Решение линейных уравнений с параметром егэ

Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: \(x=\frac\) при \(p(a)≠0.\) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).

Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac<5a-3>.$$ Второй случай, когда \((a-7)=0\), получим уравнение $$x*0=32,$$ которое не имеет решений. Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра \(а\). Например, \(x=\frac<2><7>\) при \(a=0,\) \(x=\frac<-1><3>\) при \(a=1\) и т.д.
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac<5a-3>.\)

Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac<(a-1)(a-4)>=a-4.$$ Решением данного уравнения будет одно число \(x=a-4\).
Ответ: \(a=1.\)

Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)).

Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.

165 задач с параметрами

1. Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами.
2. Квадратичные и сводимые к ним уравнения с параметрами.
3. Уравнения с параметрами, содержащие модуль.
4. Системы уравнений с параметрами.
5. Иррациональные уравнения с параметрами.
6. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным. Системы неравенств.
7. Квадратичные неравенства с параметрами.
8. Иррациональные неравенства с параметрами.
9. Уравнения и неравенства с параметрами, содержащие логарифмы.
10. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами.

Подготовка к ЕГЭ №18 Линейные уравнения с параметрами

Решение линейных уравнений с параметрами. Принцип и примеры с решениями.

Просмотр содержимого документа
«Подготовка к ЕГЭ №18 Линейные уравнения с параметрами»

Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами

Линейным уравнением называется уравнение вида 𝑎𝑥 = 𝑏, где 𝑎, 𝑏 — некоторые действительные числа, x – переменная. В зависимости от коэффициента а, зависит и решение этого уравнения

Если а=0, возникает два вопроса значениях b:

Если а=0, b=0, то уравнение принимает вид 0х=b, значит уравнение имеет бесконечно много решений, решением является любое действительно число.

Если а=0, 𝑏 ≠ 0, то уравнение принимает вид 0х=b, значит уравнение не имеет корней, т.к. нет такого числа, которое при умножении на нуль даст результат, отличный от нуля.

При а≠0 мы можем обе части уравнения разделить на а, имеем единственный корень, равный 𝑥 = 𝑏/а

Ответ: при 𝑎 ≠ 0 единственное решение 𝑥 = 𝑏/ 𝑎 ;

при а=0, b=0 х – любое число;

при а=0, 𝑏 ≠ 0 нет решений;

при 𝑎 ≠ 0 единственное решение 𝑥 = 𝑏 /𝑎 .

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром аналитическим способом:

1. Привести уравнение к виду ax = b

2. Найти контрольные значения параметра а.

3. Подставить контрольные значения в уравнение ax = b и выяснить, сколько решений имеет уравнение.

4. Записать, при каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение.

5. Нанести все решения на ось параметров.

6. Записать правильно ответ .

Задача №1. Для каждого значения параметра а решить уравнение 𝑥 − a = 𝑥 + 1

1) Приведем уравнение к виду 𝑎𝑥 = 𝑏, для этого члены, содержащие х, перенесем в левую часть уравнения.

2) Найдем контрольные значения параметра, при которых коэффициент при x обращается в нуль

(𝑎 − 1)(𝑎 + 1) = 0 𝑎 = 1 или 𝑎 = −1

3) Если 𝑎 = 1, то уравнение принимает вид 0 ∙ 𝑥 = 2, т.е. при 𝑎 = 1 уравнение не имеет решений.

4) Если 𝑎 = −1, то уравнение принимает вид 0 ∙ 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ Z

5) Если 𝑎 ≠ 1; 𝑎 ≠ −1, то уравнение имеет единственное решение: 𝑥 = ; х= ;

Ответ: при 𝑎 = −1, x – любое; при 𝑎 = 1, решений нет; при 𝑎 ≠ 1; 𝑎 ≠ −1, один корень х= 1/(а−1)

Задача №3. При всех значениях a решите уравнение = 3(𝑥 + 1) +

Решение. Обращаем внимание на то, что параметр находится в знаменателе. А знаменатель дроби не должен быть равен нулю (т.е. параметр имеет область допустимых значений). Контрольными значения параметра, при котором знаменатель дроби равен 0.

1)При a=0 уравнение не имеет корней..

Умножим обе части уравнения на 𝑎 ≠ 0, получим линейное уравнение с параметром.

2ax+2x-3ax-3a=7 2x-ax=7+3a (2-a)x=7+3a

Получим уравнение вида ax=b

контрольные значения параметра: 2-a=0 a=2 Если a=2, то 0∙x=13 уравнение не имеет корней. Если 𝑎 ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение 𝑥 = (7+3𝑎) /(2-а)

Ответ: при 𝑎 ≠ 0 и 𝑎 ≠ 2, единственное решение x= (3𝑎+7 ) / (2−𝑎)

при 𝑎 = 0 или 𝑎 = 2, нет корней

Линейные уравнения с параметром при наличии дополнительных условий к корням уравнения.

Задача №4. При каких значениях параметра а уравнение ( − 1) ∙ х = − 2𝑎 − 3 имеет единственное решение, принадлежащее лучу [−1;+∞).

• Найдем контрольные значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в нуль:

2) Если а=1, то уравнение принимает вид 0х= -4, т.е. при а=1 уравнение не имеет решений, и условие задачи не выполняется

3) Если а=-1, то уравнение принимает вид 0х=0, 𝑥 ∈ 𝑅. Условие задачи не выполняется.

4) Если а ≠ 1; а ≠ −1 , то уравнение имеет единственное решение: х = −2а−3)/ (−1) х = (а+1)(а−3)/ (а+1)(а−1) х = ( а−3 )/ (а-1 )

Тогда, (а−3) / (а−1) ≥ −1 ( 𝑎−3+𝑎−1) / (𝑎−1) ≥ 0 (2𝑎−4) / (𝑎−1) ≥ 0 (𝑎−2) / (𝑎−1) ≥ 0

Ответ: при 𝑎 ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ [2; +∞ ]

Дробно — рациональные уравнения, сводящиеся к линейным.

Задача №1. Решите уравнение + =

Решение. 1) О.Д.З.: (𝑚 − 1)(𝑥 + 3) ≠ 0 Отсюда 𝑚 ≠ 1; 𝑥 ≠ −3

2) При m=1 , уравнение не имеет корней.

3) При 𝑚 ≠ 1 : Преобразуем исходное уравнение: + = | ∙ (𝑚 − 1)(𝑥 + 3) ≠ 0

3𝑚𝑥 − 5 + (3𝑚 − 11)(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 7)(𝑚 − 1)

3𝑚𝑥 − 5 + 3𝑚𝑥 + 9𝑚 − 11𝑥 − 33 = 2𝑥𝑚 − 2𝑥 + 7𝑚 − 7

Получим уравнение вида ax=b (4m-9)𝑥 = 31 − 2m

Контрольные значения параметра: 4𝑚 − 9 = 0 𝑚 =

Если 𝑚 = 2,25 , то 0 ∙ 𝑥 = 31 − 4,5 0 ∙ 𝑥 = 26,5

уравнение не имеет решений.

Если 𝑚 ≠ , то 𝑥 = – единственное решение

4) Учтем О.Д.З.: Найдем значение параметра m, при котором этот корень принимает значение -3

Имеем: = −3 −3(4𝑚 − 9) = 31 − 2𝑚

− 12𝑚 + 27 = 31 − 2𝑚 −10𝑚 = 4 𝑚 = − 0,4

При 𝑚 = − 0,4 уравнение не имеет решений

Ответ: при m = −0,4 ; m = 1; m = 2,25 решений нет;

при m ∈ (−∞; − 2 5 ) ∪ (− 2 5 ; 1) ∪ (1; 9 4 ) 𝑥 = .

Задача №2. При каких значениях параметра а

не имеет решений уравнение − =

Решение. 1) О.Д.З.: 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 2 и 𝑥 ≠ −2

2) На О.Д.З. преобразуем исходное уравнение:

2𝑥 − 𝑎𝑥 + 2𝑥 = 2𝑎 + 1 4𝑥 − 𝑎𝑥 = 2𝑎 + 1

(4 − 𝑎) ∙ 𝑥 = 2𝑎 + 1 Получим уравнение вида ax=b

Контрольные значения параметра: 4 − 𝑎 = 0 𝑎 = 4

Если 𝑎 = 4, то уравнение 0 ∙ 𝑥 = 9 не имеет решений. Если 𝑎 ≠ 4, то 𝑥 = – единственное решение

3) Вернемся к области допустимых значений.

Найдем значения параметра а, при которых этот корень принимает значения 2 и -2.