Решение логопедических уравнений и неравенств 10 класс

Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств в 10-м классе

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств

Учебник «Алгебра и начала анализа» С. М. Никольский

повторение, обобщение и систематизация материала

формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Проверка домашнего задания (у доски)

8 х = 64
0,5 х = 0,125
10 х = 0,0001

4 х = 0,25
3 х = 5
6 х = 12

5 х 25
7 х > 49
(0,7) х > 0,49
(0,3) х > 0,027

7 2х – 9 > 7 3х – 6
1,1 5х – 3 х –1
10 х > –10

log ₂ x –3
х 4
х –3

ln x > 0
х

Работа с классом

Решить уравнения и неравенства:

lg 2 x – 5lg x + 6 = 0

3 2x – 6 = 27
4 x – 2 2 x + 5 = 0

а) .

Решение : Пусть тогда имеем . Умножим на , получим неравенство ;

Ответ: .

б) .

Решение : Пусть тогда имеем , , , , .

Решите самостоятельно: а) .

б)
Решение: а) . Пусть тогда

.

Ответ: (-1; 2).

«Решение логарифмических уравнений и неравенств» 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Методическая разработка урока «Решение логарифмических уравнений и неравенств», проведенного в форме деловой игры «Один день работы редакции газеты «Математический вестник»», позволяет выявить различные навыки и умения учащихся по теме.

В ходе занятия используются : фронтальный опрос, индивидуальная работа у доски, карточки с разно уровневыми заданиями, тесты, а так же исторические сведения по теме урока.

Данное занятие способствует совершенствованию речевой культуры; углублению знаний по математике; развитию творчества, логического мышления, вычислительных навыков; воспитанию интереса к математике; усилению прикладной ориентации курса математики.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: « Решение логарифмических уравнений и неравенств».

Назначение : 10 класс.

Тип урока : комбинированный

Цели: – отработать навыки решения логарифмических уравнений и неравенств;

– развитие логического мышления, речи, вычислительных навыков и навыков самостоятельной работы;

– воспитание интереса к математике, расширение кругозора.

Оборудование: — заготовка газеты «Математический вестник»;

— таблички с названиями отделов;

— письма в редакцию;

— компьютер, мультимедийный проектор

— учебник для 10-11 классов «Алгебра и начала анализа» Ш.А.Алимов, Ю.М.Калягин и др.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Фронтальный опрос.
4. Решение логарифмических уравнений.
5. Решение логарифмических неравенств.
6. Тестирование.
7. Историческая справка о возникновении логарифмов.
8. Подведение итогов занятия. Задание на дом.

Сегодня тема нашего занятия «Решение логарифмических уравнений и неравенств», на котором мы будем совершенствовать знания, умения и навыки по данной теме, используя свойства логарифмов, а так же свойства логарифмической функции.

А пройдет наше занятие в форме деловой игры «Один день работы редакции газеты «Математический вестник»». Я буду в роли главного редактора, а вы – члены редакции, корреспонденты.

Работу наша редакция начнет с проверки уровня вашей подготовки по данной теме, т.е. с проверки домашнего задания.

Проверка домашнего задания

К доске показать решение № 344(3) пойдет ____, а № 359(1) — _____.

Пока наши корреспонденты выполняют необходимые записи на доске, мы проверим решение двух других номеров устно.

Итак, № 344(4) комментирует с места _____.

D= 16+128=144; D>0, значит, уравнение имеет два различных действительных корня.

х 1 =- 8 и x 2 = 4. Согласуем полученное решение с ООУ.

Ответ:- 8 и 4. Все согласны с решением?

№ 359(2) комментирует с места … .

log 0,5 ; ООН: ; 2х 2 + 3 >0 для любого значения х, значит, знак дроби зависит от знака знаменателя, т. е.; x- 7> 0; х > 7; .

log 0,5 log 0,5 1; так как функция у = log 0,5 t убывающая и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то приходим к неравенству

> 0 при любом значении х, т.к. D

x-7 > 0 ; х> 7. Согласуем полученное решение с ООН.

У кого-нибудь получился другой ответ?

А теперь внимание на доску. Проверяем, как справились со своими заданиями на доске .

D = 36 + 108 = 144, D > 0, значит, квадратное уравнение имеет 2 различных действительных корня: x 1 =- 9, x 2 = — 3.

Согласуем полученное решение с ООУ: — 9 , — 3 .

log 5 ; ООН: , учитывая, что х 2 +1 > 0 при любом значении переменной х, получим 3х – 2 > 0; 3x > 2; x > , т.е x

log 5 ; так как функция у = log 5 t возрастающая, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому приходим к решению следующего неравенства: ; ; ; ; т.к. х 2 +1>0 для любого х, то получим: > 0.

=0; D = 9 – 12 = — 3, D

Неравенство > 0 решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Кто не согласен с решениями на доске № 344(3) и № 359(1)? У всех такое же решение?

Итак, вы имеете не плохую подготовку. Продолжим нашу работу.

В каждой редакции есть свои отделы, будут они и у нас.

Ваш стол будет представлять отдел писем , ваш – информационный отдел , а ваш – аналитический.

Ответственным секретарем будет – ______.

Работа в редакции требует быстрой реакции на события дня, поэтому постарайтесь быть активными.

Итогом нашей работы сегодня будет выпуск газеты « Математический вестник ». Начнем работу, корреспонденция ждет вас.

Одна из рубрик нашей газеты « Математический калейдоскоп ». На вопросы наших читателей отвечают все корреспонденты, а вот статью в газету готовит из отдела писем корреспондент … .

(с помощью мультимедийного проектора).

1. От любого ли числа можно найти логарифм?

1. Какое число может стоять в основании логарифма?

3. Функция y=log 0,8 x является возрастающей или убывающей?

4. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

5. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Какое уравнение называют логарифмическим?

9. Дайте определение логарифма.

10. Какое неравенство называют логарифмическим?

Итак, одна заметка у нас уже готова.

Решение логарифмических уравнений.

Наша работа продолжается. Слово аналитическому отделу.

Я очень люблю разгадывать кроссворды. И вот, совсем недавно, натолкнулся на вопрос, требующий умения решать логарифмические задачи, а мы еще этого в школе не изучали. Помогите мне, пожалуйста. А задача такая: найти произведение корней уравнений и .

Ученик школы № 32 Антон Л.

Как вы думаете, что нужно сделать для того, что бы помочь Антону?

Так как в задании нужно решить два уравнения, то к доске пойдут 2 человека, ну, а все остальные будут работать на местах.

Кто возьмется за решение уравнений?

Обращаю ваше внимание на то, что у вас на столах лежат задания, которые вы выполняете самостоятельно, выбирая задачи с учетом ваших возможностей, на отдельных листах и сдаете в конце занятия. (Приложение 1).

D>0, значит, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня х 1 = -2; х 2 =1.

Согласуем полученное решение с ООУ: 1 ; — 2 .

Пусть lgx = t, тогда уравнение примет вид:

D = 1 + 8 = 9, D> 0, значит, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня t 1 =1, t 2 = .

Вернемся к переменной х.

Согласуем полученное решение с ООУ: 10 , .

1 – корень данного уравнения.

и 10 – корни данного уравнения.

Уравнения решены. Осталось найти произведение корней.

Ответ: — произведение корней данных уравнений

Готова еще одна заметка в газету.

Решение логарифмических неравенств

Продолжаем нашу работу. Еще есть письма? Прочитайте.

Помогите! Вопрос жизни и смерти. От того, решу ли я неравенства, зависит моя оценка за четверть. Вот эти неравенства:

Кто хочет помочь Олесе?

Первое неравенство решает ______, а второе – ______.

так как функция у = log 0,25 t убывающая и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то приходим к неравенству:

Согласуем полученное решение с ООН.

(1; 2] – решение данного неравенства.

так как функция у = log 2 t возрастающая, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому приходим к решению следующего неравенства.

3x 2 – 9x –x – 8 >0;

3x 2 – 10x – 8 > 0;

Согласуем полученное решение с ООН.

– решение данного неравенства.

А вот с неравенствами, как 3-е вам еще не приходилось сталкиваться. Поэтому я, как главный редактор, помогу вам в его решении.

1 ≤ 0 – неверно, значит, на данном промежутке неравенство решений не имеет.

1 ≥ 0 –верно для любого х из промежутка .

Т.е. — решение данного неравенства.

У кого-нибудь есть вопросы по решению этого неравенства?

Следующий этап нашей работы – корреспондентское расследование . В жизни часто приходится сталкиваться с выбором, вот и вам нужно найти верное решение на поставленные задачи. Тестирование ( Приложение 2).

Возьмите и подпишите заготовку для ответов, как ее заполнять вы, конечно же, знаете. Итак, приступайте к выполнению теста.

Аналитический отдел, соберите тексты тестов и результаты тестирования. Проведите сортировку по вариантам и сдайте все редактору.

Историческая справка о возникновении логарифмов

Посмотрите, нет ли еще писем на ваших столах, требующих ответа. Есть? Прочитайте.

Пишет студентка 2 курса Щекинского политехнического колледжа Наташа Л.

«Что такое логарифм и как его вычислять – я знаю. Знаю свойства логарифмов и основное логарифмическое тождество, а вот история возникновения логарифмов мне неизвестна. Расскажите об этом в своей газете».

Ответить на это письмо нам поможет корреспондентка информационного отдела ___ . Историческая справка о возникновении логарифмов.(Приложение 3)

Поместите свою статью в газету.

Статью о логарифмической линейке в нашу газету подготовил корреспондент ____. Это интересно (Приложение 4).

Поместите свою статью в газету в рубрику «А знаете ли вы, что…».

Подведение итогов занятия. Задание на дом.

Корреспондентское расследование показало следующие результаты.

С тестом справились на «5 » ______ человек

На «4 » ______ человек

На «3» ______ человек

На «2 » ________ человек.

А это значит, что над решением логарифмических уравнений и неравенств нужно поработать еще. И впереди у вас новое задание – задание на дом.

Дома повторить §15 – 20 и задания № 1, №4,№5,№6 на стр.112.

Работа нашей «Редакции» завершена. В ходе работы мы не только решали логарифмические уравнения и неравенства, отвечали на вопросы, вспоминали свойства логарифмов, но и выпустили газету «Математический вестник» , в которой отражены рубрики: «Это интересно», «Из истории», «Математический калейдоскоп», «Спрашивали — отвечаем», «Помоги другу», «Познай себя».

За работу на занятии получили оценки:

Спасибо вам за работу на уроке.

1. Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002
2. Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004
4. Кузневич,С.В., Лакоценина, Т.П. Не совсем обычный урок: Практич. Пособие для учителей, студентов пед. Учеб. заведений, слушателей ИПК./ С.В. Кузневич, Т.П.Лакоценина. – Ростов -на-Д: Творческий центр «Учитель», 2001
5. Николаева, Л.С., Лесных, Л.И. Использование нетрадиционных форм занятий. Специалист. 1992., № 2.
6. Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004
7. Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Открытый урок в 11 классе «Решение логарифмических уравнений — поиск ошибок»

Открытый урок в 11классе МАОУ СОШ №2 г. Усть – Лабинска Краснодарского края по теме «Решение логарифмических уравнений – поиск ошибок»учитель высшей квалификационной категории Ряшина Н.И.

Конспект урока по алгебре в 11 классе «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе.Тема урока: « Решение логарифмических уравнений и неравенств».

Модульная программа по теме «Решение логарифмических уравнений», 11 класс

Модульная программа, состоящая из двух модулей (уроков), разработана для обучающихся 11 классов.

Конспект обобщающего урока «Логарифмическая функция. Методы решения логарифмических уравнений», алгебра 11 класс.

Урок обобщения и систематизации знаний с использованием индивидуальной, фронтальной, коллективной форм работы. Используются разноуровневые задания.Урок позволяет создать условия для развития творчески.

Логарифмы. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств

Конспект для открытого урока с презентацией.

Открытый урок 11 класс «Решение логарифмических уравнений. Нестандартные приемы решения»

Решение логарифмических уравнений.

«Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»

В презентации рассматриваются свойства логарифмов. Методы решения логарифмических уравнений. Тест на решение уравнений.

Урок алгебры и начала анализа в 10-м классе по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Разделы: Математика

Тип урока: Урок повторения и обобщения материала.

Цели урока:

Образовательная

• создать условия для определения уровня овладения знаниями и способами деятельности;
• создать условия для выработки умений самостоятельно применять знания и осуществлять перенос в новые условия (для отдельных учащихся).

Развивающая

• Создать условия для развития логических операций: сравнения, обобщения, анализа и синтеза при выполнении упражнений;
• Создать условия для развития рефлексивной, технологической, коммуникативной компетентностей;
• Для развития навыков самоконтроля и самооценки;
• Для развития математической речи при объяснении решений.

Воспитательная

• Создать условия для воспитания математической зоркости и внимания при решении задач.

Задачи урока:

• обобщить теоретические знания, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств
• организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

Формы организации познавательной деятельности:

• фронтальная,
• индивидуальная

Методы:

• личностно-деятельностно-компетентностно-ориентированный,
• поисково-творческий

Оборудование: на столах лежат конверты с карточками для организации самостоятельной работы, которые учащиеся используют на различных этапах урока. Задания для каждой группы учащихся напечатаны на карточках различных цветов: для 1-й группы — зелёные, для 2-й группы — жёлтые, для 3-й — красные.

Ход урока

I этап урока — организационный

Учитель сообщает учащимся тему урока и для каждой группы определяет основную цель:

• для 1-й группы — развить умения решать логарифмические уравнения и неравенства на базовом уровне;
• для 2-й группы — закрепить и развить умения решать логарифмические уравнения и неравенства базового и повышенного уровня сложности;
• для 3-й группы — закрепить умения решать логарифмические уравнения и неравенства повышенного уровня сложности.

II этап урока — повторение теоретического материала по теме.

Учитель. Прежде чем решать логарифмические уравнения и неравенства, необходимо вспомнить теоретический материал, на котором базируется решение логарифмических уравнений и неравенств.

Первый вопрос. Сформулируйте определение логарифма.

(Учащиеся дают определение.)

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а> 0, а 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

Учитель. Для каких значений а это определение имеет смысл?

(Учащиеся поясняют. а> 0, а 1)

Учитель. Перечислите основные свойства логарифмов.

Учащиеся перечисляют свойства логарифмов для любых положительных а, b,с, а 1, r — любое действительное число.

Учитель. Дайте определения логарифмического уравнения и неравенства.

(Учащиеся дают определение.)

Определение. Уравнения и неравенства называются логарифмическими, если они содержат переменную под знаком логарифмической функции.

Учитель. Какие из этих уравнений являются логарифмическими:

Учитель. Вспомните, какие уравнения называются равносильными.

(Учащиеся могут дать одно из определений, приведённых ниже.)

Определение. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Определение. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Учитель. Равносильны ли уравнения:

2) (х — 1)(х + 3) = 0 и х 2 + 2х — 3 = 0;

3) 5/(х + 5) = 0 и х 2 = — 7;

второе уравнение — следствие первого, так как первое

имеет корень 0,5, а второе два корня: 0,5 и — 0,5.>

Учитель. Рассмотрим уравнение вида log _af(x) = log _ag(x). Какие способы решения уравнения такого типа вы знаете?

Учащиеся могут привести два способа решения данного уравнения.

1. Переход к равносильной системе:

2. Решить уравнение f(x) = g(x) и проверить, какой из полученных корней удовлетворяют уравнению log _af(x) = log _ag(x).

Учитель. Рассмотрите и решите неравенство вида log _af(x) > log _ag(x), ссылаясь на свойства логарифмической функции.

Предполагаемые ответы учащиеся: при а> 1 неравенство равносильно системе

так как логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастающая.

Учитель обобщает прозвучавшие ответы на случай убывающей логарифмической функции.

(Учащиеся комментируют решение.)

Учитель. Не решая уравнения, ответьте на вопрос, имеет ли оно корни?

Предполагаемые ответы учащихся:

— первое уравнение не имеет решений, так как корень уравнения должен одновременно удовлетворять двум условиям:

— второе уравнение не имеет решений, так как не имеет решений уравнение 4 — х = 3 — х.

III этап урока — работа в разноуровневых группах

Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений.

1. Решите уравнение log ₂4 + 2 log ₂х = log ₂(6х + 18)

Учащиеся могут привести одно из представленных решений:

а) Используя переход к равносильной системе:

б) Выполняя проверку найденных корней уравнения: 4х 2 = 6х + 18, х = -1,5 или х = 3.

2. Решите уравнение log 2 ₂х — 3 log ₂х = 4

Решение. Пусть log ₂х = t. Тогда уравнение имеет вид t 2 — 3t = 4, отсюда t = 4 или t = -1.

Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задания (зелёная карточка № 1).

Зелёная карточка № 1

Решите уравнение (1-4).

3. lg (2х 2 — 4х + 12) = lgх + lg(х + 3).

В это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.

3. Решите уравнение lg(х + 4) + lg(2х + 3) = lg(1 — 2х).

2. Преобразуем уравнение к виду:

Так как — 1,5 2 — 1) — log ₄(х -1) 2 = log ₄│2 — х│.

(1.2+3. 2. -2; 2.)

С учащимися третьей группы учитель рассматривает следующее уравнение:

4. Решите уравнение log ₄х 2 + log ₂(х + 2) = 0

Для решения уравнений, содержащих логарифмы с разными основаниями, используется формула перехода от одного основания к другому: log _аb = log _cb/log _ca.

то уравнение примет вид:

Осталось рассмотреть два случая:

Далее учащиеся третьей группы выполняют своё задание самостоятельно (красная карточка № 1).

Красная карточка № 1

Решите уравнение

Учитель проверяет правильность выполнения заданий у учащихся первой и второй групп и если появляется необходимость, корректирует решения.

По завершении проверки со всеми учащимися класса рассматривается следующее задание.

5. Решите неравенство log _0,5(х + 1) > log _0,5(2 — х).

Решение. Функция у = log _0,5х убывает. Воспользуемся утверждением (2):

Учитель предлагает учащимся первой группы приступить к самостоятельному выполнению заданий (зелёная карточка № 2).

Зелёная карточка № 2

Решите неравенство log _0,2(3х — 5) > log _0,2(х + 1).

(5/3 2 _0,5х 2 (-х ) + lg х 2 — 3 2 ₂ х +2 log ₂х — 3 = 0.

2. Решите неравенство log ₅(2х + 1) log ₅(х — 1).

1. Решите уравнения:

2. Решите неравенство log ₈(5х — 8) 2 ;

2. Решите неравенство log 2 _0,2х — 5 log _0,2х 2 +х — 6) 2 = 4.

1. Решите уравнения

2. Решите неравенство log 2 _0,1х + 3 log _0,1х > 4.

3. Решите уравнение log _х-3(х 2 — 4х ) 2 = 4.

Красная карточка № 3

Решите неравенство 1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х) х + х + 4) = х — хlg5.

Решите уравнение log _2х+1(5+ 8х — 4х 2 ) + log _5-2х(1 + 4х + 4х 2 )= 4.

Решите неравенство 1/(lоg₅(3 — 2х)) — 1/(4 — lоg₅(3 — 2 х)) х — 25 * 20 х )- lg25 = х.

По истечении времени учащиеся сдают работы.

V этап урока — подведение итогов занятия (рефлексия)

Учитель обращает внимание учащихся на теоретические факты и типы уравнений и неравенств, которые вспомнили на уроке.

В качестве домашнего задания учащиеся обмениваются вариантами самостоятельной работы.