Решение линейных уравнений симплекс методом примеры

Симплексный метод решения ЗЛП

Назначение сервиса . Сервис предназначен для онлайн решения задач линейного программирования (ЗЛП) симплекс-методом в следующих формах записи:

• в виде симплексной таблицы (метод жордановых преобразований); базовой форме записи;
• модифицированным симплекс-методом; в столбцовой форме; в строчечной форме.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word
• Также решают

Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.

Алгоритм симплекс-метода включает следующие этапы:

1. Составление первого опорного плана. Переход к канонической форме задачи линейного программирования путем введения неотрицательных дополнительных балансовых переменных.
2. Проверка плана на оптимальность. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный, и его необходимо улучшить.
3. Определение ведущих столбца и строки. Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбирается наибольший по абсолютной величине. Затем элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делит на элементы того же знака ведущего столбца.
4. Построение нового опорного плана. Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана—Гаусса.

Если необходимо найти экстремум целевой функции, то речь идет о поиске минимального значения ( F(x) → min , см. пример решения минимизации функции) и максимального значения ( F(x) → max , см. пример решения максимизации функции)

Экстремальное решение достигается на границе области допустимых решений в одной из вершин угловых точек многоугольника, либо на отрезке между двумя соседними угловыми точками.

Основная теорема линейного программирования . Если целевая функция ЗЛП достигает экстремального значения в некоторой точке области допустимых решений, то она принимает это значение в угловой точке. Если целевая функция ЗЛП достигает экстремального значения более чем в одной угловой точке, то она принимает это же значение в любой из выпуклой линейной комбинации этих точек.

Суть симплекс-метода. Движение к точке оптимума осуществляется путем перехода от одной угловой точки к соседней, которая ближе и быстрее приближает к X_опт. Такую схему перебора точек, называемую симплекс-метод, предложил Р. Данцигом.
Угловые точки характеризуются m базисными переменными, поэтому переход от одной угловой точки к соседней возможно осуществить сменой в базисе только одной базисной переменной на переменную из небазиса.
Реализация симплекс-метода в силу различных особенностей и постановок задач ЛП имеет различные модификации.

Построение симплекс-таблиц продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Как с помощью симплекс-таблицы определить, что решение задачи линейного программирования является оптимальным?
Если последняя строка (значения целевой функции) не содержит отрицательных элементов, следовательно, найдет оптимальный план.

Замечание 1 . Если одна из базисных переменных равна нулю, то крайняя точка, соответствующая такому базисному решению — вырожденная. Вырожденность возникает, когда имеется неоднозначность в выборе направляющей строки. Можно вообще не заметить вырожденности задачи, если выбрать другую строку в качестве направляющей. В случае неоднозначности нужно выбирать строку с наименьшим индексом, чтобы избежать зацикливания.

Замечание 2 . Пусть в некоторой крайней точке все симплексные разности неотрицательные D_k³ 0 (k = 1..n+m),т.е. получено оптимальное решение и существует такой А_k – небазисный вектор, у которого D_k = 0. Тогда максимум достигается по крайней мере в двух точках, т.е. имеет место альтернативный оптимум. Если ввести в базис эту переменную x_k, значение целевой функции не изменится.

Замечание 3 . Решение двойственной задачи находится в последней симплексной таблице. Последние m компонент вектора симплексных разностей( в столбцах балансовых переменных) – оптимальное решение двойственной задачи. Значение целевых функций прямой и двойственной задачи в оптимальных точках совпадают.

Замечание 4 . При решении задачи минимизации в базис вводится вектор с наибольшей положительной симплексной разностью. Далее применяется тот же алгоритм, что и для задачи максимизации.

Если задано условие «Необходимо, чтобы сырье III вида было израсходовано полностью», то соответствующее условие представляет собой равенство.

Аналитическое введение в симплекс-метод

Итак, если мы решаем ЗЛП в канонической форме, то система ограничений — это обычная система линейных уравнений. При решении задач ЛП получаются системы линейных уравнений, имеющие, как правило, бесконечно много решений.

Например, пусть дана система

Здесь число уравнений равно 2, а неизвестных — 3, уравнений меньше. Выразим x₁ и x₂ через x₃ :

Это общее решение системы. если переменной x₃ придавать произвольные числовые значения, то будем находить частные решения системы. Например, x₃=1 → x₁=1 → x₂=6. Имеем (1, 6, 1) — частное решение. Пусть x₃=2 → x₁=-3, x₂= 1, (-3, 1, 2) — другое частное решение. Таких частных решений бесконечно много.

Переменные x₁ и x₂ называются базисными, а переменная x₃ — не базисная, свободная.

Совокупность переменных x₁ и x₂ образует базис: Б (x₁, x₂). Если x₃ = 0, то полученное частное решение (5, 11, 0) называется базисным решением, соответствующим базису Б (x₁, x₂).

Базисным называется решение, соответствующее нулевым значениям свободных переменных.
В качестве базисных можно было взять и другие переменные: (x₁, x₃) или (x₂, x₃).
Как переходить от одного базиса Б(x₁, x₂) к другому базису Б(x₁, x₃)?
Для этого надо переменную x₃ перевести в базисные, а x₂ — в небазисные т. е. в уравнениях надо x₃ выразить через x₂ и подставить в 1-е:

Базисное решение, соответствующее базису Б (x₁, x₃), таково: (-19/5; 0; 11/5).

Если теперь от базиса Б (x₁, x₃) нам захочется перейти к базису Б (x₂, x₃), то

Базисное решение, соответствующее базису Б (x₂, x₃): (0;19/4; 7/8).
Из трех найденных базисных решений решение, соответствующее базису Б (x₁, x₃) — отрицательное x₁ Пример . Решить задачу ЛП.

Эти ограничения могут рассматриваться как произошедшие из неравенств, а переменные x₃, x₅, x₄ — как дополнительные.
Запишем ограничения, выбрав базис из переменных Б< x₃, , x₄, x₅>:

Этому базису соответствует базисное неотрицательное решение
x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 2, x₄ = 2, x₅ = 5 или (0, 0, 2, 2, 5).
Теперь нужно выразить F через небазисные переменные, в нашем случае это уже сделано: F= x₂ — x₁.
Проверим, достигла ли функция F своего минимального значения. Для этого базисного решения F= 0 — 0 = 0 — значение функции равно 0. Но его можно уменьшить, если x₁ будет возрастать, т. к. коэффициент в функции при x₁ отрицателен. Однако при увеличении x₁ значения переменных x₄, x₅ уменьшаются (смотрите второе и третье равенство системы ограничений). Переменная x₁ не может быть увеличена больше чем до 2, иначе x₄ станет отрицательной (ввиду равенства 2), и не больше, чем до 5, иначе x₅ — отрицателен. Итак, из анализа равенств следует, что переменную x₁ можно увеличить до 2, при этом значение функции уменьшится.
Перейдем к новому базису Б₂, введя переменную x₁ в базис вместо x₄.
Б₂<x₁, x₃, x₅>.
Выразим эти базисные переменные через небазисные. Для этого сначала выразим x₁ из второго уравнения и подставим в остальные, в том числе и в функцию.

Имеем:

F = -2 — x₂ + x₄.
Базисное решение, соответствующее базису Б₂<x₁, x₃, x₅>, имеет вид (2, 0, 6, 0, 3), и функция принимает значение F= -2 в этом базисе.
Значение функции можно и дальше уменьшать, увеличивая x₂. Однако, глядя на систему, x₂ можно увеличивать лишь до 1, т. к. иначе из последнего равенства x₅ = 3 — 3x₂ + x₄ следует, что при x₂ > 1 x₅ станет отрицательной. А у нас все переменные в ЗЛП предполагаются неотрицательными. Остальные уравнения системы не дают ограничений на x₂. Поэтому увеличим x₂ до 1, введя его в базис вместо x₅: Б₃<x₁, x₂, x₃>.
Выразим x₂ через x₅ и подставим во все уравнения:

Базисное решение, соответствующее базису Б₃<х₁, х₂, х₃>, выписывается (4, 1, 9, 0, 0), и функция принимает значение F= -3. Заметим, что значение F уменьшилось, т. е. улучшилось по сравнению с предыдущим базисом.
Посмотрев на вид целевой функции , заметим, что улучшить, т. е. уменьшить значение F нельзя и только при x₄ = 0, x₅ = 0 значение F= -3. как только x₄, x₅ станут положительными, значение F только увеличится, т. к. коэффициенты при x₄, x₅ положительны. Значит, функция F достигла своего оптимального значения F* = -3. Итак, наименьшее значение F, равное -3, достигается при x₁* = 4, x₂* = 1, x₃* = 9, x₄* = 0, x₅* = 0.

На этом примере очень наглядно продемонстрирована идея метода: постепенно переходя от базиса к базису, при этом всегда обращая внимание на значения целевой функции, которые должны улучшиться, мы приходим к такому базису, в котором значение целевой функции улучшить нельзя, оно оптимально. Заметим, что базисов конечное число, поэтому количество шагов, совершаемых нами до того нужного базиса, конечно.

Подробный разбор симплекс-метода

Пролог

Недавно появилась необходимость создать с нуля программу, реализующую алгоритм симплекс-метода. Но в ходе решения я столкнулся с проблемой: в интернете не так уж много ресурсов, на которых можно посмотреть подробный теоретический разбор алгоритма (его обоснование: почему мы делаем те или иные шаги) и советы по практической реализации — непосредственно, алгоритм. Тогда я дал себе обещание — как только завершу задачу, напишу свой пост на эту тему. Об этом, собственно, и поговорим.

Замечание. Пост будет написан достаточно формальным языком, но будет снабжен комментариями, которые должны внести некоторую ясность. Такой формат позволит сохранить научный подход и при этом, возможно, поможет некоторым в изучении данного вопроса.

§1. Постановка задачи линейного программирования

Определение: Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n- мерного пространства, задаваемых системами линейными уравнений и неравенств.

Общая задача линейного программирования (далее – ЛП) имеет вид:

§2. Каноническая форма задачи ЛП

Каноническая форма задачи ЛП:

Замечание: Любая задача ЛП сводится к канонической.

Алгоритм перехода от произвольной задачи ЛП к канонической форме:

1. Неравенства с отрицательными умножаем на (-1).
2. Если неравенство вида (≤), то к левой части добавляем – добавочную переменную, и получаем равенство.
3. Если неравенство вида (≥), то из левой части вычитаем , и получаем равенство.
4. Делаем замену переменных:

• Если , то
• Если — любой, то , где

Замечание: Будем нумеровать по номеру неравенства, в которое мы его добавили.

Замечание: ≥0.

§3. Угловые точки. Базисные/свободные переменные. Базисные решения

Определение: Точка называется угловой точкой, если представление возможно только при .

Иными словами, невозможно найти две точки в области, интервал проходящий через которые содержит (т.е. – не внутренняя точка).

Графический способ решения задачи ЛП показывает, что нахождение оптимального решения ассоциируется с угловой точкой. Это является основной концепцией при разработке симплекс-метода.

Определение: Пусть есть система m уравнений и n неизвестных (m

Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом

Условие задачи

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b₁ = 240, b₂ = 200, b₃ = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a₁₁ = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a₂₁ = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a₃₁ = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a₁₂ = 3, a₁₃ = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a₂₂ = 2, a₂₃ = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a₃₂ = 6, a₃₃ = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c₁ = 4, c₂ = 5, c₃ = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом, составить двойственную задачу линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи, в которой производится оценка ресурсов, затраченных на продажу товаров.

Решение задачи симплекс методом

Пусть x₁, x₂, x₃ — количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 — ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид.

Решаем симплекс методом.
Вводим дополнительные переменные x₄ ≥ 0, x₅ ≥ 0, x₆ ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

Симплекс таблица № 1

Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:
Δ₂ = – 5

Вводим переменную x₂ в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x₂:

= 26.667
Наименьшее неотрицательное: Q₃ = 26.667. Выводим переменную x₆ из базиса.
3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2

Получаем новую таблицу.

Симплекс таблица № 2

Поскольку есть отрицательная оценка Δ₁ = – 2/3, то план не оптимален.

Вводим переменную x₁ в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x₁:

Наименьшее неотрицательное: Q₃ = 40. Выводим переменную x₂ из базиса.
3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3

Получаем новую таблицу.

Симплекс таблица № 3

Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.

x₁ = 40; x₂ = 0; x₃ = 0; x₄ = 160; x₅ = 40; x₆ = 0; F_max = 160
То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс. руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F_max = 160 тыс. руб.

Решение двойственной задачи

Вводим дополнительные переменные y₄ ≥ 0, y₅ ≥ 0, y₆ ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 08-12-2011