Решение логарифмических неравенств и уравнений задания егэ

Основные положения и примеры решения простейших логарифмических неравенств.

С этим разделом могут ознакомиться и выпускники, которые планируют сдавать экзамен по математике на базовом уровне.
На профильном экзамене встречаются более сложные неравенства, но их также тем или иным образом требуется сводить к простейшим.

К простейшим относятся логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную переменную в составе аргумента логарифмической функции с фиксированным основанием, т.е. это неравенства вида \(log_a > \log_a\), где \(a>0,\;a\ne1\) и неравенства, сводящиеся к этому виду.
В более общих случаях неизвестная величина может встречаться и в основании логарифма.

Чтобы решать как логарифмические неравенства, так и логарифмические уравнения, нужно вспомнить определение и свойства логарифмической функции как таковой.
1) Логарифм – трансцендентная функция, т.е. аналитическая функция, которая не может быть задана с помощью алгебраического уравнения. Поэтому чтобы получить решение простейшего логарифмического неравенства, нужно сначала перейти к алгебраическим соотношениям, т.е. «убрать» логарифм.
2) Логарифм – однозначная и монотонная функция, что означает каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции. Поэтому её можно сравнивать саму с собой и «вычёркивать» логарифм. Как и в каких случаях это делать, рассмотрим на примерых ниже.
3) Главное – логарифмическая функция имеет ограниченную область определения. Это означает, что при решении любых заданий с логарифмами, содержащими переменные, нужно не забывать про ОДЗ (область допустимых значений) этой переменной.

Область значений функции E = R – всё множество действительных чисел. Т.е. сам логарифм, в отличие от его аргумента и основания, может принимать любые значения из промежутка \((-\infty; +\infty)\).

Как уже упоминалось, логарифмическая функция монотонна. Посмотрите на её графики.

При a > 1 функция возрастающая,

Поэтому для решения простейших логарифмических неравенств достаточно преобразовать обе части неравенства к логарифму с одинаковым основанием и затем сравнить подлогарифмические выражения. Таким образом мы сравниваем функцию с самой собой при разных значениях её аргумента, т.е. как бы «вычёркиваем» log с обеих сторон неравенства. При этом,
— если основание степени больше единицы, то знак неравенства без «log» будет таким же, как знак исходного неравенства, что характерно для возрастающих функций – большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
— если основание степени меньше единицы, то знак неравенства будет обратным по отношению к знаку исходного неравенства, что характерно для убывающих функций – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений (ОДЗ) выражения \(2x+7>0.\)

Воспользуемся определением логарифма, чтобы представить число −2 в виде значения логарифмической функции с основаением 0,2.

\[0,2^ <-2>= \left(\frac<1><5>\right)^ <-2>= \left(\frac<5><1>\right)^ <2>= 25,\]
следовательно \(-2 = \log_<0,2><25>,\) и заданное неравенство можно преобразовать к виду \[\log_<0,2><(2x+7)>\log_<0,2><25>.>\] Теперь можно «отбросить логарифм», изменив знак неравенства на противоположный, так как его основание 0,2 0,> \\ <2x+7 -3,5,>\\ 0\). Это ОДЗ.
Преобразуем неравенство:
\(\text\;-\) это сокращенное обозначение для десятичного логарифма \(\log_<10>\). Так как \(10^2 = 100,\) то \(2 = \text<100>\). Далее используем свойства логарифмов \[ \text <(x+2)>1, то логарифм «отбросили» с сохранением знака неравенства.
Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств \[\begin x+2>0,\\[1ex] 2x-6>0,\\[1ex] (x+2)(2x-6) -2,\\ 2x>6,\\ 2x^2+4x-6x-12 — 2,>\\ 3,>\\

Ответ: \(x \in (3; 8). \)

Введение вспомогательной переменной

Пример 4.

Решение.

Аргументом обоих логарифмов является один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\), однако основания логарифмов различны – это 2 и 0,5, поэтому нужно воспользоваться свойствами логарифмической функции и привести логарифмы к одному основанию. Поскольку \(0,5 = \dfrac<1> <2>= 2^<-1>\), то приводить будем второй логарифм к основанию 2. Для этого используем формулу \(\log_b=\frac<1>\log_a\): \[\log_<0,5> <(4+3x-x^2)>= \log_<2^<-1>><(4+3x-x^2)>=\frac<1><-1>\log_2 <(4+3x-x^2)>= -\log_2<(4+3x-x^2)>\] Теперь неравенство имеет следующий вид \[\log_2^2 <(4+3x-x^2)>— 7\log_2 <(4+3x-x^2)>+10 > 0.\]

В последнем неравенстве неизвестная величина встречается в обоих слагаемых в совершенно одинаковой форме, поэтому можно продолжить решение методом введения вспомогательной переменной.

Пусть \(y = \log_2<(4+3x-x^2)>\), тогда логарифмическое неравенство преобразуется в обычное квадратное неравенство \[y^2 — 7y +10 > 0,\] которое решается графически (через параболу) или методом интервалов. Сделайте это самостоятельно. Ответ получится такой \(y \in (-\infty;2)\cup(5;+\infty)\) или, что то же самое \[\left[<\begin \end>\right. \] Последняя запись удобнее для возврата от вспомогательной переменной к логарифму \[\left[<\begin \log_2 <(4+3x-x^2)>5. \end>\right.\] Имеем два простейших неравенства для логарифмов с основанием \(2 > 1\), решаем их \[\log_2 <(4+3x-x^2)>5 \\ \log_2 <(4+3x-x^2)>> \log_2 <32>\\ 4+3x-x^2 > 32. \] Получившиеся два квадратных неравенства вместе с ОДЗ (не забывать о ней!) образуют совокупность двух систем неравенств, решая которые получим окончательный ответ. \[<\left[<\begin <\begin4+3x-x^2 > 0,\\ 4+3x-x^2 0 ; \end>\right. \\ <\begin4+3x-x^2 > 0,\\ 4+3x-x^2 > 32. \end > \left|<\begin x^2 -3x-4 3; \end>\right.> \end > \\ <\;\;x \in \varnothing .>\end>\right.>\] Объединяя множества решений совокупностей неравенств (обозначены квадратной скобкой «[«) и пересекая множества решений систем неравенств (обозначены фигурной скобкой скобкой «<"), делаем окончательный вывод \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)

Замечание 1. Чтобы не выписывать совокупности систем и системы совокупностей, особенно, если вы путаетесь в этих скобках, можно все этапы решения реализовать схемами на числовой оси.

Замечание 2. Заметим, что с некоторого момента решение задачи сводится к анализу неравенств, в которых один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\) сравнивается с числовыми значениями. Поэтому дальнейшие действия можно свести к построению одной параболы – эскиза графика функции \(y = 4+3x-x^2\) – и посмотреть как она соотносится с горизонтальными линиями \(y = 0, \; y = 4\; и\; y =32.\) (Вспомните аналогичное задание 2-й части ОГЭ за 9-ый класс.) На это не уйдёт много времени, т.к. коэффициенты трёхчлена целые числа, корни легко вычисляются по теореме Виета, а параболу достаточно построить только по характерным точкам.
Как быстро построить параболу можно посмотреть в видеоуроке на youtube-канале Mathematichka.

Ответ: \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)

Решение.

Выпишем ОДЗ неравенства.
Условие положительности всех аргументов логарифмической функции \[\begin 64x > 0;\\ x > 0;\\ x^4 > 0 \end\] сводится к одному требованию \(x > 0\).
Условие неравенства нулю знаменателей всех дробей \[\begin \log_4−3 \ne 0;\\ \log_4 <(64x)>\ne 0;\\ \log^2_4−9 \ne 0\\ \end\] пока запишем формально, анализировать будем в процессе решения.

В этом примере в отличие от предыдущего, напротив, основания всех логарифмов одинаковы – логарифм по основанию 4, но отличаются аргументы. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражения. \[\log_4 <(64x)>= \log_4<64>+\log_4=3+\log_4;\\ \log_4 = 4\log_4.\] Тогда неравенство приобретает вид \[\frac<3+\log_4><\log_4−3>+\frac<\log_4−3><3+\log_4>\geqslant\frac<4\log_4+16><\log^2_4−9>,\] где логарифм встречается только в виде \(\log_4\). Введём вспомогательную переменную \(y = \log_4\). \[\frac<3+y>+\frac<3+y>\geqslant\frac<4y+16>\] Получили дробно-рациональное неравенство. Дальнейшие преобразования производим с целью упростить и разложить на множители, чтобы решить методом интервалов. \[\frac<(3+y)^2 + (y-3)^2 > — \frac<4y+16>\geqslant 0,\\ \frac<9+2y+y^2 + y^2-2y+9 - 4y -16 >\geqslant 0,\\ \frac<2y^2- 4y+2 >\geqslant 0,\\ \frac<2(y-1)^2 ><(y+3)(y-3)>\geqslant 0.\] Решение на рисунке.

Учитывая, что до сих пор все преобразования, которые производились, были равносильными, можем утверждать, что выколов точки 3 и −3 из возможных значений переменной \(y\), мы обеспечили неравенство нулю общего знаменателя дроби, а значит и всех дробей, участвовавших в равносильных преобразованиях. Тем самым выполнена вторая часть ограничений ОДЗ неравенства.

Итак, неравенство для переменной \(y = \log_4\) выполняется при \[<\left[<\begin y 3; \end>\right.> \; <\left|<\begin \log_4 3; \end>\right.> \; <\left|<\begin \log_4 \log_4<64>; \end>\right.> \; <\left|<\begin x 64. \end>\right.>\] С учётом первого условия ОДЗ \((x>0)\), получаем окончательный ответ

Ответ: \(x \in \left(0; \;\dfrac<1><64>\right) \cup \ <4\>\cup (64;\;+\infty)\).

О разложении на множители

\( \log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 0.\)\[ \log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 0; \end > \\ <\begin\log_4 — 1 > 0,\\ \log_3 — 1 1; \end > \; \left|\; <\begin < \log_4\log_3<3>; > \end> \right. \\ <\begin\log_4> 1,\\ \log_3 \log_4<4>,\\ \log_3 3; \end > \; |\; \\ <\beginx > 4,\\ x 0\), можем записать ответ.

Решение II – вспомогательная переменная.

ОДЗ: \(x>0.\)
Приведём логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. \[\log_4 = \frac<\log_3><\log_3<4>>.\] \[\log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 1.\) Имеем \[ 1 0\), следовательно это окончательный ответ.

Решение III – через уравнение.

ОДЗ: \(x>0.\)
Заменим знак » 0,\] так как \(\sqrt <3>1,\) то \(\log_4<\sqrt<3>> 1,\) то \(\log_4 <3,5>3^1\; и\; 3>1,\) то \(\log_3 <3,5>> 1.\)
3) пусть \(x = 9; \;x \in (4;+\infty)\) \[\log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 = \\ = \log_3<9>\cdot\log_4 <9>— \log_3 <9>— \log_4 <9>+1 = \\ = 2\log_4 <9>— 2 — \log_4 <9>+ 1 = \\ = \log_4 <9>— 1 >0, \] так как \(9 > 4^1\; и\; 4>1,\) то \(\log_4 <9>> 1.\)

По рисунку формулируем ответ.

Сравните все три способа решения для этого вовсе не сложного неравенства и определитесь, какой вариант наиболее приемлем для вас.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

ЕГЭ Профиль №15. Логарифмические неравенства

15 заданием профильного ЕГЭ по математике является неравенство. Самым часто встречаемым неравенством, которое предлагают на реальных экзаменах в 15 задание, является логарифмическое неравенство. При решении логарифмических неравенств, в большинстве случаев (но не всегда) необходимо полностью находить область допустимых неравенств. Большая часть логарифмических неравенств, предлагаемых на реальных экзаменах, решается с помощью замен, методом интервалов или разложением на множители. Прежде чем решать логарифмические неравенства необходимо выучить свойства логарифмов, свойства логарифмической функции и уметь решать логарифмические уравнения. В данном разделе представлены логарифмические неравенства (всего 138) разбитые на два уровня сложности. Уровень А — это простейшие логарифмические неравенства, которые являются подготовительными для решения реальных логарифмических неравенств предлагаемых на ЕГЭ по профильной математике. Уровень В — состоит из неравенств, которые предлагали на реальных ЕГЭ и в диагностических работах прошлых лет.

Мановская работа» Логарифмические неравенства в ЕГЭ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ЕГЭ

Сечин Михаил Александрович

Малая академия наук учащейся молодежи РК «Искатель»

МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс, пгт. Советский Советского района

Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ « Советская СШ №1»

Цель работы: исследование механизма решения логарифмических неравенств С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.

1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств.

2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.

3)Научиться решать конкретные логарифмические неравенства С3 с помощью нестандартных методов.

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.

Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».

Глава 2. Сборник логарифмических неравенств ………………………… 7

2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов…………… 7

2.2. Метод рационализации ………………………………………………… 15

2.3. Нестандартная подстановка………………. 22

2.4. Задания с ловушками…………………………………………………… 27

Я учусь в 11 классе и планирую поступить в ВУЗ, где профильным предметом является математика. А поэтому много работаю с задачами части С. В задании С3 нужно решить нестандартное неравенство или систему неравенств, как правило, связанное с логарифмами. При подготовке к экзамену я столкнулся с проблемой дефицита методов и приёмов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Методы, которые изучаются в школьной программе по этой теме, не дают базу для решения заданий С3. Учитель по математике предложила мне поработать с заданиями С3 самостоятельно под её руководством. Кроме этого, меня заинтересовал вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?

С учетом этого и была выбрана тема:

«Логарифмические неравенства в ЕГЭ»

Цель работы: исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.

1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств.

2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.

3)Научиться решать конкретные задачи С3 с помощью нестандартных методов.

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.

Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».

Глава 1. История вопроса

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономии грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчётах. Трудности возникали и в других областях, например, в страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.

Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 века свойства прогрессий. О связи между членами геометрической прогрессии q, q2, q3, . и арифметической прогрессией их показателей 1, 2, 3. говорил еще в «Псалмите» Архимед. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели. Многие авторы указывали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической — в том же порядке — сложение, вычитание, умножение и деление.

Здесь скрывалась идея логарифма как показателя степени.

В истории развития учения о логарифмах прошло несколько этапов.

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное. Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos — «отношение» и ariqmo — «число», которое означало «число отношений». Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales- «искусственные числа», в противоположность numeri naturalts -«числам естественным».

В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти — 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других — в 1620 году. Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером. Термин «натуральный логарифм» ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием «Новые логарифмы» лондонский учитель Джон Спейдел.

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом. Теория логарифмов этого периода связана с именами целого ряда математиков.

Немецкий математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в сочинении

«Логарифмотехника» (1668) приводит ряд, дающий разложение ln(x+1) по

Это выражение в точности соответствует ходу его мысли, хотя он, конечно, пользовался не знаками d, , . , а более громоздкой символикой. С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов. В своих лекциях «Элементарная математика с высшей точки зрения», прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории логарифмов.

Определение логарифмической функции как функции обратной

показательной, логарифма как показателя степени данного основания

было сформулировано не сразу. Сочинение Леонарда Эйлера (1707-1783)

«Введение в анализ бесконечно малых» (1748 г.) послужило дальнейшему

развитию теории логарифмической функции. Таким образом,

прошло 134 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены

(считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению

понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

Глава 2. Сборник логарифмических неравенств

2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов.

, если а > 1

, если 0 а 1

Обобщённый метод интервалов

Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:

1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция , а в правой 0.

2. Найти область определения функции .

3. Найти нули функции , то есть – решить уравнение (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство).

4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

5. Определить знаки функции на полученных интервалах.

6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.

Применим метод интервалов

При этих значениях все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны.

1-й способ. ОДЗ определяется неравенством x > 3. Логарифмируя при таких x по основанию 10, получаем

Последнее неравенство можно было бы решать, применяя правила разложения, т.е. сравнивая с нулём сомножители. Однако в данном случае легко определить интервалы знакопостоянства функции

поэтому можно применить метод интервалов.

Функция f(x) = 2x(x — 3,5)lgǀ x — 3ǀ непрерывна при x > 3 и обращается в ноль в точках x₁ = 0, x₂ = 3,5, x₃ = 2, x₄ = 4. Таким образом, определяем интервалы знакопостоянства функции f(x):

2-й способ. Применим непосредственно к исходному неравенству идеи метода интервалов.

Для этого напомним, что выражения a b — a c и (a — 1)(b — 1) имеют один знак. Тогда наше неравенство при x > 3 равносильно неравенству

Поcледнее неравенство решается методом интервалов

Неравенство равносильно совокупности систем

Применим метод интервалов

Так как 2x 2 — 3x + 3 > 0 при всех действительных x, то неравенство равносильно системе

Для решения второго неравенства воспользуемся методом интервалов

В первом неравенстве сделаем замену

тогда приходим к неравенству 2y 2 — y — 1

которое выполняется при тех x, для которых 2x 2 — 3x — 5

Теперь с учетом решения второго неравенства системы окончательно получаем

Неравенство равносильно совокупности систем

Применим метод интервалов или

Неравенство равносильно системе

и первое неравенство

системы принимает вид

квадратный трехчлен на множители,

Применяя к последнему неравенству метод интервалов,

видим, что его решениями, удовлетворяющими условию y > 0 будут все y > 4.

Таким образом исходное неравенство эквивалентно системе:

Итак, решениями неравенства являются все

2.2. Метод рационализации.

Раньше методом рационализации неравенства не решали, его не знали. Это «новый современный эффективный метод решения показательных и логарифмических неравенств» (цитата из книжки Колесниковой С.И.)
И даже, если педагог его знал, была опаска — а знает ли его эксперт ЕГЭ, а почему в школе его не дают? Были ситуации, когда учитель говорил ученику: «Где взял? Садись — 2.»
Сейчас метод повсеместно продвигается. И для экспертов есть методические указания, связанные с этим методом, и в «Самых полных изданиях типовых вариантов . » в решении С3 используется этот метод.
МЕТОД ЧУДЕСНЫЙ!

В других источниках

если a >1 и b >1, то log _a b >0 и ( a -1)( b -1)>0;

если a >1 и 0 b log _a b a -1)( b -1)

если 0 a b >1, то log _a b a -1)( b -1)

если 0 a b log _a b >0 и ( a -1)( b -1)>0.

Проведенные рассуждения несложные, но заметно упрощающие решение логарифмических неравенств.

Решение:

Решение:

Ответ. (0; 0,5) U [2; 3].

Пример 6.

Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем (х-1-1)(х-1), а вместо числителя — произведение (х-1)(х-3-9+х).

Ответ : (3 ;6)

2.3. Нестандартная подстановка.

log ₄(3 x -1) log _0,25

Сделаем замену у=3 х -1; тогда данное неравенство примет вид

Log ₄ log _{0,25 .}

Так как log _0,25 = — log ₄ = -( log ₄ y — log ₄16)=2- log ₄ y , то перепишем последнее неравенство в виде 2 log ₄ y — log ₄ 2 y ≤.

Сделаем замену t = log ₄ y и получим неравенство t 2 -2 t +≥0, решением которого являются промежутки — t ≤ и ≤ t

Таким образом, для нахождения значений у имеем совокупность двух простейших неравенств Решение этой совокупности есть промежутки 0

Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств, то есть совокупности

Решением первого неравенства этой совокупности является промежуток 0

Неравенство равносильно системе

Решением второго неравенства, определяющего ОДЗ, будет множество тех x,

для которых x > 0.

Для решения первого неравенства сделаем замену

Тогда получаем неравенство

Множество решений последнего неравенства находится методом

Множество тех x, которые удовлетворяют последнему неравенству

принадлежит ОДЗ (x > 0), следовательно, является решением системы,

а значит, и исходного неравенства.

2.4. Задания с ловушками.

.

Решение. ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию 0 x ≤1. Х=1 не является решением исходного неравенства. Для всех х из промежутка 0 x log ₅ x x

Решение. Отыскание ОДЗ в данном случае – непростая задача, поэтому поступим иначе. Исходное неравенство равносильно системе неравенств

Последнее неравенство системы равносильно неравенству х 2 -2х+1

.

Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.

Решением данной системы являются два числа, и . Осталось подстановкой выяснить, какие из этих чисел удовлетворяют неравенству.

1. При неравенство принимает вид: – истинно.

2. При неравенство принимает вид: . Для установления истинности или ложности этого неравенства сделаем ряд преобразований: – ложно.

Ответ: .

Решение систем по технике решения не отличается от решения неравенств. Однако иногда возникают трудности с ответом, основанные на сравнении чисел.

Опустив решение каждого из неравенств, приведем только множества их решений. Первое , второе . Для нахождения пересечения этих множеств надо сравнить два числа и .

При затруднениях в сравнении двух чисел обычно используют два приема. Во-первых, можно составить разность этих чисел и преобразовать ее до вида, из которого очевиден ее знак. Во-вторых, иногда можно найти граничное число такое, что одно из чисел больше граничного, а другое меньше.

Воспользуемся первым вариантом. Разность . Заметим, что число , следовательно, и .

Ответ: .

Решением первого неравенства является множество . Второе неравенство сводится к виду . Решение неравенства с учетом ОДЗ . Чтобы найти пересечение множеств необходимо сравнить два числа и . В данном случае можно заметить, что число находится между этими числами. Почему именно ? Дело в том, что второе число с очевидностью больше чем , т.к. . Первое число находится между и , но ближе к . Строго доказать, что , можно составив разность и преобразовав ее к виду . Ответ: