Решение логарифмических уравнений неравенств систему уравнения

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

0,\, a\ne 1 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

называют логарифмической функцией.

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log_a x:

a > 1

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

0, \\ 8+5x > 0 \end \Leftrightarrow \begin x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end \Leftrightarrow \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

С учетом того, что

-\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

0, \\ -x-31>0 \end\Leftrightarrow \begin -1

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Уравнение принимает вид:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end\Leftrightarrow \begin x>-2, \\ x>-3, \\ x

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log _a f(x) > log _a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);
при 0 log _a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+4>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in(-\mathcal<1>;-3)\cup(2;+\mathcal<1>), \\ x>-4 \end \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

0, \\ \frac<(x-9)^<11>>>0 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;3)\cup(9;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

Итак, окончательный ответ:

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку

С учетом того, что выражения и — одного знака при 0,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»74″ style=»vertical-align: -4px;»/> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

Множество решений данного неравенства

Итак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат:

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению $f(x)=g(x)$ с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида $\log_a f(x)=\log_a g(x)$

Неравенства $ \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end $ в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для $x$ в явном виде;
2) решить уравнение $f(x)=g(x)$;
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения $f(x)$ и $g(x)$ слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение $f(x)=g(x)$;
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для $f(x)$ и $g(x)$, и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение $\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)$
Найдем ОДЗ в явном виде:
$ \begin 2x+3\gt 0\\ x+4\gt 0\\ 1-2x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt-\frac32\\ x\gt-4\\ x\lt\frac12 \end \Rightarrow -\frac32\lt x\lt\frac12\Rightarrow x\in\left(-\frac32;\frac12\right) $
Решаем уравнение:
$\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)$
$(2x+3)(x+4)=1-2x$
$2x^2+11x+12-1+2x=0$
$2x^2+13x+11=0$
$(2x+11)(x+1)=0$
$ \left[ \begin x_1=-5,5\\ x_2=-1 \end \right. $
Корень $x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),$ т.е. не подходит.
Корень $x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)$ — искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида $\log_ f(x)=\log_ g(x)$

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение $\log_(x^2-4)=\log_(2-x)$
Найдем ОДЗ в явном виде:
$ \begin x^2-4\gt 0\\ 2-x\gt 0\\ x+5\gt 0\\ x+5\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt -2\cup x\gt 2\\ x\lt 2\\ x\gt -5\\ x\ne -4 \end \Rightarrow \begin -5\lt x\lt -2\\ x\ne -4 \end \Rightarrow x\in (-5;-4)\cup(-4;-2) $
Решаем уравнение:
$x^2-4=2-x$
$x^2+x-6=0$
$(x+3)(x-2)=0$
$ \left[ \begin x_1=-3\\ x_2=2 — \ \text <не подходит>\end \right. $
Ответ: -3

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Например:
Решим уравнение $\log_<2>(x+1)=\log_<4>(x+3)$
Основания $2\ne 4$, и нельзя сразу написать $x+1=x+3$.
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
$\log_2(x+1)=\log_<2^2>(x+1)^2=\log_4(x+1)^2$
Тогда исходное уравнение примет вид: $\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)$
И теперь: $(x+1)^2=x+3$
$x^2+x-2=0$
$(x+2)(x-1)=0$
$ \left[ \begin x_1=-2\\ x_2=1 \end \right. $
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
$ \begin x+1\gt 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\gt -1 $
Корень $x_1=-2\lt -1$ — не подходит.
Ответ: 1

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) $ \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 $
ОДЗ: $ \begin x+1\gt 0\\ x-1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow x\gt 1 $
$\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22$
$x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3$
$ \left[ \begin x_1=-\sqrt<3>\lt 2 — \text<не подходит>\\ x_2=\sqrt <3>\end \right. $
Ответ: $\sqrt<3>$

б) $ 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) $
ОДЗ: $ \begin x-1\gt 0\\ 1,5x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt-\frac23 \end \Rightarrow x\gt 1 $
Преобразуем: $2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2$
Получаем: $\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)$
$(x-1)^2=1,5x+1$
$x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0$
$ \left[ \begin x_1=0\lt 1 — \text<не подходит>\\ x_2=3,5 \end \right. $
Ответ: 3,5

в) $ \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 $
ОДЗ: $ \begin 3-x\gt 0\\ 4-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 3\\ x\lt 4 \end \Rightarrow x\lt 3 $
Преобразуем: $1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12$
Получаем: $\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12$
$(3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0$
$ \left[ \begin x_1=0\\ x_2=7\gt 3 — \text <не подходит>\end \right. $
Ответ: 0

г) $ \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 $
ОДЗ: $x\gt 0$
$\log_2x^2=2\log_2x$
Получаем: $\log_2^2x+2\log_2x+1=0$
Замена: $t=\log_2 x$
$t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1$
Возвращаемся к исходной переменной: $\log_2x=-1$
$x=2^<-1>=\frac12$
Ответ: $\frac12$

д) $ x^<\lg x>=10 $
ОДЗ: $x\gt 0$
Замена: $t=\lg ⁡x$. Тогда $x=10^t$
Подставляем:
$(10^t)^t=10\Rightarrow 10^=10^1\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1$
Возвращаемся к исходной переменной:
$ \left[ \begin \lg x=-1\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-1>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,1\\ x_2=10 \end \right. $
Оба корня подходят.
Ответ:

e) $ \sqrt\cdot \log_5(x+3)=0 $
ОДЗ: $ \begin x\geq 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\geq 0\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\geq 0 $
$ \left[ \begin \sqrt=0\\ \log_5(x+3)=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x+3=5^0=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. $
Ответ: 0

ж) $ \log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(x+1) $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0\\ x+1\gt 0\\ 5x-2\gt 0\\ 5x-2\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\gt -1\\ x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end $
Преобразуем: $\log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(2x^2)$
Подставляем: $\log_<5x-2>(2x^2)=\log_<5x-2>(x+1)$
$ 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin x_1=-\frac12 — \text<не подходит>\\ x_2=1 \end \right. $
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) $ \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 $
ОДЗ: $ \begin 2x-1\gt 0\\ \log_3(2x-1)\gt 0\\ \log_2\log_3(2x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ 2x-1\gt 3^0\\ \log_3(2x-1)\gt 2^0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ 2x-1\gt 3^1 \end \Rightarrow $
$ \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ x\gt 2 \end \Rightarrow x\gt 2 $
Решаем:
$\log_2\log_3(2x-1)=4^<1/2>=2$
$\log_3(2x-1)=2^2=4$
$2x-1=3^4=81$
$2x=82$
$x=41$
Ответ: 41

б) $ \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> $
ОДЗ: $ \begin 9-2x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2^x\lt 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\lt\log_2 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow x\lt 3 $
Преобразуем: $25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x$
Подставляем: $\log_2(9-2^x)=3-x$
$9-2^x=2^<3-x>$
$9-2^x-\frac<8><2^x>=0$
Замена: $t=2^x\gt 0$
$ 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>=0\Rightarrow \begin t^2-9t+8\gt 0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \begin (t-1)(t-8)=0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=8 \end \right. $
Возвращаемся к исходной переменной:
$ \left[ \begin 2^x=1\\ 2^x=8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2^x=2^0\\ 2^x=2^3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=3 \end \right. $
По ОДЗ $x\lt 3$, второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) $ \lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>+1=\lg 30 $
ОДЗ: $ \begin x-5\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 5\\ x\gt\frac32 \end \Rightarrow x\gt 5 $
Преобразуем: $\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac<30><10>=\lg 3$
Подставляем: $\lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>=\lg 3$
$\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2$
$\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3$
$\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2$
$(x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0$
$ (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin x_1=\frac12\lt 5 — \ \text<не подходит>\\ x_2=6 \end \right. $
Ответ: 6

г) $ \frac<1><\lg x>+\frac<1><\lg 10x>+\frac<3><\lg 100x>=0 $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0\\ \lg x\ne 0\\ \lg 10x\ne 0\\ \lg 100x\ne 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne 1\\ 10x\ne 1\\ 100x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne\left\<\frac<1><100>;\frac<1><10>;1\right\> \end $
Преобразуем: $\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10$
$\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x$
Подставляем: $\frac<1><\lg x>+\frac<1><1+\lg x>+\frac<3><2+\lg x>=0$
Замена: $t=\lg x$
\begin \frac1t+\frac<1><1+t>+\frac<3><2+t>=0\Rightarrow \frac1t+\frac<1><1+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow \frac<1+t+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2\Rightarrow 5t^2+8t+2=0\\ D=8^2-4\cdot 5\cdot 2=24,\ \ t=\frac<-8\pm 2\sqrt<6>><10>=\frac<-4\pm \sqrt<6>> <5>\end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ \lg x=\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ x=10\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: $\left\<10\frac<-4\pm\sqrt<6>><5>\right\>$

e) $ x^<\frac<\lg x+7><4>>=10^ <\lg x+1>$
ОДЗ: $x\gt 0$
Замена: $t=\lg x.$ Тогда $x=10^t$
Подставляем: \begin (10^t)^<\frac<4>>=10^\\ \frac<4>=t+1\Rightarrow t(t+7)=4(t+1)\Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\\ t^2+3t-4=0\Rightarrow (t+4)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-4\\ t_2=1 \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=-4\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-4>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,0001\\ x_2=10 \end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: $\left\<0,0001;\ 10\right\>$

ж) $ 4^<\log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <\log_3 2>$
ОДЗ: $ \begin 1-x\gt 0\\ 2x^2+2x+5\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ D\lt 0,\ x\in\mathbb \end \Rightarrow x\lt 1 $
По условию: \begin \log_3(1-x)=\log_4\left((2x^2+2x+5)^<\log_32>\right)\\ \log_3(1-x)=\log_32\cdot\log_4(2x^2+2x+5) \end Перейдем к другому основанию: $$ \frac<\lg(1-x)><\lg 3>=\frac<\lg 2><\lg 3>\cdot\frac<\lg(2x^2+2x+5)><\lg 4>\ |\cdot\ \lg 3 $$ $\frac<\lg 2><\lg 4>=\frac<\lg 2><\lg 2^2>=\frac<\lg 2><2\lg 2>=\frac12$ \begin \lg(1-x)=\frac12\cdot\lg(2x^2+2x+5)\ |\cdot 2\\ 2\lg(1-x)=\lg(2x^2+2x+5)\\ \lg(1-x)^2=\lg(2x^2+2x+5)\\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\\ x^2+4x+4=0\\ (x+2)^2=0\\ x=-2 \end Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) $ \begin \lg x+\lg y=\lg 2\\ x^2+y^2=5 \end $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0\\ y\gt 0 \end $
Из первого уравнения: $\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2$
Получаем: $ \begin xy=2\\ x^2+y^2=5 \end \Rightarrow \begin y=\frac2x\\ x^2+\left(\frac2x\right)^2-5=0 \end $
Решаем биквадратное уравнение: \begin x^2+\frac<4>-5=0\Rightarrow\frac=0\Rightarrow \begin x^4-5x^2+4=0\\ x\ne 0 \end \\ (x^2-4)(x^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x^2=4\\ x^2=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm 2\\ x=\pm 1 \end \right. \end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: $ \left[ \begin \begin x=1\\ y=\frac2x=2 \end \\ \begin x=2\\ y=\frac22=1 \end \end \right. $
Ответ: $\left\<(1;2),(2,1)\right\>$

б) $ \begin x^=27\\ x^<2y-5>=\frac13 \end $
ОДЗ: $x\gt 0,\ x\ne 1$
Логарифмируем: $ \begin y+1=\log_x27=\log_x3^3=3\log_x3\\ 2y-5=\log_x\frac13=\log_x3^<-1>=-\log_x3 \end $
Замена: $z=\log_x3$ \begin \begin y+1=3z\\ 2y-5=-z\ |\cdot 3 \end \Rightarrow \begin y+1=3z\\ 6y-15=-3z \end \Rightarrow \begin 7y-14=0\\ z=5-2y \end \Rightarrow \begin y=2\\ z=1 \end \end Возвращаемся к исходной переменной: $$ \begin y=2\\ \log_x3=1 \end \Rightarrow \begin x^1=3\\ y=2 \end \Rightarrow \begin x=3\\ y=2 \end $$
Ответ: (3;2)

в*) $ \begin 3(\log_y x-\log_x y)=8\\ xy=16 \end $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0,\ x\ne 1\\ y\gt 0,\ y\ne 1 \end $
Сделаем замену $t=\log_x y$. Тогда $\log_y x=\frac<1><\log_x y>=\frac1t$
Подставим в первое уравнение и решим его: \begin 3\left(\frac1t-t\right)=8\Rightarrow\frac<1-t^2>=\frac83\Rightarrow \begin 3(1-t^2)=8t\\ t\ne 0 \end\\ 3t^2+8t-3=0\Rightarrow (3t-1)(t+3)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac13\\ t_2=-3 \end \right. \end Прологарифмируем второе уравнение по $x$: $$ \log_x(xy)=\log_x16\Rightarrow 1+\log_x y=\log_x16\Rightarrow 1+t=\log_x 16 $$ Получаем: \begin \left[ \begin \begin t=\frac13\\ \log_x16=1+t=\frac43 \end \\ \begin t=-3\\ \log_x16=1+t=-2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x^<\frac43>=16 \end \\ \begin t=-3\\ x^<-2>=16 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x=(2^4)^<\frac34>=2^3=8 \end \\ \begin t=-3\\ x=(16)^<-\frac12>=\frac14 \end \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin \begin x=8\\ \log_x y=\frac13 \end \\ \begin x=\frac14\\ \log_x y=-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x=8\\ y=8^<\frac13>=2 \end \\ \begin x=\frac14\\ y=\left(\frac14\right)^<-3>=64 \end \end \right. \end
Ответ: $\left\<(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\>$

г*) $ \begin (x+y)\cdot 3^=\frac<5><27>\\ 3\log_5(x+y)=x-y \end $
ОДЗ: $x+y\gt 0$
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin \log_3\left((x+y)\cdot 3^\right)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)+(y-x)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>=x-y \end Получаем:$x-y=3\log_5(x+y)=\log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>$
Решим последнее уравнение относительно $t=x+y$ \begin 3\log_5 t=\log_3 t-\log_3\frac<5><27>\\ 3\cdot\frac<\log_3t><\log_35>-\log_3t=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t\cdot\left(\frac<3><\log_35>-1\right)=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t=-\frac<\log_3\frac<5><27>><\frac<3><\log_35>-1>=-\frac<(\log_35-3)\log_35><3-\log_35>=\log_35\\ t=5 \end Тогда: $x-y=3\log_5t=3\log_55=3$
Получаем систему линейных уравнений: \begin \begin x+y=5\\ x-y=3 \end \Rightarrow \begin 2x=5+3\\ 2y=5-3 \end \Rightarrow \begin x=4\\ y=1 \end \end Требование ОДЗ $x+y=4+1\gt 0$ выполняется.
Ответ: (4;1)

Решение логарифмических уравнений и систем уравнений. Подготовка к ЕГЭ

Разделы: Математика

Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока: Урок повторного контроля знаний.

Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока:

Образовательная — обобщение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и системы уравнений; закрепить основные приемы и методы решения логарифмических уравнений и систем уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.
Развивающая — развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
Воспитывающая — воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.

Задачи урока:

выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.
осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений и систем уравнений.
познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений и систем уравнений.

Методы и педагогические приемы:

Методы самообучения
Приемы устного опроса.
Приемы письменного контроля.
Коллективная учебная деятельность.
Организация работы в группах.
Повышение интереса к учебному материалу.

Оборудование:

компьютер, мультимедийный проектор и экран;
тетради;

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.

План урока:

Организационный момент (1 мин)
Проверка домашнего задания (3 мин)
Входной контроль (повторение теоретического материала) (15 мин)
Этап обобщения знаний учащихся. Решение уравнений и систем уравнений (45 мин)
Разноуровневая самостоятельная работа (проверка знаний учащихся) (20 мин)
Итоги урока (4 мин)
Домашнее задание (2 мин)

1. Организационный момент

Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

2. Проверка домашнего задания

Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях.

3. Входной контроль (повторение теоретического материала)

Организация устной фронтальной работы с классом по повторению логарифмических формул и способов решения логарифмических уравнений.

Решение простейших уравнений:

а) и

б) и

2) Найдите Х, если х>0:

[1/5]

[4]

Перечислите: основные способы решения логарифмических уравнений.

Способы решения логарифмических уравнений

По определению логарифма.
Метод потенцирования.
Метод введения новой переменной.
Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.
Функционально-графический способ.

На экране уравнения:

log₂(3 — 6x) = 3
lg(х 2 — 2х) = lg (2х + 12)
5 х + 1 — 5 х — 1 = 24
х lg х = 10000
3 2х + 5 = 3 х + 2 + 2
log₃ 2 x — log₃ x = 3
log₂x — log₄x = 3
2 x = x 2 — 2x

Среди данных уравнений выбрать логарифмические. Определить способ решения каждого уравнения. Решите уравнения.

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.

Устно ответить на следующие вопросы (если имеется не один корень):

Найти наименьший корень уравнения.
Найти сумму корней уравнения.
Найти разность корней уравнения.
Найти произведение корней уравнения.
Найти частное корней уравнения

Самооценка и взаимооценка деятельности учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

4. Этап обобщения знаний учащихся

Решение логарифмических уравнений из заданий ЕГЭ части В и С.

№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения log₆(3x + 88) — log₆ 11 = log₆ x. [1]

№ 2 (B) Найдите произведение всех корней уравнения

. [1]

№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log₄ (x — 3) + 2. [2]

№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения: log₂(2+5)+ log_0,5(-х-0,5) = 1 [-4]

№ 5 (C) Решите уравнение — log₆ x + 34 = () 2 + x. [2]

Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных крыльях доски с последующей проверкой решения всем классом.

Уравнение №4,5 решает ученик с подробным комментарием.

По окончании самооценка и взаимооценка учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log _a x = b, a > 0, a 1.

log _a f(x) = b, a > 0, a 1.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма: если log_b a = c, то a = b c .

Решить уравнение log₂ x = 3.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2 3 , x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Уравнения вида log_a f(x) = b, a > 0, a 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x).

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример. Решить уравнение log₃(5х — 1) = 2.

ОДЗ: 5х — 1 > 0; х > 1/5.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х 2 — 2х — 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х 2 — 2х — 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х 2 — 2х — 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x)) c = b или равносильного уравнения проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Суть метода заключается в переходе от уравнения

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств:

х> -1,5+ , х 2 — 3х — 5 = 7 — 2х,

х 2 — х — 12 = 0, откуда х₁ = -3, х₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _a f(x) = log _a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

log_b a + log_b c = log_b(a*c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

log_b a — log_b c = log_b(a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

m log_b a = log_b a m , где a > 0; b > 0, b 1; m R.

Пример 1. Решить уравнение log₆ (x — 1) = 2 — log₆ (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log₆ ((x — 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х — 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x — 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log₅ (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.

Пример 3. Решить уравнение log₂ (6 — x) = 2 log₆ x.

Решение. На области определения 0 2 , откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃(x + 1) ? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log ₃(x + 1)-1) 2 = 0, откуда log ₃(x + 1) = 1 и x = 2.

3. Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

где a > 0, a 1, A, В, С — действительные числа.

Пусть t = log_a f(x), t R. Уравнение примет вид t 2 + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x — lg x — 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения — интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t R.

Уравнение примет вид t 2 — t — 6 = 0. Его корни t₁ = -2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3, х = 10 -2 или х = 10 3 .

Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х 2 — 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t_1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log₃ (-x) = 2, отсюда —х = 9, х = -9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.

где a > 0, a 1, A, В, С — действительные числа, A 0, В 0.

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на log_a f(x) 0. Учитывая, что log_a f(x) log_f(x) a=1

(свойство log_b a = 1/ log_a b), получим уравнение

Замена log_a f(x)=t, t R приводит его к квадратному At 2 + Ct + B = 0.

Из уравнений log_a f(x)= t₁, log_b f(x)= t₂ найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:

f(x) > 0, f(x) 1.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 1, т.е. x >-2, x -1.

Умножим обе части уравнения на log₅ (x+2) 0, получим

или, заменив log₅ (x+2) = t, придем к квадратному уравнению

Возвращаемся к первоначальной переменной:

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

ОДЗ: x > 0, х 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Ответ:

4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.

Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению log_a f(x) = log_a g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0, a 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида

Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения

Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно log_a x.

Пример. Решить уравнение 3 2log 4 x+2 =16x 2 .

Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения

Введем новую переменную t=log_a x , t R. Решив квадратное уравнение At 2 + (B-а)t-log_a C=0, найдем его корни t₁ и t₂. Значение x найдем из уравнений t₁ = log_ax и t₂=log_ax и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.