Решение логарифмических уравнений методом замены переменной

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

План-конспект урока по теме: «Решение логарифмических уравнений методом замены переменной»

Разделы: Математика

Задача: опираясь на ранее изученные свойства логарифмов, научиться решать логарифмические уравнения с помощью замены переменной.

Цели:

• образовательная: научить применять метод замены переменной при решении логарифмических уравнений;
• развивающая: формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по теме;
• воспитательная: учить преодолевать трудности, работать в быстром темпе, воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Тип урока: урок изучения нового.

Оборудование:

• плакаты: “Свойства логарифмов”, самостоятельная работа на два варианта;
• магнитная доска и магниты;
• карточки с домашним заданием.

Ход урока

1. Организационный момент.

Вступительное слово учителя. Сегодня я хочу познакомить вас с одним из интересных способов решения логарифмических уравнений – методом замены переменной. При их решении мы будем пользоваться свойствами логарифмов, которые приведены на плакате.

2. Объяснение нового материала. Рассмотрим примеры.

Пусть log₉(x-2)=t , тогда x-2=9 t и исходное уравнение

t+=1,5
1,5t=1,5
t=1 , отсюда x-2=9 1
x=11

Решите в группах уравнение:

Log₄ x (5-x)+log₈ x (5-x)+log₁₆ x (5-x)=

Log₄ x (5-x)=t, заменить 5-x на (4 x ) во втором и третьем слагаемом правой части уравнения.

Применяя формулу перехода к другому основанию: log₃x=

И полагая, что log₂x=t; x>0, имеем

t+=t*, т.к. = log₃2, то
t+tlog₃2-t 2 log₃2=0.
t(1+log₃2-t log₃2)=0, откуда
t=0 или tlog₃2= log₃2+ log₃3
tlog₃2= log₃6
t=
log₂x=0 log₂x= log₂6
x=2 0 =1 x=6

Решите в группах уравнение:

(ответ: )

Положим log₂х=t; x>0, тогда х=2 t

t(2+t)+(2t+1)(t+1)=1,5(t+1)(2+t)
t 2 +2t+2t 2 +3t+1=1,5t 2 +4,5t+3
1,5t 2 +0,5t-2=0
t₁=1 t₂=
x=2 1 =2 x=2 4/3 =
Ответ: 2 и

Решите в группах:

Log_х2* =

Пример 4. Некоторые уравнения можно решить логарифмированием обеих частей уравнения, но можно и при помощи замены переменной. Рассмотрим как раз такой случай.

log₂x=t, x>0; x=2 t

t 2 +3t-4=0
t₁=1; t₂=-4 отсюда x=2 1 =2
x=2 -4 =

Ответ: 2 и

Решите в группах следующее уравнение:

log₆x=t, x>0; x=6 t
t 2 =1 t=1 и t=-1,

тогда x=6 и x=

Ответ: 6 и

В группах решите:

(ответ: и 4)

1 вариант	2 вариант
а) log2x+ log4x+ log8x=11	а) log4x+ log16x+ log2x=7
б) x 2lgx =10x	б) x 2lgx =100x
в)	в)
г)	г)
д)	д)
е) 3log3xx=2log9xx 2	е) 2log4xx 3 =5log2xx

а)
б) log₄x+log_x8=
в)
г)
д)
е)

Список использованной литературы

1. Башмаков М.И., Братусь Т.А., Жарковская Н.А. и др. “Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы. 10-11 классы” М., Дрофа, 2004.
2. Бородуля И.Т. “Показательная и логарифмическая функции (задачи и упражнения)” М., Просвещение,1984.
3. Зив Б.Г., Алтынов П.И. “Алгебра и начала анализа. Геометрия. Дидактические материалы” М., Дрофа, 1999.
4. Зив Б.Г., Гольдич В.А. “Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы” СПб.,Петроглиф, 2006.
5. Карп А.П. “Сборник задач по алгебре и началам анализа” М., Просвещение, 1999.
6. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. “Задачи по алгебре и началам анализа” М., Просвещение, 1997.
7. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики” М., Педагогический университет “Первое сентября”, 2006.
8. Шабунин М.В. “ Уравнения. Лекции для старшеклассников и абитуриентов” М., Чистые пруды, 2005.
9. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. “Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс” М., Просвещение, 1991.

План-конспект урока по теме:»Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах»

(Алгебра и начала анализа 11 класс)

Развитие и обобщение знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств;

Подготовка к ЕГЭ.

Рассмотреть применение алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств;

Продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения;

Развивать потребность в нахождении рациональных способов решения;

Способствовать развитию умения видеть и применять рассмотренный материал в нестандартных ситуациях.

Способствовать совершенствованию умения контролировать свои действия, вносить коррективы в план выполняемой работы;

Способствовать развитию умения в ходе работы в группе учитывать позиции других учеников, обосновывать свою позицию, а также координировать в ходе сотрудничества разные точки зрения.

Организационный момент 2 мин.

Устная работа 9 мин.

Лекционная часть урока (объяснение учителя алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств) 15 мин.

Работа учащихся в группах с разноуровневыми заданиями 15 мин.

Итог урока 3 мин.

Домашнее задание (комментарий учителя) 2 мин.

Оборудование: интерактивная доска.

I . Устная работа учащихся.

Найдите область определения функции

Укажите и исправьте ошибки в решении

функция у = log _1/5 t – убывающая, значит,

х— 1 > 0;

х > 1.

Учитель использует (доску), компьютер и экран (заранее приготовлены слайды).

4. Вопрос: Какие методы использовались при решении логарифмических уравнений и неравенств?

При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, иногда применяют различные преобразования, сводящие заданное уравнение к простейшему виду. При этом важно, чтобы ОДЗ не менялось.

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y = f ( x ) g ( x ) , при этом f ( x )>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

II . Решение некоторых логарифмических уравнений и неравенств сводится к алгебраическим с помощью замены переменных.

Рассмотрим этот способ решения. Объясняет учитель.

Пример 1. Решите уравнение

Решение: Воспользуемся методом замены.

Пусть √ lg x = t , ≥0, тогда данное уравнение примет вид

t 2 + 3 t – 4 = 0, откуда t ₁=1, t ₂= — 4 ( посторонний корень).

Пример 2. Решите уравнение

х≠ 2.

Переходя к логарифмам по основанию 2, получим

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

Решением первого уравнения является x = 1.

Для решения второго уравнения сделаем замену t = log ₂ х. После преобразования получим:

(25t 2 + 15t – 30)/((2+ t)(4+ t)(t-1))=0,

25t 2 + 15t – 30=0,

t =2,

log ₂ х =2,

Ответ: 1; 4; 1/ 4 5 √8.

Пример 3. Решите неравенство

Решение: перепишем неравенство в виде:

(4 – (а + 1) 2 ) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(1 — а)) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(а — 1)) / (1 + а) ≤ 0

Воспользуемся методом интервалов, получим

— 1

— 1 ₃ (х-2) ≤ 1.

y = log ₃ t – возрастающая функция,

0 х — 2 ≤ 1 /27

Ответ: ( 2; 55/27]U(7/3;5].

Итак, рассмотрели метод замены переменных, который будем использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств.

III . Учащиеся класса разбиваются на группы ( по выбору).

1 группа: занимаются самостоятельно на оценку.

2 группа работает, используя консультации учителя, с последующей проверкой полного решения учениками через экран.

Задания для учащихся 1 группы.

1. Решите уравнение

2. Решите неравенство

—15 log ₂ ‌х

y = log ₂ ‌ b – возрастающая функция,

Задания для учащихся 2 группы

1. Решите уравнение

2. Решите неравенство

log ₅ х =2,

log _0,5 х

х >0,5

IV . 1 группа учащихся сдает тетради на проверку; решения для 1 и 2 группы демонстрируются на экране. Подводится итог урока: рассмотрев алгоритм введения новой переменной для решения логарифмических уравнений и неравенств, ученики должны развивать умение применять изученный материал, как один из рациональных способов решения.

V . Домашнее задание. Запись на экране. Ученик выполняет на выбор любые 4 примера.

1) 3 lg 2 (х — 1) — 10 lg (х — 1) + 3 = 0,

3 t 2 — 10 t + 3=0,

Ответ: 1001; 3√ 10 +1.

2 х+1 >0

-2 не удовлетворяет условию 2 х+1>0

3/2 у² — 5/2у + 1 = 0,

4(t-5/2)(t+1/2)>0

х

y >-1

‌ х 4

1. Пособие для учителя под ред. М.Л. Галицкого.

Углубленное изучение алгебры и математического анализа

2. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 класс

3. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики-Москва: Педагогический университет «Первое сентября» 2012г.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 869 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 15.08.2015
• 3194
• 1

• 15.08.2015
• 506
• 0

• 15.08.2015
• 554
• 0

• 15.08.2015
• 1077
• 1

• 15.08.2015
• 1598
• 7

• 15.08.2015
• 802
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 15.08.2015 1544
• DOCX 76.5 кбайт
• 20 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лосенкова Людмила Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 19084
• Всего материалов: 13

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.