Решение логарифмических уравнений и неравенств видеоурок

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Решение логарифмических уравнений
видеоурок алгебры (11 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Решение логарифмических уравнений». 11-й класс

Леухина Татьяна Николаевна учитель высшей категории

1. систематизировать, обобщить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения логарифмических уравнений;
2. обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приемами решения этих уравнений;
3. развивать математическое мышление, способствовать развитию познавательного интереса средствами личностно ориентированной технологией обучения;
4. воспитывать внимание, самостоятельность, трудолюбие, активность.

Оборудование: компьютерная презентация , карточки с заданиями для работы в группах по два человека, карточки с заданием составить слово.

I. Организация начала урока. Ознакомление учащихся с целью урока.

Сегодня на уроке мы продолжим рассматривать тему “Решение логарифмических уравнений”. (Слайд 1).

Цель нашего урока повторить приемы и методы решения логарифмических уравнений, закрепить изученный материал. Помните, что каждый урок – это подготовка к ЕГЭ по математике.

II. Устная работа.

1. Прочитайте выражение и найдите его значение. (Слайд 2).

2. Найдите х. (Слайд 3).

III. Работа с карточкой “Составить слово”. (Слайд 4).

Н) log5 ; П) log5log232;

Н) log7cos0; Ж) 41+log42;

Р) log35x = 0; Е) 3x = 6;

О) log4(1 – 3x) = 2; Е) log53log325.

Проверяем полученный результат. (Слайд 5).

IV. Историческая справка ( сообщение ученика) (Слайд №6, 7)

V. Повторение теоретического материала.

1. Что называют логарифмическим уравнением? (Слайд 8)
2. Сформулируйте теорему, которую применяют при решении логарифмических уравнений? (Слайд 9).
3. Назовите методы решения логарифмических уравнений.

VI. Проверка домашнего задания по ответам.

Проверка уравнений по ответам.

Отвечаю на вопросы по домашней работе.

VII. Закрепление изученного материала.

1. Определите, каким методом можно решить каждое из перечисленных уравнений?

Функционально – графический метод, метод потенцирования, введение новой переменной, метод логарифмирования.

2. Эти уравнения два ученика решают у доски, а все ребята в тетрадях. Обсуждаем методы решения данных уравнений. Обращаем внимание на то, что некоторые уравнения можно решить несколькими способами.

3. Параллельно три группы по 2 человека работают по карточкам.

4. Через 5–7 минут из каждой группы один ученик выходит решать одно из трех предложенных уравнений. ( Слайд 11).

VΙ. Итог урока. Выставление оценок.

VΙΙ. Домашнее задание.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Прочитайте выражение и найдите его значение log 3 27 log 2 0,5 log π 1 log 7 cos 4 π log 1,2 tg45 ° 3 2 log 3 4 log 2 log 2 16

Найдите х: log 2 x = — 1; lg x = 2 ; log 1/3 x = -3 ; log x 36 = 2 ; log x 5 = 0 ; 2 х = 3.

Составьте слово Н ) log 5 ; П ) log 5 log 2 32; Н ) log 7 cos 0 ; Ж) 4 1+log 4 2 ; Р) log 3 5x = 0; Е ) 3 x = 6; О ) log 4 (1 – 3x) = 2; Е ) log 5 3 log 3 25 . Д ) 3 2log 3 5 ; 25 │ 8 │ -5 │1 /2 │ 0 │ log 3 6 │ 1 │ 2 │ 0,2│ ————————————————————- │ │ │ │ │ │ │ │ │

25 │ 8 │ -5 │1 /2 │ 0 │ log 3 6 │ 1 │ 2 │ 0,2│ ———————————————————— д │ ж │ о │ н │ н │ е │ п │ е │ р │

Джон Непер Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической фун­кций в самых различных областях на­уки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году, были опубликованы первые логарифмические таблицы, со­ставленные Джоном Непером. Они по­могали астрономам и инженерам, сокра­щая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «уд­линяя жизнь вычислителям». Джон Непер

Применение логарифмов Логарифмы широко используются в различных областях науки: Физика — интенсивность звука (децибелы), оценивается так же уровнем интенсивности по шкале децибел; Число децибел ,где 1 – интенсивность данного звука Астрономия – если известна видимая звездная величина и расстояние до объекта, можно вычислить абсолютную величину по формуле: Химия – водородный показатель, «pH», это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр: В музыке : в основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается логарифмами соответствующих частот: В сейсмологии : при вычислении магнитуды. Магнитуда землетрясения – величина, характеризующая энергию, выделившуюся при землетрясении в виде сейсмических волн.

Логарифмическое уравнение Определение. Логарифмическим уравнением называют уравнение вида log a f(x) = log a g(x), где а > 0, а ≠ 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Логарифмическое уравнение Теорема. Если f(x) > 0 и g(x) > 0 ,то логарифмическое уравнение log a f(x) = log a g(x) ( где а > 0, а ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Классификация логарифмических уравнений по методам решения lg(x 2 -4) = lg( 2 x-1); 3log 2 5 x — 5log 5 x+2=0; log 3 (6 – x) = log 3 (x -7 ) log 1/2 x = 2x – 5; X 1 –log 5 x = 0,04. Функционально – графический метод. Метод потенцирования. Метод введения новой переменной. Метод логарифмирования

Решите уравнения log 2 6 x + log 6 x + 14 = ( ) 2 + x 2 ; lg(x 2 +2x-4)+4 x +8 = 6 ·2 x +lg(x 2 +2x-4); │ log 2 x — 1│ = (2x +5)(log 2 x -1).