Решение линейных уравнений содержащих параметр

Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: \(x=\frac\) при \(p(a)≠0.\) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).

Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac<5a-3>.$$ Второй случай, когда \((a-7)=0\), получим уравнение $$x*0=32,$$ которое не имеет решений. Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра \(а\). Например, \(x=\frac<2><7>\) при \(a=0,\) \(x=\frac<-1><3>\) при \(a=1\) и т.д.
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac<5a-3>.\)

Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac<(a-1)(a-4)>=a-4.$$ Решением данного уравнения будет одно число \(x=a-4\).
Ответ: \(a=1.\)

Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)).

Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.

Методическое пособие «Методы решения линейного уравнения с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство обороны Российской Федерации

Федеральное государственное общеобразовательное учреждение

«Оренбургское президентское кадетское училище»

ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.

(Методические рекомендации для преподавателей и воспитанников)

Решение линейных уравнений с параметрами

В работе показаны основные методы решения уравнений с параметрами. Материал будет полезен при подготовке к ГИА и ЕГЭ. Приведены собственные наблюдения в решении уравнений с параметрами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Средняя общеобразовательная школа имени Р.З. Сагдеева»

«От гипотезы к открытию»

«Линейные уравнения и системы уравнений

Первые шаги в решении задач с параметрами

ученица 10 »А» класса Гибадуллина Камилла

учитель математики Зудина Наталия Ивановна

Г. Буинск, 2013 год

1. Виды линейных уравнений с параметрами

1.1. Линейные уравнения с параметрами и одной переменной

1.2. Линейные уравнения с параметрами и двумя переменными

2. Особенности задач с параметрами

2.1. Задачи с параметрами первого класса

2.2. Задачи с параметрами второго класса

3 Решение систем уравнений с параметрами

3.1 Методические рекомендации учащимся по выбору алгоритма решения систем линейных уравнений с параметрами

Список использованных источников

В классическом определении параметр – это некоторое фиксированное, но неизвестное число [1].

Впервые с параметрами в школьном курсе учащиеся встречаются при изучении линейных уравнений и неравенств [2].

Если в уравнении кроме неизвестных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим [3].

Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.

Следует отметить, что в настоящее время при изучении математики в общеобразовательных школах решению уравнений с параметрами не уделяется должного внимания. Поэтому при встрече с такого рода задачами на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах учащимся приходится действовать на свой страх и риск, полагаясь лишь на собственное логическое мышление. Увы, правильное логическое мышление от природы не даётся, — его у себя надо развивать даже людям, способным к математике [4].

В связи с этим, целью настоящей научной работы является исследование особенностей решения линейных уравнений с параметрами и разработка методических рекомендаций учащимся по выбору алгоритма нахождения их корней.

1. Виды линейных уравнений с параметрами

1.1. Линейные уравнения с параметрами и одной переменной

Уравнение вида a . x=b, где x- переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

В практике решения задач с параметрами, применительно к линейным уравнениям с одной переменной, уравнения с параметрами преимущественно встречаются двух видов [5]:

— с одной переменной и одним параметром;

— с одной переменной и двумя параметрами.

К первому виду относятся уравнения, где значение одного из параметров (a или b) изначально задано условием или в уравнение входит только один параметр.

Примером могут служить уравнения вида:

Ко второму виду относятся уравнения, в которых значения параметров (a или b) изначально не определены, а обозначены буквами.

Примером могут служить уравнения вида:

1.2. Линейные уравнения с параметрами и двумя

Уравнение вида a . x+b . y=c, где x и y — переменные, a, b и c – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными.

В практике решения задач с параметрами, применительно к линейным уравнениям с двумя переменным, и уравнения с параметрами преимущественно встречаются двух видов [5]:

— с двумя переменными и одним параметром;

— с двумя переменными и двумя параметрами.

К первому виду относятся уравнения, где значение двух из трех параметров (a, b или c) изначально заданы условием или в уравнение входит только один параметр.

Примером могут служить уравнения вида:

Ко второму виду относятся уравнения, где значение одного из трех параметров (a, b или c) изначально задано условием, а значения остальных двух параметров не определены, а обозначены буквами.

Примером могут служить уравнения вида:

Следует отметить, что на данном этапе особенности решения линейных уравнений с параметрами и двумя переменными не являлись предметом исследований, поэтому их классификация приведена лишь в ознакомительном плане.

2. Особенности задач с параметрами

Все задачи с параметрами можно условно разбить на два класса [6].

К первому классу относятся задачи, в которых требуется решить уравнение при всех значениях параметра.

Ко второму классу – задачи, в которых нужно из всех значений параметра выделить те, при которых уравнение будет обладать некоторыми задаваемыми свойствами, например, будет выполняться при любом значении переменной, или вообще не будет иметь решений, или будет иметь только одно положительное или отрицательное решение и т. д.

2.1. Задачи с параметрами первого класса

В задачах первого класса нужно провести полное исследование решения, которое заключается, как правило, в обязательном рассмотрении следующих случаев решения уравнения[7]:

— случай, при котором уравнение не имеет смысла;

— случай, при котором уравнение не имеет решения;

— случай, при котором уравнение имеет единственное решение или конечное число конкретных решений;

— случай, при котором уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Ответ в задачах первого класса обычно формулируется следующим образом:

Ответ: уравнение при таких – то значениях параметров имеет корни…, при таких – то значениях параметров – бесчисленное множество решений, решением уравнения является любое действительное число, при таких – то значениях параметров уравнение корней не имеет, при таких – то значениях параметров не имеет смысла.

Особенностью решения линейных параметрических уравнений данного класса является рассмотрение двух случаев:

а) коэффициент при переменной равен нулю;

в) коэффициент при переменной не равен нулю.

В качестве примера рассмотрим решение уравнения с одной переменной и одним параметром:

Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.

1) Если коэффициент при х равен нулю, т.е. а-1=0, а=1, то получим уравнение 0 . х=1, которое не имеет решений.

Ответ: при а=1 — нет корней; при а≠1, х = .

В данном уравнении значение параметра – а, равное единице, обращает коэффициент (а-1) при переменной х в нуль.

В задачах с параметрами принято значение параметра, обращающего коэффициент при неизвестном (переменной) в нуль называть контрольным .

Так, например в уравнении:

значение параметра – а. равное -6, является контрольным, так как обращает коэффициент (а+6) при неизвестном – х в нуль.

Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.

Если m=0, уравнение имеет вид 0·x=1, которое не имеет корней.

Если m≠0, то можно разделить обе части уравнения на m, и уравнение имеет единственное решение x = .

Ответ: при m=0 уравнение не имеет решений, при m≠0 уравнение имеет единственное решение x =

Решение уравнения сводится к двум случаям.

Если коэффициент при x равен нулю, т. е. n−1=0, n=1, то получим уравнение 0·x=1, которое не имеет решений.

Если n≠1, то уравнение имеет единственное решение x =

Ответ: при n=1 не имеет решений, при n≠1 уравнение имеет единственное решение x =

Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.

Определим контрольное значение параметра b, для чего приравняем коэффициент при неизвестном к нулю, т. е.b+3=0, b=−3 — контрольное значение. Исследуем и решим уравнение относительно найденного контрольного значения параметра.

Если b=−3, то получим уравнение 0·x=0, которое имеет бесчисленное множество решений.

Если b≠−3,то x = уравнение имеет единственное решение x=1.

Ответ: при b=−3 уравнение имеет бесчисленное множество решений, x-любое действительное число , при b≠3 x=1.

2.2. Задачи с параметрами второго класса.

В задачах второго класса не следует проводить полного исследования решения задачи, а достаточно привести решение, которое приведет к ответу на поставленный вопрос задачи[7].

Вопрос в задачах второго класса формулируется, как правило, следующим образом:

Вопрос: При каком значении параметра уравнение…:

-не имеет смысла;

— не имеет решения;

— имеет единственное решение или конечное число конкретных решений;

— имеет бесчисленное множество решений и т.п.?

В качестве примера рассмотрим решение уравнения:

с вопросом задачи: При каком значении параметра — а уравнение не имеет корней?

Решение: При значении параметра – а, равном единице, знаменатель дроби уравнения обращается в нуль, поэтому уравнение не имеет смысла.

Ответ: при а=1 уравнение теряет смысл и не имеет корней.

В задачах с параметрами принято значение параметра, при котором уравнение имеет смысл называть допустимым .

В рассмотренном примере допустимыми значениями параметра – а являются все действительные числа кроме единицы.

При каком значении параметра а корнем уравнения ax−100x=a−100 является любое число?

Преобразуем данное уравнение к виду (a−100)x=a−100, используя распределительное свойство умножения

Определим контрольное значение параметра: a−100=0, a=100При a=100 уравнение имеет вид 0·x=0, решением которого является любое действительное число.

Ответ: при a=100 x-любое число.

При каком значении параметра s уравнение (3−2s)x=0 имеет единственное решение?

Определим контрольное значение параметра: 3−2s=0, s=1,5

При s≠1,5 уравнение имеет один корень x =0

Ответ: при s≠1,5, уравнение имеет единственное решение.

При каком значении параметра k, уравнение 2·x = не имеет корней?

При k=−3 знаменатель дроби уравнения обращается в нуль, поэтому уравнение не имеет смысла.

Ответ: при k=−3 уравнение теряет смысл.

3.Методы решения систем линейных уравнений

Определение: Система вида

где A 1, A 2, B 1 ,B 2, C 1 C 2 – выражения , зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах. Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

Пример 1. При каких значениях параметра а система

• 2х — 3у = 7
• ах — 6у = 14
• а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а 4, то решение единственное.

Решите систему уравнений

Решение: а) , т.е. при m 1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n 1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n 1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

в) если m 1 и n — любое, то

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В 2, второе на – В 1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А 1 В 2 -А 2 В 1 0, то х =

Теперь исключим переменную х. Для этого умножим первое уравнение системы (1) на А 2 , а второе на – А 1 , и оба уравнения сложим почленно:

• А 1 А 2 х +А 2 В 1 у=А 2 С 1
• -А 1 А 2 х-А 1 В 2 у=-А 1 С 2
• у(А 2 В 1 -А 1 В 2 )=А 2 С 1 -А 1 С 2

т.к. А 2 В 1 -А 1 В 2 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

— Если , то система (1) имеет единственное решение: х= ; у=

— Если , или , , то система (1) не имеет решений

— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А 1 , А 2 , В 1 , В 2 , системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 3.Для всех значений параметра а решить систему уравнений

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

При а=0 определители

Тогда система имеет вид:

При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

Ответ:1) если а и а , то х= у=

3) если а=2, то (х; у)

3.1 Методические рекомендации учащимся по выбору

алгоритма решения линейных уравнений с параметрами

Рассмотрим решение вышеприведенных линейных уравнений с параметрами в общемвиде .Исследуем, сколько корней может иметь линейное уравнение с одним неизвестным ax = b.

1.Если a ≠0, b – любое число то уравнение имеет один корень x =

Определим знак корня

— корень положительный( x>0 ), если а и b – одинакового знака, т.е. a>0, b>0 или a

В более сложных или общих случаях, в том числе при решении линейных уравнений с одной неизвестной и двумя параметрами удобнее пользоваться алгоритмом, блок-схема которого приведена на рис