Решение логарифмических уравнений методом разложения на множители

Основные положения и примеры решения простейших логарифмических неравенств.

С этим разделом могут ознакомиться и выпускники, которые планируют сдавать экзамен по математике на базовом уровне.
На профильном экзамене встречаются более сложные неравенства, но их также тем или иным образом требуется сводить к простейшим.

К простейшим относятся логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную переменную в составе аргумента логарифмической функции с фиксированным основанием, т.е. это неравенства вида \(log_a > \log_a\), где \(a>0,\;a\ne1\) и неравенства, сводящиеся к этому виду.
В более общих случаях неизвестная величина может встречаться и в основании логарифма.

Чтобы решать как логарифмические неравенства, так и логарифмические уравнения, нужно вспомнить определение и свойства логарифмической функции как таковой.
1) Логарифм – трансцендентная функция, т.е. аналитическая функция, которая не может быть задана с помощью алгебраического уравнения. Поэтому чтобы получить решение простейшего логарифмического неравенства, нужно сначала перейти к алгебраическим соотношениям, т.е. «убрать» логарифм.
2) Логарифм – однозначная и монотонная функция, что означает каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции. Поэтому её можно сравнивать саму с собой и «вычёркивать» логарифм. Как и в каких случаях это делать, рассмотрим на примерых ниже.
3) Главное – логарифмическая функция имеет ограниченную область определения. Это означает, что при решении любых заданий с логарифмами, содержащими переменные, нужно не забывать про ОДЗ (область допустимых значений) этой переменной.

Область значений функции E = R – всё множество действительных чисел. Т.е. сам логарифм, в отличие от его аргумента и основания, может принимать любые значения из промежутка \((-\infty; +\infty)\).

Как уже упоминалось, логарифмическая функция монотонна. Посмотрите на её графики.

При a > 1 функция возрастающая,

Поэтому для решения простейших логарифмических неравенств достаточно преобразовать обе части неравенства к логарифму с одинаковым основанием и затем сравнить подлогарифмические выражения. Таким образом мы сравниваем функцию с самой собой при разных значениях её аргумента, т.е. как бы «вычёркиваем» log с обеих сторон неравенства. При этом,
— если основание степени больше единицы, то знак неравенства без «log» будет таким же, как знак исходного неравенства, что характерно для возрастающих функций – большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
— если основание степени меньше единицы, то знак неравенства будет обратным по отношению к знаку исходного неравенства, что характерно для убывающих функций – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений (ОДЗ) выражения \(2x+7>0.\)

Воспользуемся определением логарифма, чтобы представить число −2 в виде значения логарифмической функции с основаением 0,2.

\[0,2^ <-2>= \left(\frac<1><5>\right)^ <-2>= \left(\frac<5><1>\right)^ <2>= 25,\]
следовательно \(-2 = \log_<0,2><25>,\) и заданное неравенство можно преобразовать к виду \[\log_<0,2><(2x+7)>\log_<0,2><25>.>\] Теперь можно «отбросить логарифм», изменив знак неравенства на противоположный, так как его основание 0,2 0,> \\ <2x+7 -3,5,>\\ 0\). Это ОДЗ.
Преобразуем неравенство:
\(\text\;-\) это сокращенное обозначение для десятичного логарифма \(\log_<10>\). Так как \(10^2 = 100,\) то \(2 = \text<100>\). Далее используем свойства логарифмов \[ \text <(x+2)>1, то логарифм «отбросили» с сохранением знака неравенства.
Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств \[\begin x+2>0,\\[1ex] 2x-6>0,\\[1ex] (x+2)(2x-6) -2,\\ 2x>6,\\ 2x^2+4x-6x-12 — 2,>\\ 3,>\\

Ответ: \(x \in (3; 8). \)

Введение вспомогательной переменной

Пример 4.

Решение.

Аргументом обоих логарифмов является один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\), однако основания логарифмов различны – это 2 и 0,5, поэтому нужно воспользоваться свойствами логарифмической функции и привести логарифмы к одному основанию. Поскольку \(0,5 = \dfrac<1> <2>= 2^<-1>\), то приводить будем второй логарифм к основанию 2. Для этого используем формулу \(\log_b=\frac<1>\log_a\): \[\log_<0,5> <(4+3x-x^2)>= \log_<2^<-1>><(4+3x-x^2)>=\frac<1><-1>\log_2 <(4+3x-x^2)>= -\log_2<(4+3x-x^2)>\] Теперь неравенство имеет следующий вид \[\log_2^2 <(4+3x-x^2)>— 7\log_2 <(4+3x-x^2)>+10 > 0.\]

В последнем неравенстве неизвестная величина встречается в обоих слагаемых в совершенно одинаковой форме, поэтому можно продолжить решение методом введения вспомогательной переменной.

Пусть \(y = \log_2<(4+3x-x^2)>\), тогда логарифмическое неравенство преобразуется в обычное квадратное неравенство \[y^2 — 7y +10 > 0,\] которое решается графически (через параболу) или методом интервалов. Сделайте это самостоятельно. Ответ получится такой \(y \in (-\infty;2)\cup(5;+\infty)\) или, что то же самое \[\left[<\begin \end>\right. \] Последняя запись удобнее для возврата от вспомогательной переменной к логарифму \[\left[<\begin \log_2 <(4+3x-x^2)>5. \end>\right.\] Имеем два простейших неравенства для логарифмов с основанием \(2 > 1\), решаем их \[\log_2 <(4+3x-x^2)>5 \\ \log_2 <(4+3x-x^2)>> \log_2 <32>\\ 4+3x-x^2 > 32. \] Получившиеся два квадратных неравенства вместе с ОДЗ (не забывать о ней!) образуют совокупность двух систем неравенств, решая которые получим окончательный ответ. \[<\left[<\begin <\begin4+3x-x^2 > 0,\\ 4+3x-x^2 0 ; \end>\right. \\ <\begin4+3x-x^2 > 0,\\ 4+3x-x^2 > 32. \end > \left|<\begin x^2 -3x-4 3; \end>\right.> \end > \\ <\;\;x \in \varnothing .>\end>\right.>\] Объединяя множества решений совокупностей неравенств (обозначены квадратной скобкой «[«) и пересекая множества решений систем неравенств (обозначены фигурной скобкой скобкой «<"), делаем окончательный вывод \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)

Замечание 1. Чтобы не выписывать совокупности систем и системы совокупностей, особенно, если вы путаетесь в этих скобках, можно все этапы решения реализовать схемами на числовой оси.

Замечание 2. Заметим, что с некоторого момента решение задачи сводится к анализу неравенств, в которых один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\) сравнивается с числовыми значениями. Поэтому дальнейшие действия можно свести к построению одной параболы – эскиза графика функции \(y = 4+3x-x^2\) – и посмотреть как она соотносится с горизонтальными линиями \(y = 0, \; y = 4\; и\; y =32.\) (Вспомните аналогичное задание 2-й части ОГЭ за 9-ый класс.) На это не уйдёт много времени, т.к. коэффициенты трёхчлена целые числа, корни легко вычисляются по теореме Виета, а параболу достаточно построить только по характерным точкам.
Как быстро построить параболу можно посмотреть в видеоуроке на youtube-канале Mathematichka.

Ответ: \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)

Решение.

Выпишем ОДЗ неравенства.
Условие положительности всех аргументов логарифмической функции \[\begin 64x > 0;\\ x > 0;\\ x^4 > 0 \end\] сводится к одному требованию \(x > 0\).
Условие неравенства нулю знаменателей всех дробей \[\begin \log_4−3 \ne 0;\\ \log_4 <(64x)>\ne 0;\\ \log^2_4−9 \ne 0\\ \end\] пока запишем формально, анализировать будем в процессе решения.

В этом примере в отличие от предыдущего, напротив, основания всех логарифмов одинаковы – логарифм по основанию 4, но отличаются аргументы. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражения. \[\log_4 <(64x)>= \log_4<64>+\log_4=3+\log_4;\\ \log_4 = 4\log_4.\] Тогда неравенство приобретает вид \[\frac<3+\log_4><\log_4−3>+\frac<\log_4−3><3+\log_4>\geqslant\frac<4\log_4+16><\log^2_4−9>,\] где логарифм встречается только в виде \(\log_4\). Введём вспомогательную переменную \(y = \log_4\). \[\frac<3+y>+\frac<3+y>\geqslant\frac<4y+16>\] Получили дробно-рациональное неравенство. Дальнейшие преобразования производим с целью упростить и разложить на множители, чтобы решить методом интервалов. \[\frac<(3+y)^2 + (y-3)^2 > — \frac<4y+16>\geqslant 0,\\ \frac<9+2y+y^2 + y^2-2y+9 - 4y -16 >\geqslant 0,\\ \frac<2y^2- 4y+2 >\geqslant 0,\\ \frac<2(y-1)^2 ><(y+3)(y-3)>\geqslant 0.\] Решение на рисунке.

Учитывая, что до сих пор все преобразования, которые производились, были равносильными, можем утверждать, что выколов точки 3 и −3 из возможных значений переменной \(y\), мы обеспечили неравенство нулю общего знаменателя дроби, а значит и всех дробей, участвовавших в равносильных преобразованиях. Тем самым выполнена вторая часть ограничений ОДЗ неравенства.

Итак, неравенство для переменной \(y = \log_4\) выполняется при \[<\left[<\begin y 3; \end>\right.> \; <\left|<\begin \log_4 3; \end>\right.> \; <\left|<\begin \log_4 \log_4<64>; \end>\right.> \; <\left|<\begin x 64. \end>\right.>\] С учётом первого условия ОДЗ \((x>0)\), получаем окончательный ответ

Ответ: \(x \in \left(0; \;\dfrac<1><64>\right) \cup \ <4\>\cup (64;\;+\infty)\).

О разложении на множители

\( \log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 0.\)\[ \log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 0; \end > \\ <\begin\log_4 — 1 > 0,\\ \log_3 — 1 1; \end > \; \left|\; <\begin < \log_4\log_3<3>; > \end> \right. \\ <\begin\log_4> 1,\\ \log_3 \log_4<4>,\\ \log_3 3; \end > \; |\; \\ <\beginx > 4,\\ x 0\), можем записать ответ.

Решение II – вспомогательная переменная.

ОДЗ: \(x>0.\)
Приведём логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. \[\log_4 = \frac<\log_3><\log_3<4>>.\] \[\log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 1.\) Имеем \[ 1 0\), следовательно это окончательный ответ.

Решение III – через уравнение.

ОДЗ: \(x>0.\)
Заменим знак » 0,\] так как \(\sqrt <3>1,\) то \(\log_4<\sqrt<3>> 1,\) то \(\log_4 <3,5>3^1\; и\; 3>1,\) то \(\log_3 <3,5>> 1.\)
3) пусть \(x = 9; \;x \in (4;+\infty)\) \[\log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 = \\ = \log_3<9>\cdot\log_4 <9>— \log_3 <9>— \log_4 <9>+1 = \\ = 2\log_4 <9>— 2 — \log_4 <9>+ 1 = \\ = \log_4 <9>— 1 >0, \] так как \(9 > 4^1\; и\; 4>1,\) то \(\log_4 <9>> 1.\)

По рисунку формулируем ответ.

Сравните все три способа решения для этого вовсе не сложного неравенства и определитесь, какой вариант наиболее приемлем для вас.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Решение логарифмических уравнений — примеры с решениями

Решение простейших логарифмических уравнений

Как известно, решение простейшего логарифмического уравнения log_ax=b — это x=a b . Другими словами, простейшее логарифмическое уравнение log_ax=b имеет единственный корень, которым является степень a b .

Первый пример. Проще некуда.

Решите уравнение log₅x=2

Все понятно без слов:
log₅x=2
x=5 2
x=25

При решении простейших логарифмических уравнений переход от log_ax=b к x=a b , обычно, не представляет сложности. Часто, куда сложнее вычислить значение степени a b или упростить ее вид. Следующие примеры иллюстрируют сказанное.

Второй пример. А вычислить значение?

Решите логарифмическое уравнение

Это простейшее логарифмическое уравнение. Оно имеет единственный корень . Очевидно, полученная степень нуждается в доработке.

Сначала заменим квадратный корень из семи степенью: .

Остается вспомнить, как определяется степень с отрицательным показателем, и закончить вычисления:

На этом решение простейшего логарифмического уравнения завершено.

Третий пример. Извольте упростить.

Начинаем со стандартного при решении простейших логарифмических уравнений перехода:

Надо бы упростить полученную степень.

Возвести дробь в минус первую степень – это кувыркнуть ее вверх ногами:

Теперь глаза мозолит иррациональность в знаменателе, исправим эту ситуацию:

Таким образом, — искомое решение простейшего логарифмического уравнения.

Решение логарифмических уравнений разными методами

Сейчас пройдемся по всем основным методам решения логарифмических уравнений, и рассмотрим решения наиболее характерных и интересных, по нашему мнению, логарифмических уравнений.

по определению логарифма

По определению логарифма в первую очередь проводится решение логарифмических уравнений log_af(x)=b , где a и b — числа, причем a>0 , a≠1 , а f(x) – выражение с переменной x , таких как log₂(x 2 +4·x+3)=3 , и др. Решение состоит в переходе от уравнения log_af(x)=b к уравнению f(x)=a b . Например, решение логарифмического уравнения log₂(x 2 +4·x+3)=3 с опорой на определение логарифма заменяется решением уравнения x 2 +4·x+3=2 3 .

На определение логарифма можно опираться и при решении логарифмических уравнений log_h(x)f(x)=g(x) , таких как log_x(x 2 −3·x+6)=2 , log₂(9−2 x )=3−x , log_x(3·x lgx +4)=2·lgx и др. Решение уравнения log_h(x)f(x)=g(x) заключается в решении уравнения f(x)=(h(x)) g(x) на области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Например, чтобы решать логарифмическое уравнение log_x(x 2 −3·x+6)=2 по определению логарифма, надо решить уравнение x 2 −3·x+6=x 2 , и взять все корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения.

• Чтобы решить логарифмическое уравнение log_af(x)=b по определению логарифма, надо перейти к уравнению f(x)=a b и найти его решение.
• А чтобы решить по определению логарифма уравнение log_h(x)f(x)=g(x) , надо перейти к уравнению f(x)=(h(x)) g(x) , решить его, и взять корни, принадлежащие ОДЗ для исходного логарифмического уравнения.

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений.

Обычно решение оформляется кратко:

А теперь поясним, какие рассуждения за всем этим скрываются.

Заданное логарифмическое уравнение имеет вид log_af(x)=b , где f(x)=2·x−4 , a=1/2 , b=−2 . Такое логарифмическое уравнение можно решать по определению логарифма, то есть, заменять решение уравнения log_af(x)=b решением уравнения f(x)=a b .

Итак, переходим от исходного уравнения к уравнению . Это рациональное уравнение, решаем его:

Так получено решение исходного логарифмического уравнения.

Пример. Не забыть про проверку.

Решите логарифмическое уравнение log_x(−x 2 +5·x+3)=2

Заданное уравнение можно рассматривать как уравнение log_h(x)f(x)=g(x) , где f(x)=−x 2 +5·x+3 , h(x)=x , g(x)=2 , и мы знаем, что такие уравнения можно решать по определению логарифма. Решение этим методом на первом этапе предполагает переход от уравнения log_h(x)f(x)=g(x) к уравнению f(x)=(h(x)) g(x) . Имеем −x 2 +5·x+3=x 2 .

Теперь нам надо решить полученное уравнение −x 2 +5·x+3=x 2 . Оно сводится к квадратному уравнению 2·x 2 −5·x−3=0 . Решаем его:

Остается пройти последний шаг решения логарифмического уравнения по определению логарифма – выяснить, какие из корней принадлежат ОДЗ для исходного уравнения. ОДЗ для исходного логарифмического уравнения log_x(−x 2 +5·x+3)=2 определяется системой .

Очевидно, не удовлетворяет второму условию, значит, это посторонний корень для исходного уравнения. А корень x₂=3 удовлетворяет всем условиям: . Значит, x₂=3 – это корень уравнения log_x(−x 2 +5·x+3)=2 .

На этом решение завершено. Уравнение имеет единственный корень 3 .

Естественно, так подробно решение не описывают. Обычно его оформляют кратко, но без ущерба для логики действий, например, так:

методом потенцирования

Метод потенцирования применяется для решения логарифмических уравнений, части которых являются логарифмами с одинаковыми основаниями, например, log₅(x−1)=log₅7 , и др. Решение логарифмических уравнений методом потенцирования состоит в переходе от уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения. Так решение уравнения можно заменить решением уравнения x+1=x 2 −1 на ОДЗ для исходного уравнения.

Название метода становится понятным, если вспомнить, что потенцирование – это восстановление выражения по его логарифму.

Обосновать метод можно, сославшись на свойства логарифмов. Из них мы знаем, что логарифмы двух положительных чисел с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны сами числа, то есть, , a>0 , a≠1 , b₁>0 , b₂>0 . Так вот переход от логарифмического уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x) — это аналог замены log_ab₁=log_ab₂ на b₁=b₂ , а нахождение в рамках ОДЗ для исходного уравнения – это аналог выполнения условий a>0 , a≠1 , b₁>0 , b₂>0 .

Итак, чтобы решить логарифмическое уравнение log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) методом потенцирования, надо

• Перейти к уравнению f(x)=g(x) .
• Решить полученное уравнение.
• И взять корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, остальные отбросить как посторонние. Другими словами, провести отсеивание посторонних корней.

Остается рассмотреть пример с решением.

Мы видим, что части уравнения являются логарифмами с одинаковыми основаниями. Подобные логарифмические уравнения удобно решать методом потенцирования.

Согласно выбранному методу, переходим от исходного уравнения к уравнению x+1=x 2 −1 .

Теперь нам надо решить полученное уравнение x+1=x 2 −1 . Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком и приведение подобных слагаемых дает квадратное уравнение x 2 −x−2=0 , которое можно решить, например, через дискриминант:

Остается проверить принадлежность найденных корней области допустимых значений переменной x для исходного уравнения. Для нашего логарифмического уравнения ОДЗ определяют два условия x+1>0 и x 2 −1>0 . Очевидно, x₁=−1 не удовлетворяет первому условию ( −1+1>0 — неверное), значит, это посторонний корень для решаемого уравнения. А корень x₂=2 удовлетворяет обоим условиям ( 2+1>0 – верное, 2 2 −1>0 — верное). Значит, он является корнем уравнения .

На этом решение логарифмического уравнения методом потенцирования завершено. Уравнение имеет единственный корень, им является число 2 .

методом разложения на множители

Пример. Все как всегда.

Решение логарифмического уравнения можно провести методом разложения на множители, так как в левой части уравнения находится произведение двух выражений с переменной, а в правой – нуль.

Первый шаг – переход к совокупности уравнений:

Второй шаг – решение полученных логарифмических уравнений.

Первое уравнение можно решить по определению логарифма, а второе — методом потенцирования, после предварительного переноса второго логарифма в правую часть со знаком «плюс»:

На последнем шаге остается выяснить, принадлежат ли найденные корни 2 и 5 ОДЗ для решаемого логарифмического уравнения :

На этом решение логарифмического уравнения методом разложения на множители завершено.

путем введения новой переменной (замены переменной)

Решение логарифмических уравнений методом введения новой переменной, как правило, проводится в следующих типичных ситуациях:

• Когда переменная находится в составе некоторой сложной функции, как, например, в уравнении
• Когда переменная фигурирует в нескольких одинаковых выражениях и нигде более. Вот примеры логарифмических уравнений, соответствующие сказанному:

(часто, одинаковые выражение с переменной прячут за свойствами степеней, и приведенное выше в пример логарифмическое уравнение, скорее, будет выглядеть так или так )