обычно используются заглавные латинские буквы) будет обозначаться как A_m×n. Если m=n, то эта матрица квадратная, и m=n — ее порядок. Соответственно, любой элемент матрицы A можно обозначить через номер его строки и столбца: a_xy; x — номер строки, изменяется [1, m], y — номер столбца, изменяется [1, n].

В методе Гаусса матрицы — это не основной момент решения. В принципе, все операции можно выполнять непосредственно с самими уравнениями, однако запись получится куда более громоздкая, и в ней будет гораздо легче запутаться.

Определитель

Еще у матрицы есть определитель. Это очень важная характеристика. Выяснять его смысл сейчас не стоит, можно просто показать, как он вычисляется, а потом рассказать, какие свойства матрицы он определяет. Наиболее простой способ нахождения определителя — через диагонали. В матрице проводятся воображаемые диагонали; элементы, находящиеся на каждой из них, перемножаются, а затем полученные произведения складываются: диагонали с наклоном вправо — со знаком «плюс», с наклоном влево — со знаком «минус».

Крайне важно отметить, что вычислять определитель можно только у квадратной матрицы. Для прямоугольной матрицы можно сделать следующее: из количества строк и количества столбцов выбрать наименьшее (пусть это будет k), а затем в матрице произвольным образом отметить k столбцов и k строк. Элементы, находящиеся на пересечении выбранных столбцов и строк, составят новую квадратную матрицу. Если определитель такой матрицы будет числом, отличным от нуля, то назовется базисным минором первоначальной прямоугольной матрицы.

Перед тем как приступить к решению системы уравнений методом Гаусса, не мешает посчитать определитель. Если он окажется нулевым, то сразу можно говорить, что у матрицы количество решений либо бесконечно, либо их вообще нет. В таком печальном случае надо идти дальше и узнавать про ранг матрицы.

Классификация систем

Существует такое понятие, как ранг матрицы. Это максимальный порядок ее определителя, отличного от нуля (если вспомнить про базисный минор, можно сказать, что ранг матрицы — порядок базисного минора).

По тому, как обстоят дела с рангом, СЛАУ можно разделить на:

• Совместные. У совместных систем ранг основной матрицы (состоящей только из коэффициентов) совпадает с рангом расширенной (со столбцом свободных членов). Такие системы имеют решение, но необязательно одно, поэтому дополнительно совместные системы делят на:
• — определенные — имеющие единственное решение. В определенных системах равны ранг матрицы и количество неизвестных (или число столбцов, что есть одно и то же);
• — неопределенные — с бесконечным количеством решений. Ранг матриц у таких систем меньше количества неизвестных.
• Несовместные. У таких систем ранги основной и расширенной матриц не совпадают. Несовместные системы решения не имеют.

Метод Гаусса хорош тем, что позволяет в ходе решения получить либо однозначное доказательство несовместности системы (без вычисления определителей больших матриц), либо решение в общем виде для системы с бесконечным числом решений.

Элементарные преобразования

До того как приступить непосредственно к решению системы, можно сделать ее менее громоздкой и более удобной для вычислений. Это достигается за счет элементарных преобразований — таких, что их выполнение никак не меняет конечный ответ. Следует отметить, что некоторые из приведенных элементарных преобразований действительны только для матриц, исходниками которых послужили именно СЛАУ. Вот список этих преобразований:

1. Перестановка строк. Очевидно, что если в записи системы поменять порядок уравнений, то на решение это никак не повлияет. Следовательно, в матрице этой системы также можно менять местами строки, не забывая, конечно, про столбец свободных членов.
2. Умножение всех элементов строки на некоторый коэффициент. Очень полезно! С помощью него можно сократить большие числа в матрице или убрать нули. Множество решений, как обычно, не изменится, а выполнять дальнейшие операции станет удобнее. Главное, чтобы коэффициент не был равен нулю.
3. Удаление строк с пропорциональными коэффициентами. Это отчасти следует из предыдущего пункта. Если две или более строки в матрице имеют пропорциональные коэффициенты, то при умножении/делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получаются две (или, опять же, более) абсолютно одинаковые строки, и можно убрать лишние, оставив только одну.
4. Удаление нулевой строки. Если в ходе преобразований где-то получилась строка, в которой все элементы, включая свободный член, — ноль, то такую строку можно назвать нулевой и выкинуть из матрицы.
5. Прибавление к элементам одной строки элементов другой (по соответствующим столбцам), умноженных на некоторый коэффициент. Самое неочевидное и самое важное преобразование из всех. На нем стоит остановиться поподробнее.

Прибавление строки, умноженной на коэффициент

Для простоты понимания стоит разобрать этот процесс по шагам. Берутся две строки из матрицы:

Допустим, необходимо ко второй прибавить первую, умноженную на коэффициент «-2».

Затем в матрице вторая строка заменяется на новую, а первая остается без изменений.

Необходимо заметить, что коэффициент умножения можно подобрать таким образом, чтобы в результате сложения двух строк один из элементов новой строки был равен нулю. Следовательно, можно получить уравнение в системе, где на одну неизвестную будет меньше. А если получить два таких уравнения, то операцию можно проделать еще раз и получить уравнение, которое будет содержать уже на две неизвестных меньше. А если каждый раз превращать в ноль один коэффициент у всех строк, что стоят ниже исходной, то можно, как по ступенькам, спуститься до самого низа матрицы и получить уравнение с одной неизвестной. Это и называется решить систему методом Гаусса.

В общем виде

Пусть существует система. Она имеет m уравнений и n корней-неизвестных. Записать ее можно следующим образом:

Из коэффициентов системы составляется основная матрица. В расширенную матрицу добавляется столбец свободных членов и для удобства отделяется чертой.

• первая строка матрицы умножается на коэффициент k = (-a₂₁/a₁₁);
• первая измененная строка и вторая строка матрицы складываются;
• вместо второй строки в матрицу вставляется результат сложения из предыдущего пункта;
• теперь первый коэффициент в новой второй строке равен a₁₁ × (-a₂₁/a₁₁) + a₂₁ = -a₂₁ + a₂₁ = 0.

Теперь выполняется та же серия преобразований, только участвуют первая и третья строки. Соответственно, в каждом шаге алгоритма элемент a₂₁ заменяется на a₃₁. Потом все повторяется для a₄₁, . a_m1. В итоге получается матрица, где в строках [2, m] первый элемент равен нулю. Теперь нужно забыть о строке номер один и выполнить тот же алгоритм, начиная со второй строки:

• коэффициент k = (-a₃₂/a₂₂);
• с «текущей» строкой складывается вторая измененная строка;
• результат сложения подставляется в третью, четвертую и так далее строки, а первая и вторая остаются неизменными;
• в строках [3, m] матрицы уже два первых элемента равны нулю.

Алгоритм надо повторять, пока не появится коэффициент k = (-a_m,m-1/a_mm). Это значит, что в последний раз алгоритм выполнялся только для нижнего уравнения. Теперь матрица похожа на треугольник, или имеет ступенчатую форму. В нижней строчке имеется равенство a_mn × x_n = b_m. Коэффициент и свободный член известны, и корень выражается через них: x_n = b_m/a_mn. Полученный корень подставляется в верхнюю строку, чтобы найти x_n-1 = (b_m-1 — a_m-1,n×(b_m/a_mn))÷a_m-1,n-1. И так далее по аналогии: в каждой следующей строке находится новый корень, и, добравшись до «верха» системы, можно отыскать множество решений [x₁, . x_n]. Оно будет единственным.

Когда нет решений

Если в одной из матричных строк все элементы, кроме свободного члена, равны нулю, то уравнение, соответствующее этой строке, выглядит как 0 = b. Оно не имеет решения. И поскольку такое уравнение заключено в систему, то и множество решений всей системы — пустое, то есть она является вырожденной.

Когда решений бесконечное количество

Может получиться так, что в приведенной треугольной матрице нет строк с одним элементом-коэффициентом уравнения, и одним — свободным членом. Есть только такие строки, которые при переписывании имели бы вид уравнения с двумя или более переменными. Значит, у системы имеется бесконечное число решений. В таком случае ответ можно дать в виде общего решения. Как это сделать?

Все переменные в матрице делятся на базисные и свободные. Базисные — это те, которые стоят «с краю» строк в ступенчатой матрице. Остальные — свободные. В общем решении базисные переменные записываются через свободные.

Для удобства матрица сначала переписывается обратно в систему уравнений. Потом в последнем из них, там, где точно осталась только одна базисная переменная, она остается с одной стороны, а все остальное переносится в другую. Так делается для каждого уравнения с одной базисной переменной. Потом в остальные уравнения, там, где это возможно, вместо базисной переменной подставляется полученное для нее выражение. Если в результате опять появилось выражение, содержащее только одну базисную переменную, она оттуда опять выражается, и так далее, пока каждая базисная переменная не будет записана в виде выражения со свободными переменными. Это и есть общее решение СЛАУ.

Можно также найти базисное решение системы — дать свободным переменным любые значения, а потом для этого конкретного случая посчитать значения базисных переменных. Частных решений можно привести бесконечно много.

Решение на конкретных примерах

Вот система уравнений.

Для удобства лучше сразу составить ее матрицу

Известно, что при решении методом Гаусса уравнение, соответствующее первой строке, в конце преобразований останется неизменным. Поэтому выгодней будет, если левый верхний элемент матрицы будет наименьшим — тогда первые элементы остальных строк после операций обратятся в ноль. Значит, в составленной матрице выгодно будет на место первой строки поставить вторую.

Далее необходимо так изменить вторую и третью строки, чтобы первые элементы стали нулями. Для этого надо сложить их с первой, умноженной их на коэффициент:

Теперь, чтобы не запутаться, необходимо записать матрицу с промежуточными результатами преобразований.

Очевидно, что такую матрицу можно сделать более удобной для восприятия с помощью некоторых операций. Например, из второй строки можно убрать все «минусы», умножая каждый элемент на «-1».

Стоит также заметить, что в третьей строке все элементы кратны трем. Тогда можно сократить строку на это число, умножая каждый элемент на «-1/3» (минус — заодно, чтобы убрать отрицательные значения).

Выглядит гораздо приятнее. Теперь надо оставить в покое первую строку и поработать со второй и третьей. Задача — прибавить к третьей строке вторую, умноженную на такой коэффициент, чтобы элемент a₃₂ стал равен нулю.

k = (-a₃₂/a₂₂) = (-3/7) = -3/7 (если в ходе некоторых преобразований в ответе получилось не целое число, рекомендуется для соблюдения точности вычислений оставить его «как есть», в виде обыкновенной дроби, а уже потом, когда получены ответы, решать, стоит ли округлять и переводить в другую форму записи)

Снова записывается матрица с новыми значениями.

Как видно, полученная матрица уже имеет ступенчатый вид. Поэтому дальнейшие преобразования системы по методу Гаусса не требуются. Что здесь можно сделать, так это убрать из третьей строки общий коэффициент «-1/7».

Теперь все красиво. Дело за малым — записать матрицу опять в виде системы уравнений и вычислить корни

x + 2y + 4z = 12 (1)

Тот алгоритм, по которому сейчас будут находиться корни, называется обратным ходом в методе Гаусса. В уравнении (3) содержится значение z:

Далее возвращаемся ко второму уравнению:

y = (24 — 11×(61/9))/7 = -65/9

И первое уравнение позволяет найти x:

x = (12 — 4z — 2y)/1 = 12 — 4×(61/9) — 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Такую систему мы имеем право назвать совместной, да еще и определенной, то есть имеющей единственное решение. Ответ записывается в следующей форме:

Пример неопределенной системы

Вариант решения определенной системы методом Гаусса разобран, теперь необходимо рассмотреть случай, если система неопределенная, то есть для нее можно найти бесконечно много решений.

Сам вид системы уже настораживает, потому что количество неизвестных n = 5, а ранг матрицы системы уже точно меньше этого числа, потому что количество строк m = 4, то есть наибольший порядок определителя-квадрата — 4. Значит, решений существует бесконечное множество, и надо искать его общий вид. Метод Гаусса для линейных уравнений позволяет это сделать.

Сначала, как обычно, составляется расширенная матрица.

Вторая строка: коэффициент k = (-a₂₁/a₁₁) = -3. В третьей строке первый элемент — еще до преобразований, поэтому не надо ничего трогать, надо оставить как есть. Четвертая строка: k = (-а₄₁/а₁₁) = -5

Умножив элементы первой строки на каждый их коэффициентов по очереди и сложив их с нужными строками, получаем матрицу следующего вида:

Как можно видеть, вторая, третья и четвертая строки состоят из элементов, пропорциональных друг другу. Вторая и четвертая вообще одинаковые, поэтому одну из них можно убрать сразу, а оставшуюся умножить на коэффициент «-1» и получить строку номер 3. И опять из двух одинаковых строк оставить одну.

Получилась такая матрица. Пока еще не записана система, нужно здесь определить базисные переменные — стоящие при коэффициентах a₁₁ = 1 и a₂₂ = 1, и свободные — все остальные.

Во втором уравнении есть только одна базисная переменная — x₂. Значит, ее можно выразить оттуда, записав через переменные x₃, x₄, x₅, являющиеся свободными.

Подставляем полученное выражение в первое уравнение.

Получилось уравнение, в котором единственная базисная переменная — x₁. Проделаем с ней то же, что и с x₂.

Все базисные переменные, которых две, выражены через три свободные, теперь можно записывать ответ в общем виде.

Также можно указать одно из частных решений системы. Для таких случаев в качестве значений для свободных переменных выбирают, как правило, нули. Тогда ответом будет:

Пример несовместной системы

Решение несовместных систем уравнений методом Гаусса — самое быстрое. Оно заканчивается сразу же, как только на одном из этапов получается уравнение, не имеющее решения. То есть этап с вычислением корней, достаточно долгий и муторный, отпадает. Рассматривается следующая система:

Как обычно, составляется матрица:

И приводится к ступенчатому виду:

После первого же преобразования в третьей строке содержится уравнение вида

не имеющее решения. Следовательно, система несовместна, и ответом будет пустое множество.

Преимущества и недостатки метода

Если выбирать, каким методом решать СЛАУ на бумаге ручкой, то метод, который был рассмотрен в этой статье, выглядит наиболее привлекательно. В элементарных преобразованиях гораздо труднее запутаться, чем в том случается, если приходится искать вручную определитель или какую-нибудь хитрую обратную матрицу. Однако, если использовать программы для работы с данными такого типа, например, электронные таблицы, то оказывается, что в таких программах уже заложены алгоритмы вычисления основных параметров матриц — определитель, миноры, обратная и транспонированная матрицы и так далее. А если быть уверенным в том, что машина посчитает эти значения сама и не ошибется, целесообразней использовать уже матричный метод или формул Крамера, потому что их применение начинается и заканчивается вычислением определителей и обратными матрицами.

Применение

Поскольку решение методом Гаусса представляет из себя алгоритм, а матрица — это, фактически, двумерный массив, его можно использовать при программировании. Но поскольку статья позиционирует себя, как руководство «для чайников», следует сказать, что самое простое, куда метод можно запихнуть — это электронные таблицы, например, Excel. Опять же, всякие СЛАУ, занесенные в таблицу в виде матрицы, Excel будет рассматривать как двумерный массив. А для операций с ними существует множество приятных команд: сложение (складывать можно только матрицы одинаковых размеров!), умножение на число, перемножение матриц (также с определенными ограничениями), нахождение обратной и транспонированной матриц и, самое главное, вычисление определителя. Если это трудоемкое занятие заменить одной командой, можно гораздо быстрее определять ранг матрицы и, следовательно, устанавливать ее совместность или несовместность.

Метод Гаусса для решения СЛАУ

В данной публикации мы рассмотрим, что такое метод Гаусса, зачем он нужен, и в чем заключается его принцип. Также мы на практическом примере продемонстрируем, как метод можно применить для решения системы линейных уравнений.

Описание метода Гаусса

Метод Гаусса – классический способ последовательного исключения переменных, применяемый для решения системы линейных уравнений. Назван так в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777 – 1885).

Но для начала напомним, что СЛАУ может:

• иметь одно единственное решение;
• иметь бесконечное множество решений;
• быть несовместной, т.е. не иметь решений.

Практическая польза

Метод Гаусса – отличный способ решить СЛАУ, которая включает более трех линейных уравнений, а также систем, не являющихся квадратными.

Принцип метода Гаусса

Метод включает следующие этапы:

прямой – расширенная матрица, соответствующая системе уравнений, путем элементарных преобразований над строками приводится к верхнему треугольному (ступенчатому) виду, т.е. под главной диагональю должны находиться только элементы, равные нулю.

Пример решения СЛАУ

Давайте решим систему линейных уравнение ниже, воспользовавшись методом Гаусса.

Решение

1. Для начала представим СЛАУ в виде расширенной матрицы.

2. Теперь наша задача – это обнулить все элементы под главной диагональю. Дальнейшие действия зависят от конкретной матрицы, ниже мы опишем те, что применимы к нашему случаю. Сначала поменяем строки местами, таким образом расположив их первые элементы в порядке возрастания.

3. Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую.

4. Прибавим к третьей строке вторую.

5. Отнимем из первой строки вторую, и одновременно с этим действием разделим третью строку на -10.

6. Первый этап завершен. Теперь нам нужно получить нулевые элементы над главной диагональю. Для этого из первой строки вычтем третью, умноженную на 7, а ко второй прибавим третью, умноженную на 5.

7. Финальная расширенная матрица выглядит следующим образом:

8. Ей соответствует система уравнений:

Ответ: корни СЛАУ: x = 2, y = 3, z = 1.

Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

В этой теме мы разберем реализацию метода Гаусса на примерах различных СЛАУ. Напомню преобразования, допустимые в методе Гаусса:

1. Смена мест двух строк.
2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
4. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Замечание относительно пункта №4: некоторые авторы не вычёркивают нулевые строки, а опускают их в низ расширенной матрицы системы. Я предпочитаю не копить внизу матрицы нулевые строки, поэтому считаю удобным просто вычёркивать их по мере появления.

Отмечу, что можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть применяется это преобразование нечасто. Например, смена мест первого и третьего столбцов матрицы системы означает, что переменные $x_1$ и $x_3$ поменялись местами во всех уравнениях.

Сам алгоритм состоит из двух этапов: прямой ход метод Гаусса и обратный. Перед тем, как рассмотреть преобразования, которые выполняются на каждом из указанных этапов, введём несколько терминов.

Нулевая строка – строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка – строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Буквами $r$ (от слова «row») я стану обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Прямой ход метода Гаусса

На данном этапе мы работаем с расширенной матрицей системы. Цель преобразований: сделать расширенную матрицу системы ступенчатой.

Прямой ход метода Гаусса состоит из нескольких шагов, на каждом из которых используется некая строка расширенной матрицы системы. На первом шаге используется первая строка, на втором шаге – вторая и так далее. Как только расширенная матрица системы будет приведена к ступенчатому виду, прямой ход прекратится.

Теперь обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеется хоть одна строка, причём $k$ – номер ведущего элемента текущей строки, а $k_<\min>$ – наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.

• Если $k\lt>$, то переходим к следующему шагу алгоритма, т.е. к использованию следующей строки.
• Если $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$.
• Если $k\gt>$, то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. После этого производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Если таких строк нет, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Нулевые строки могут появиться именно в ходе выполнения прямого хода метода Гаусса. Напомню, что нулевые строки мы вычёркиваем по мере их появления.

На любом шаге можно, хоть это и не обязательно, вычёркивать одинаковые строки (т.е. строки, все соответствующие элементы которых равны меж собой), оставляя при этом одну из этих строк. Например, если строки $r_2$, $r_5$, $r_6$ одинаковы, то можно оставить одну из них, – например, строку $r_2$. При этом строки $r_5$ и $r_6$ будут удалены.

К слову, указанную выше возможность удаления одинаковых строк можно обобщить: допустимо вычёркивать не только одинаковые строки. Если все элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки, умноженным на некое отличное от нуля число, то одну из этих строк можно вычеркнуть. Например, для строк $(-2;\;0;\;4)$ и $(-6;\;0;\;12)$ имеем $(-6;\;0;\;12)=3\cdot(-2;\;0;\;4)$. Следовательно, одну из этих строк можно убрать из матрицы. Впрочем, обязательным условием оставим лишь вычёркивание нулевых строк. Из повторяющихся или пропорциональных строк в любом случае останется лишь одна, а остальные станут нулевыми и будут удалены из матрицы.

Если в ходе выполнения прямого хода метода Гаусса возникла строка вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end\right)$, где $x\neq<0>$, то нет смысла продолжать преобразования, так как система является несовместной, т.е. не имеет решения.

В конце прямого хода метода Гаусса мы должны получить ступенчатую матрицу вида $\left(C|D\right)$, где $C$ – преобразованная матрица системы, а $D$ – преобразованная матрица свободных членов системы.

Обратный ход метода Гаусса

В начале обратного хода метода Гаусса нужно проанализировать результат предыдущего этапа решения, в ходе которого мы получили ступенчатую матрицу вида $\left(C|D\right)$.

Если матрица $C$ является прямоугольной, то нужно оставить слева от черты те столбцы, которые содержат ведущий элемент некоей строки данной матрицы. Остальные столбцы нужно перенести за черту (знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные). Это делается для того, чтобы матрица $C$ стала верхней треугольной матрицей. Если же матрица $C$ является квадратной, то никаких дополнительных действий выполнять не нужно, матрица $C$ уже будет верхней треугольной.

Цель обратного хода метода Гаусса: привести матрицу $\left(C|D\right)$ к виду $\left(E|F\right)$, где $E$ – единичная матрица. Для этого нам потребуется два условия: элементы на главной диагонали матрицы до черты должны равняться единице, а все элементы выше главной диагонали нужно обнулить.

Начинаем преобразования обратного хода метода Гаусса. На обратном ходе метода Гаусса сначала используется последняя строка, затем предпоследняя, и так далее – пока не дойдём до первой строки.

С каждой строкой делаем однотипные действия. Пусть, например, речь идёт о некоей k-й строке $r_k$. Матрица, расположенная до черты, содержит в строке $r_k$ диагональный элемент $a_$. Если $a_=1$, то это нас вполне устраивает, а если $a_\neq<1>$, то просто умножаем строку $r_k$ на коэффициент $\frac<1>>$, чтобы диагональный элемент стал равен 1. Затем с помошью строки $r_k$ обнуляем элементы k-го столбца, расположенные над строкой $r_k$.

Как конкретно происходит обнуление элементов, рассмотрим на практике. Буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_<\min>$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой.

Решить СЛАУ $ \left\ <\begin& x_1+2x_2=11;\\ & 3x_1-x_2=12. \end\right.$ методом Гаусса.

Это вводный пример, в котором поясняются самые простые понятия, лежащие в основе метода Гаусса. В следующем примере применение метода Гаусса будет разобрано пошагово.

Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой обобщённый метод сложения. Для начала избавимся от переменной $x_1$ во втором уравнении. Для этого из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$:

$$ 3x_1-x_2-3\cdot (x_1+2x_2)=12-3\cdot 11;\\ 3x_1-x_2-3x_1-6x_2=12-33;\\ -7x_2=-21. $$

Фразу «из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$» запишем короче: $II-3\cdot$. Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Мы затронули лишь второе уравнение, поэтому исходная система станет такой:

Домножив обе части второго уравнения $-7x_2=-21$ на $-\frac<1><7>$, имеем $x_2=3$. При этом система примет вид:

Переменная $x_2$ найдена. Осталось определить значение переменной $x_1$. Для этой цели преобразуем первое уравнение, убрав из него переменную $x_2$. Вычтем из первого уравнения второе уравнение, предварительно умноженное на 2 (т.е. выполним действие $I-2\cdot$). Первое уравнение станет таким:

$$ x_1+2x_2-2\cdot x_2=11-2\cdot 3;\\ x_1=11-6=5. $$

Ответ найден. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Решение методом Гаусса заданной СЛАУ будет иметь вид:

Однако такая форма записи неудобна. Гораздо удобнее работать с матричной формой записи. Запишем расширенную матрицу заданной системы: $\left(\begin 1 & 2 & 11\\ 3 & -1& 12 \end \right)$. Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. В матричной форме записи метод Гаусса станет таким:

$$ \left(\begin 1 & 2 & 11\\ 3 & -1& 12 \end \right) \begin \phantom <0>\\ r_2-3r_1 \end \rightarrow \left(\begin 1 & 2 & 11\\ 0 & -7& -21 \end \right) \begin \phantom <0>\\ -1/7\cdot \end \rightarrow \left(\begin 1 & 2 & 11\\ 0 & 1& 3 \end \right) \begin r_1-2r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 5\\ 0 & 1& 3 \end \right) $$

Отсюда имеем: $x_1=5$, $x_2=3$. Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Например, вторая строка матрицы $\left( \begin 1 & 2 & 11\\ 0 & -7& -21 \end \right)$ соответствует уравнению $0\cdot x_1-7\cdot x_2=-21$, т.е. $-7x_2=-21$.

Система решена, однако прочувствовать суть метода Гаусса на таком простом примере несколько затруднительно, посему перейдем к решению СЛАУ с большим количеством переменных.

Прямой ход метода Гаусса

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является первый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=1$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк.

В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является единица. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число 2. Чтобы заменить «неудобное» число единицей, можно попробовать поменять местами текущую строку с одной из нижележащих строк. В данном случае целесообразно поменять местами первую и третью строки:

$$ \left(\begin 2 & 10 & -3 & 38\\ -3 & -24& 5 & -86\\ 1 & 3& -5& 27 \end\right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin \boldred <1>& 3 & -5 & 27\\ \normgreen <-3>& -24& 5 & -86\\ \normblue <2>& 10& -3& 38 \end\right) $$

От перемены мест строк номера $k$ и $k_<\min>$ не изменились. Ведущим элементом первой строки стала единица (этот элемент выделен красным цветом). Нам по-прежнему нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк (эти элементы выделены зелёным и синим цветами).

Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:

Запись $r_2+3r_1$ означает, что к элементам второй строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на три. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

Действие $r_3-2r_1$ выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ -3 & -24 & 5 & -86\\ 2 & 10 & -3 & 38\end\right) \begin \phantom<0>\\ r_2+3r_1 \\ r_3-2r_1 \end \rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -15 & -10 & -5\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых строк не возникло, вычёркивать нечего. Обратите внимание, что все элементы третьей строки нацело делятся на -5. Чтобы упростить дальнейшие расчёты, домножим третью строку на $-\frac<1><5>$ перед тем, как переходить ко второму шагу. Это не обязательное действие, т.е. можно, в принципе, обойтись и без него, но я предпочитаю упрощать решение по мере возможности.

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -15 & -10 & -5\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\ -1/5\cdot \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) $$

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является второй элемент (число 3), т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=2$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью строку. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 2 (этот элемент равен 4), т.е. $k_<\min>=2$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки. Операции со строками, которые выполняются при этом, аналогичны тем действиям, которые осуществлялись на первом шаге:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-4/3\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3\end\right) $$

Матрица приведена к ступенчатому виду. Прямой ход метода Гаусса закончен.

Можно ли было избежать работы с дробями на втором шаге? показать\скрыть

На первом шаге мы меняли местами строки, чтобы ведущий элемент первой строки стал равен единице. Сделано это было для того, чтобы избежать работы с дробями. Однако на втором шаге смена мест второй и третьей строк ничего бы не дала, так как ведущий элемент третьей строки тоже отличен от единицы. В принципе, можно было выполнить такое действие: $3r_3-4r_2$. В результате такой операции, ведущий элемент третьей строки был бы обнулён, а дробей при этом не возникло бы:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\3r_3-4r_2\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13 & -52\end\right) $$

Вообще, если есть желание получить число 1 или -1 на месте разрешающего элемента текущей строки, то можно выполнить вспомогательное преобразование со строками. Например, в данном случае сделать действие $r_2-r_3$, тогда ведущий элемент второй строки станет равен -1:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\r_2-r_3\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -1 & -5 & 17\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) $$

После этого уже приступать к обнулению ведущего элемента третьей строки:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -1 & -5 & 17\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+4r_2\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -1 & -5 & 17\\ 0 & 0 & -13 & 52\end\right) $$

Однако в данном случае такое вспомогательное преобразование мне кажется лишённым практического смысла, так как не столь уж много действий с дробями надо выполнить, чтобы ради возможности избежать дробей делать некие дополнительные операции.

Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. $\rang=3$, $\rang\widetilde=3$. Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен количеству неизвестных ($\rang\widetilde=\rang=3$), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является определённой (т.е. имеет единственное решение).

Найдём это решение, используя обратный ход метода Гаусса. Замечу, что некоторые авторы комбинируют способы записи метода Гаусса, осуществляя прямой ход в форме матричной записи, а обратный ход – записывая уравнения. Мне эта комбинация разных форм записи представляется бессмыслицей, ибо матричная форма записи вполне удобна и наглядна.

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в процессе выполнения прямого хода. Матрица до черты является квадратной, поэтому никаких столбцов переносить за черту не нужно. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной.

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен $\frac<13><3>$. Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на $\frac<3><13>$:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3 \end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\3/13\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) $$

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой (эти элементы -5 и 2 выделены синим цветом):

$$ \left(\begin 1 & 3 & \normblue <-5>& 27\\ 0 & 3 & \normblue <2>& 1\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1+5r_3\\r_2-2r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 3 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end\right) $$

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей:

$$ \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 3 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) \begin \phantom<0>\\1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) $$

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой (этот элемент выделен синим цветом):

$$ \left(\begin 1 & \normblue <3>& 0 & 7\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) $$

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Ответ таков: $x_1=-2$, $x_2=3$, $x_3=-4$. Если пропустить все пояснения, то решение будет записано так:

$$ \left(\begin 2 & 10 & -3 & 38\\ -3 & -24& 5 & -86\\ 1 & 3& -5& 27 \end\right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ -3 & -24 & 5 & -86\\ 2 & 10 & -3 & 38\end\right) \begin \phantom<0>\\ r_2+3r_1 \\ r_3-2r_1 \end \rightarrow $$ $$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -15 & -10 & -5\\ 0 & 4 & 7 & -16 \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/5\cdot\\\phantom <0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-4/3\cdot\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3 \end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\3/13\cdot\end\rightarrow \rightarrow\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1+5r_3\\r_2-2r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 3 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) \begin \phantom<0>\\1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) $$

Пару слов относительно смены мест строк. Это очень удобное действие, которое зачастую позволяет упростить расчёты. Например, представим себе, что после первого шага прямого хода метода Гаусса мы получили такую матрицу:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 \end \right) $$

Пора переходить ко второму шагу и с помощью второй строки обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+1/4\cdot\\r_4+3/4\cdot\end\rightarrow \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -9/4 & 17/4 & 31/4\\ 0 & 0 & -11/4 & -25/4 & 13/4 \end \right) $$

Как видите, операции вполне выполнимы, однако работать с дробями обычно немного затруднительно. Чтобы избежать такой работы, поменяем местами вторую и третью строки, а затем уже обнулим ведущие элементы:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+4r_2\\r_4-3r_2\end\rightarrow \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 0 & -9 & 17 & 31\\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 \end \right) $$

Как видите, простая вспомогательная смена мест строк позволила упростить расчёты. Этим приёмом нередко пользуются. Кстати, можно использовать и иной приём, о котором я упоминал в примечании в конце прямого хода метода Гаусса в примере №1. Я имею в виду выполнение вспомогательной операции со строками, чтобы ведущий элемент текущей строки стал равен 1 или -1. Например, в полученной нами матрице нужно с помощью третьей строки обнулить ведущий элемент четвёртой строки. В принципе, для этого вполне подойдёт операция $r_4+\frac<4><9>\cdot$, однако она приведёт к работе с дробями. Чтобы этого избежать, можно выполнить вспомогательное действие $r_3+2r_4$, тогда ведущий элемент третьей строки станет равен -1:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 0 & -9 & 17 & 31\\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+2r_4\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 0 & -1 & -21 & -9\\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 \end \right) $$

При желании можно ещё умножить третью строку на -1. Теперь обнуление ведущего элемента четвёртой строки пройдёт без дробей. Выполнять такие вспомогательные действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если действий с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов метода Гаусса, то, разумеется, лучше упростить себе расчёты и выполнить вспомогательное действие, чтобы потом не работать с дробями. Впрочем, если есть необходимость избавиться от дробей в некоей строке, то можно просто домножить данную строку на соответствующий коэффициент. Например, строку $\left(\frac<1><3>;\;-\frac<4><5>;\;2;0\right)$ можно домножить на число 15, тогда дроби исчезнут, и строка станет такой: $\left(5;\;-12;\;30;0\right)$.

Расширенная матрица данной системы будет такой:

Прямой ход метода Гаусса

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является третий элемент (число 12), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=3$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Все ведущие элементы в этих строках имеют номер 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=1$. Так как $k\gt>$, то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$, т.е. с второй, третьей или четвёртой. Чтобы не работать с дробями я выберу третью строку. Поэтому поменяем местами первую и третью строки:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) $$

В новой матрице $k=1$, $k_<\min>=1$. Так как $k=k_<\min>$, то необходимо выполнить обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$, т.е. нужно обнулить ведущие элементы второй и четвёртой строк:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2-2r_1 \\\phantom <0>\\ r_4-4r_1 \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 \end \right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло, вычёркивать нечего.

Обратите внимание, что все элементы четвёртой строки нацело делятся на 3. Чтобы упростить расчёты, умножим четвёртую строку на $\frac<1><3>$:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\\phantom <0>\\ 1/3\cdot \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) $$

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является третий элемент (число -3), т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=3$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью и четвёртую строки. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 3 (этот элемент равен 12), а ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому $k_<\min>=3$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ r_3+4r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло. В принципе, несложно заметить, что $r_4=-r_3$, т.е. одну из строк $r_3$ или $r_4$ можно вычеркнуть, тем самым сразу приведя матрицу к ступенчатому виду. Однако допустим, что мы этого не заметили, и формально выполним ещё один шаг метода Гаусса. Разумеется, четвёртая строка станет нулевой, и её можно будет вычеркнуть.

На третьем шаге прямого хода метода Гаусса используется третья строка. В третьей строке полученной матрицы ведущим является четвёртый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента третьей строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой, т.е. четвёртую строку. Ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому $k_<\min>=4$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущего элемента четвёртой строки:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ r_4+r_3 \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) $$

Появилась нулевая строка, удалим её из матрицы, получив при этом такой результат:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 \end \right) $$

Итак, мы получили ступенчатую матрицу, прямой ход метода Гаусса завершён. Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. $\rang=3$, $\rang\widetilde=3$. Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, но меньше количества переменных ($\rang\widetilde=\rang=3\lt<5>$), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в ходе выполнения прямого хода. Матрица до черты является прямоугольной, поэтому оставим до черты те столбцы матрицы системы, которые содержат ведущие элементы строк матрицы. Это столбцы, соответствующие переменным $x_1$, $x_3$ и $x_4$ (данные столбцы выделены зелёным цветом). Остальные столбцы, соответствующие переменным $x_2$ и $x_5$ (они выделены синим цветом), перенесём за черту. Знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные.

$$ \left(\begin \normgreen <-1>& \normblue <2>& \normgreen <3>& \normgreen <0>& \normblue <1>& -4\\ \normgreen <0>& \normblue <0>& \normgreen <-3>& \normgreen <5>& \normblue <-2>& 1\\ \normgreen <0>& \normblue <0>& \normgreen <0>& \normgreen <2>& \normblue <-3>& -5 \end \right) \rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 \end \right) $$

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице, которую мы получили после прямого хода метода Гаусса.

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 \end \right) $$

Второй и пятый столбцы этой матрицы содержат коэффициенты при переменных $x_2$ и $x_5$. Перенос за черту данных столбцов соответствует переносу переменных $x_2$ и $x_5$ в правые части уравнений. Разумеется, при переносе слагаемых из одной части равенства в иную, у них меняется знак на противоположный.

Например, первая строка соответствует уравнению $-x_1+2x_2+3x_3+x_5=-4$. Перенося переменные $x_2$ и $x_5$ в правую часть уравнения, будем иметь: $-x_1+3x_3=-4-2x_2-x_5$. Если вновь записать коэффициенты этого уравнения в виде строки, мы и получим первую строку новой матрицы с перенесёнными за черту столбцами: $(-1;\;3;\;0;\;-4;\;-2;\;-1)$.

Наша цель – привести матрицу до черты к единичной. С этой целью начнём выполнять преобразования обратного хода метода Гаусса.

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен 2. Сделаем этот элемент единицей:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\1/2\cdot\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2-5r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен -3. Сделаем этот элемент единицей:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Второй шаг обратного хода окончен. Переходим к третьему шагу.

На третьем шаге обратного хода мы работаем с первой строкой. Диагональный элемент в первой строке равен -1. Сделаем данный элемент единицей:

$$ \left(\begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Чтобы записать ответ, вспомним, что мы переносили за черту столбцы, соответствующие переменным $x_2$ и $x_5$. Эти переменные называют свободными, а переменные $x_1$, $x_3$ и $x_5$ – базовыми. Ответ будет таким:

Полное решение без пояснений таково:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2-2r_1 \\\phantom <0>\\ r_4-4r_1 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\\phantom <0>\\ 1/3\cdot \end \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ r_3+4r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ r_4+r_3 \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 \end \right) \rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\1/2\cdot\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2-5r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Данный пример я не буду расписывать с подробными пояснениями, так как они были даны ранее. Расширенная матрица системы будет такой:

Прямой ход метода Гаусса

Вспоминаем, что появление строки вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end \right)$, где $x\neq<0>$, на любом этапе метода Гаусса означает, что система не имеет решения, т.е. является несовместной. Четвёртая строка расширенной матрицы системы, т.е. $\left(\begin0&0&0&2\end\right)$, относится к упомянутому виду строк, поэтому заданная СЛАУ является несовместной. Для наглядности я запишу четвёртую строку в виде уравнения: $0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2$, откуда имеем $0=2$. Полученное противоречие и указывает на отсутствие решения системы.

Впрочем, к этому же выводу можно прийти, записав ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы. Вычеркнем нулевую строку:

$$ \left(\begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end\right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. $\rang\widetilde\neq\rang$, поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Исследовать на совместность СЛАУ

Найти её решение методом Гаусса.

Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение – нулевое, т.е. $x_1=x_2=x_3=x_4=0$. Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и дадим ответ в ходе решения методом Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса

Пару слов по поводу полученного после первого шага результата. Нам надо переходить ко второму шагу, т.е. использовать вторую строку. При этом номер ведущего элемента во второй строке равен $k=2$, а номера ведущих элементов нижележащих строк равны 3, т.е. $k_<\min>=3$. Так как $k\lt>$, то просто переходим к следующему (третьему) шагу алгоритма, на котором станем использовать третью строку.

$$ \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0\\ 0 & 0 & -19 & 20 & 0\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_4+r_3\end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end \right)\rightarrow \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0 \end \right) $$

Итак, ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang=3\lt<4>$. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Переносим столбец, соответствующий свободной переменной $x_4$, за черту и продолжаем решение методом Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

Вспоминая, что столбец за чертой соответствует переменной $x_4$, записываем ответ.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).