Исследовательская работа «Системы линейных уравнения методом Крамера»
Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.
Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений. Все ли системы удобно решать способами, известными из школьного курса алгебры 7 класса? Автор данной работы, изучив дополнительную литературу, посчитал наиболее рациональным для решения систем линейных уравнений второго порядка метод Крамера.
Цель. Изучение метода Крамера для решения систем линейных уравнений второго порядка и возможности овладения этим методом учащимися 8 класса.
В работе представлен вывод формул Крамера, примеры решения систем линейных уравнений второго порядка, а также систем, содержащих параметр. Приведено сравнение вывода о количестве решений системы уравнений методом Крамера и графическим способом.
В процессе выполнения работы был проведён обучающий эксперимент. Его цель: выяснить, доступен ли метод Крамера для изучения одноклассникам. Результаты эксперимента представлены в таблице и на диаграммах.
Вывод: Ученики 8 класса овладели методом Крамера для решения систем линейных уравнений не хуже, чем методами подстановки и сложения. Более того, если есть возможность выбора способа решения, то 80% учащихся остановились на новом методе.
В завершении работы составлена компьютерная программа на языке программирования Delphi. Программа одобрена учителем информатики. Может быть использована как учителем для проверки решений учеников (даже, если решение было другим способом), так и для решения каких-либо задач практики.
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Работа была представлена на школьной научно-практической конференции «Лабиринты науки».
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.
Просмотр содержимого документа
«Решение систем линейных уравнений методом Крамера»
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
ученик 7 «Г» класса лицея № 86 г. Ярославля
- Выяснить практическую значимость метода Крамера при решении систем линейных уравнений
- Познакомиться с методом Крамера для решения систем линейных уравнений
- Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера
- Определить , может ли облегчить этот метод решение систем линейных уравнений
- Исследовать систему линейных уравнений на количество решений , используя метод Крамера
- Рассмотреть задачи на практическое применение метода Крамера
- Швейцарский математик
- Родился 31.07.1704 в Женеве
- Ученик и друг Иоганна Бернулли
- Один из создателей линейной алгебры
Самая известная из работ Крамера — трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» , опубликованная в 1750 году.
Для доказательства одной из теорем он строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера .
G A B R I E L C R A M E R
Крамер рассматривал систему из линейных уравнений c
коэффициенты при переменной
коэффициенты при переменной
коэффициенты при переменной
Рассмотрим систему из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными
коэффициенты при переменной
коэффициенты при переменной
При решении системы из линейных уравнений c
неизвестными , Крамер использовал понятие
Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел
, состоящая из строк и столбцов
Что такое квадратная матрица?
Квадратная матрица – матрица размером
, состоящая из строк и столбцов
Составим квадратную матрицу из коэффициентов при неизвестных
«Что такое определитель? »
« Определитель – число . Для матрицы размером оно
находится по правилу: »
«Что-то я не очень понял…»
«Умножаем элементы главной диагонали »
«Вычитаем произведение элементов побочной диагонали »
«Потренируйтесь: Найдите определитель матрицы »
«Молодцы! Можем продолжить обучение!»
«Если определитель матрицы , то система имеет
«Как же его найти?»
где — определитель, полученный из определителя
заменой 1-го столбца на столбец свободных членов
«Я кажется понял!»
где — определитель, полученный из определителя
заменой 2-го столбца на столбец свободных членов»
«Решите систему уравнений: »
«Составляем матрицу и находим ее определитель»
«Решите систему уравнений: »
«Составляем матрицу и находим ее определитель»
«Решите систему уравнений: »
«Составляем матрицу и находим ее определитель»
«Решите систему уравнений: »
«Составляем матрицу и находим ее определитель»
«Решите систему уравнений: »
Замеряем время решения
Для проведения опыта были выбраны три системы приведенные к виду:
Все системы я решал тремя способами :
- методом подстановки
- методом алгебраического сложения
- методом Крамера
Время решения каждого способа фиксировал
Замеряем время решения
Исследование системы линейных уравнений на количество решений
Количество решений системы
Система из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными , может
- иметь единственное решение
- иметь бесконечное множество решений
- не иметь решений
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
Система имеет бесконечное множество решений
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
1) Находим определитель матрицы при неизвестных
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
2) Находим определитель матрицы
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
3) Находим определитель матрицы
Количество решений системы
Решения системы уравнений:
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
Система не имеет решений
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
1) Находим определитель матрицы при неизвестных
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
2) Находим определитель матрицы
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
3) Находим определитель матрицы
Количество решений системы
Решения системы уравнений:
Количество решений системы
Решения системы уравнений:
Бесконечно много решений
Бесконечно много решений
Применение метода Крамера к решению систем линейных уравнений с параметром
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
а) имеет единственное решение
в) имеет бесконечно много решений
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
а) имеет единственное решение
Система имеет единственное решение, если
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
б) система не имеет решений
Система не имеет решений, если
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
б) система не имеет решений
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
б) система не имеет решений
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
в) имеет бесконечно много решений
Система имеет бесконечно много решений, если
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
в) имеет бесконечно много решений
В результате работы я
- научился решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера
- выяснил , что решение систем методом Крамера значительно упрощает решение и сокращает время решения системы
- исследовал систему двух линейных уравнений на количество решений
- рассмотрел решение систем линейных уравнений с параметром , используя метод Крамера
В дальнейшем я планирую
- научиться решать системы трех (четырех) систем линейных уравнений с тремя (четырьмя) переменными
- продолжить работу по решению систем уравнений с параметром, используя метод Крамера
Спасибо за внимание!
- http://www.peoples.ru/science/mathematics/gabriel_cramer/
Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Термина «определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления: алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак слагаемого в этой сумме, по Крамеру, зависит от числа инверсий соответствующей подстановки индексов: плюс, если чётное
Исследовательская работа » Решение систем методом Крамера»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым Малая академия наук «Искатель»
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Шумилина Мария Сергеевна,
ученица 8-А класса
школа № 5» муниципального
образования городской округ
Шеина Елена Николаевна, учитель
общеобразовательная школа № 5 »
городской округ Красноперекопск
г. Красноперекопск , 2017
РАЗДЕЛ 1. Немного из истории……………………………………………………5
РАЗДЕЛ 2 . Определители n -ого порядка …………………………………………..7
2.1 . Правило вычисления определителя второго порядка.……………. 7
2.2 Вычисление определителей третьего порядка……………….. ………………..8
РАЗДЕЛ 3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера ………. 10
3.1. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными……..10
3.2. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера ……………………………………………………………………………14
3.3. Три случая при решении систем линейных уравнений……………………..19
3.4.Решение систем линейных уравнений с параметром………………………..21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ …………………………….28
Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.
Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений.
Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи. Способов решения систем уравнений существует много: сложения, подстановки, графический, с помощью обратной матрицы, методом исключения неизвестных, метод Крамера. Какой из них самый рациональный? Среди неизвестных мне методов я заинтересовалась методом Крамера или методом определителей.
При решении систем линейных уравнений в школе на уроках алгебры, мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический. Каждый способ удобен для определенной системы. В представленной мной работе рассматриваются аналитические методы решения систем уравнений со многими неизвестными с использованием метода Крамера. В основе этого метода лежат элементарные преобразования, осуществляемые над коэффициентами системы, записанными в специальные таблицы – определители.
Применение опыта решения систем линейных уравнений с помощью определителей способствует развитию логической культуры.
Решение систем уравнений с большим количеством неизвестных методом Крамера значительно облегчает работу.
Решение систем линейных уравнений мы можем встретить в других областях науки.
Системы линейных уравнений встречаются на экзаменах и умение решать их несколькими способами значительно увеличивает шанс справиться с заданием.
Целью данной работы является исследование точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью метода Крамера.
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.
3. Научиться применять метод Крамера для решения систем линейных уравнений, содержащих параметр.
Объект исследования: Метод Крамера.
Предмет исследования: Системы линейных уравнений.
Гипотеза: С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений.
РАЗДЕЛ 1. Немного из истории
Крамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. Кандидатур было три, все произвели хорошее впечатление, и магистрат принял соломоново решение: учредить отдельную кафедру математики и направить туда (на одну ставку) двух «лишних», включая Крамера, с правом путешествовать по очереди за свой счёт.
1727: Крамер воспользовался этим правом и 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. По возвращении он вступает с ними в переписку, продолжавшуюся всю его недолгую жизнь.
1728: Крамер находит решение Санкт-Петербургского парадокса, близкое к тому, которое 10 годами спустя публикует Даниил Бернулли.
1729: Крамер возвращается в Женеву и возобновляет преподавательскую работу. Он участвует в конкурсе, объявленном Парижской Академией, задание в котором: есть ли связь между эллипсоидной формой большинства планет и смещением их афелиев? Работа Крамера занимает второе место (первый приз получил Иоганн Бернулли).
В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей. Крамер также публикует труд по небесной механике (1730) и комментарий к ньютоновской классификации кривых третьего порядка (1746).
Около 1740 года Иоганн Бернулли поручает Крамеру хлопоты по изданию сборника собрания своих трудов. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4 томах, а вскоре (1744) выпускает аналогичный (посмертный) сборник работ Якоба Бернулли и двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Все эти издания имели огромный резонанс в научном мире.
1747: второе путешествие в Париж, знакомство с Даламбером.
1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает
РАЗДЕЛ 2 . Определители n -ого порядка
2.1. Правило вычисления определителя второго порядка.
Определителем n -го порядка называется число n , составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы
(1)
Где а 11 , а 12 , а 13 , …- числовые коэффициенты
Значение определителя n находится по следующему правилу.
(3)
2.2 Вычисление определителей третьего порядка.
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
Пример 3. Вычислить определитель методом треугольников.
=3
1(-2)+331+(-1) 4(-2)-33(-2)-34(-2)-(-1) 11= -6+9+8+18+24+1=54 Ответ. 54
Разложение определителя по строке
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку, в которой есть нули.
Пример 4 . Разложить по первой строке, вычислить определитель 
Решение.
= а 11 А 11 + а 12 А 12 + а 13 А 13= 1(-1) 1+1 
+ 2(-1) 1+2 
+ 3(-1) 1+3 
= =11 (-3)+2(-1) (-6) +31(-3)=-3+12-9=0
РАЗДЕЛ 3 . Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Метод Крамера – это метод решения систем линейных уравнений. Он применяется только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от нуля. Любая крамеровская система уравнений имеет единственное решение
3.1. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Сначала рассмотрю правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом сложения или подстановки. Более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными. Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера.
Рассмотрю систему уравнений 
На первом шаге вычислю определитель 
, его называют главным определителем системы .
В случае если 
правило Крамера не поможет. Если
, то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
Корни уравнения находим по формулам:
, 
Решить систему линейных уравнений
Решение : Решим систему по формулам Крамера
∆
= 
=1(-4)-(-2)3 = -4+6=2
0
Определитель ∆0, следовательно, заданная система может быть решена методом Крамера.
Вычислим определитель ∆ х , для этого заменим первый столбец в главном определителе на столбец свободных членов, получим
∆ х = 
=1(-4)-(-2)7 = -4+14=10,
Аналогично, заменяя второй столбец в главном определителе на столбец свободных членов, получим
∆ у = 
=17-13 = 7-3=4
Далее по формулам Крамера находим неизвестные переменные:
х= 
=
=5, у=
=
=2
Пример 2 . Решить систему линейных уравнений:
Согласно методу Крамера имеем:
∆ = 
=34-21 = 12-2=100
∆ х = 
=14-2(-3) = 4+6=10,
∆ = 
=3(-3)-11 = -9-1=-10
Далее по формулам Крамера находим неизвестные переменные:
х= =
=1, у==
=-1
Решить систему линейных уравнений
Решение : Коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.
Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.
∆ = 
=50611-6666 = 5566-4356=12100 , значит, система имеет единственное решение.
∆ а = 
=2315,111-66392,3 = 25466,1-25891,8=-425,7,
∆ b = 
=506392,3-2315,166 = 198503,8-152796,6=45707,2
а= 
=
-0,35, b =
=
37,7
Ответ: а -0,35; b 37,7
Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно
Пример 4.
Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях.
Решим систему по формулам Крамера
∆ = 
=73-(-5)1 = 21+5=260
Определитель ∆0, следовательно, заданная система может быть решена методом Крамера.
Вычислим определитель ∆ х , для этого заменим первый столбец в главном определителе на столбец свободных членов, получим
∆
х = 
=233-11 = 69-1=68,
Аналогично, заменяя второй столбец в главном определителе на столбец свободных членов, получим
∆ у = 
=71-(-5)23 = 7+115=1220
Далее по формулам Крамера находим неизвестные переменные:
х= =
, у== 
Ответ: х=
, у= 
3.2. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера .
Перехожу к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если
, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, 
, 
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
, 
, 
Случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.
Решить систему по формулам Крамера.
Решение : Решу систему по формулам Крамера. Обозначу главный определитель D , тогда
, значит, система имеет единственное решение.
Встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная х 1 , во втором – переменная х 2 . В таких случаях очень важно правильно записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Нахожу главный определитель системы:
Следовательно, система имеет единственное решение. Для нахождения её решения вычисляю определители
По формулам Крамера нахожу:
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.
Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Нахожу главный определитель системы:
Следовательно, система имеет единственное решение. Для нахождения её решения вычисляю определители
По формулам Крамера нахожу:
Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Нахожу определители системы:
Пример 9. Решите систему уравнений по формулам Крамера
Решение.
Ответ : х=1, у=2, z=3
3.3. Три случая при решении систем линейных уравнений
При решении системы линейных уравнений методом Крамера могут встретиться три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение (система совместна и определённа)
Условия:
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений (система совместна и неопределённа)
Условия: , 
,
Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет (система несовместна)
Условия: 
.
Итак, система линейных уравнений с называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .
Пример 10. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Нахожу главный определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений. Для уточнения вычисляю определители при неизвестных
Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.
Ответ: нет решений
3.4.Решение систем линейных уравнений с параметром
В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число.
Пример 11. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Здесь a — некоторое число.
Решение. Нахожу главный определитель системы:
Главный определитель отличен от нуля, значит система имеет единственное решение.
Нахожу определители при неизвестных
По формулам Крамера нахожу:
, 
.
Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое число.
Пример 12. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Нахожу главный определитель системы:
=-24abc-75abc-12abc+30abc+18 abc +40 abc =-23 abc
Нахожу определители при неизвестных
=0-45ab 2 c 2 -8 ab 2 c 2 +18 ab 2 c 2 +12 ab 2 c 2 +0=-23 ab 2 c 2
=8a 2 bc 2 +0+9 a 2 bc 2 -10 a 2 bc 2 -0-30 a 2 bc 2 =-23 a 2 bc 2
=-36a 2 b 2 c-30 a 2 b 2 c +0-0+27 a 2 b 2 c +16 a 2 b 2 c =-23 a 2 b 2 c
По формулам Крамера нахожу:
, 
, 
.
Пример 13. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:
Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.
Поэтому, p 30,-30 .
При p 30,-30 х=
, у=
При p = 30 получаем систему уравнений 
, которая не имеет решений.
При p = –30 система принимает вид 
и, следовательно, имеет бесконечное множество решений
Пример 14. Для всех значений параметра а решить систему уравнений
(
а+5)х+(2а+3)у=3а+2
Решение: Нахожу определители системы:
=
= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)
х =
=
(3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)
у =
=
(а +5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)
1) =а(2-а) 0, значит а0 или а2
Тогда х=
, у= 
2) = а(2-а)= 0, значит а=0 или а=2
При а=0 определители х = у =0
Тогда система имеет вид:
5
х+3у=2
10х+6у=4, а значит имеет бесконечное множество решений
При а=2, х 0 . Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.
Ответ: 1) если а 0 и а 2, то х=
, у=
2) если а=0, то система имеет бесконечное множество решений ,
3) если а=2, то система не имеет решений.
Пример 15. Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений
(
а+1)х+2у=b
Решение: = 
= а+1-2b
x = 
= b -6 y = 
= 3 a +3- b 2
1) = а+1-2b0, значит а2b-1. Тогда
х= 
у= 
2) 
Подставив выражение параметра а в систему, получим:
2bx+2y=b 2bx+2y=b
Если b6, то система не имеет решений
Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система имеет бесконечное множество решений
Ответ: 1) если 
, (а 
), то x= 
, y= 
2) если b6, a11, то система не имеет решений
3) если b=6, а=11, то система имеет бесконечное множество решений
Пример 16 . При каких значения параметра а система уравнений не имеет решений?
Система не имеет решений, если = 0; x 0; y 0.
= -a – 2 = 0; значит a = -2;
=- 4 – 1=-5 0 ;
= a – 8 0, a 8
Пример 17 . При каких значения параметра а система уравнений не имеет решений?
= (a + 1) (-a+2) – 2 = -a 2 +2a – a + 2 – 2 = — a 2 + a = 0
при a = 0 
х = 6 – 6 = 0; у = 6 – 6 = 0;
Вывод: при а = 0 система имеет бесконечное множество решений.
2) при а = 1 
х = 3 – 6 = -3 у = 12 – 6 = 6, т.е. система не имеет решений.
Пример 18 . При каких значениях параметров а и в система уравнений имеет бесчисленно много решений?
Система имеет бесчисленно много решений, если = 0; x = 0; y =0.
= 2(a – 1) – 9b = 2a – 9b – 2.
x =4-(-b)= 4+ b =0 при b= -4;
y = -a -17= 0 при а=-17;
Проверка: ∆=2∙(-17)-9∙(-4)-2=-34+36-2=0 (верно)
Ответ: при a = -17; b = -4
В представленной работе рассматривается метод Крамера для решения систем уравнений со многими неизвестными. В основе этого метода лежат элементарные преобразования, осуществляемые над коэффициентами системы, записанными в специальные таблицы – определители .
В результате работы:
1. Изучена литература по методам решения систем уравнений,
2. Подобраны и решены системы линейных уравнений методом Крамера.
Вывод: Метод Крамера ускоряет процесс решения некоторых систем линейных уравнений и его можно изучать на уроках алгебры, на занятиях элективных курсов по математике в 7- 9 классах как дополнительный метод решения систем уравнений.
http://multiurok.ru/index.php/files/rieshieniie-sistiem-linieinykh-uravnienii-mietodom-kramiera.html?reg=ok
http://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-reshenie-sistem-metodom-kramera-2623673.html