Решение нелинейного уравнения методом простых итераций пример

Решение нелинейного уравнения методом простых итераций пример

Nickolay.info. Обучение. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений

1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <x_n>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*| / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

X₁== 0.268;

X₂== 3.732;

Так как f / ()>0, то f / (x)>0 при , f / (x) / (x)>0 при . Кроме того, f()= 0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x₁)= 3x₁ 2 -12x₁+3=11.39; на интервале — убывает до f(x₂)= 3x₂ 2 -12x₂+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -27 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

f(1)= 9>0, f(3)= -7 / (x) 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

Метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение (3.1). Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Уравнение ( 3.1) преобразуем к эквивалентному виду x=φ(x), (3.7)

Что можно сделать всегда и притом множеством способов.

Выберем начальное приближение x0Î [a;b].

Вычислим новые приближения:

Xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерации. (3.8)

Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула — формулой итерационного процесса метода.

Если , то итерационный процесс Сходящийся .

Условие сходимости (3.9)

Точное решение x* получить невозможно, так как требуется Бесконечный Итерационный процесс.

Можно получить Приближенное Решение, прервав итерационный (3.8) при достижении условия

, (3.10)

Где ε — заданная точность; i — номер последней итерации.

В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса (3.10) обеспечивает близость значения xi к точному решению:

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.

Уравнение (3.7) представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).

Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рис. 3.7 – 3.10.

Рис. 3.7 Итерационный процесс для случая 0 1 xÎ[a, b].

Рис. 3.10 Итерационный процесс для случая £ — 1 xÎ[a, b].

Из анализа графиков следует, что скорость сходимости растет при уменьшении значения

Метод достаточно прост, обобщается на системы уравнений, устойчив к погрешности округления (она не накапливается).

При разработке алгоритма решения нелинейного уравнения методом простых итераций следует предусмотреть защиту итерационного процесса от зацикливания: использовать в качестве дополнительного условия завершения итерационного процесса превышение заданного максимального числа итераций.

Рис 3.11. Алгоритм решения нелинейного уравнения методом
простых итераций:

Основной проблемой применения метода является обеспечение сходимости итерационного процесса: нужно найти такое эквивалентное преобразование (3.1) в (3.7), чтобы обеспечивалось условие сходимости (3.9) .

Простейшие эквивалентные преобразования, например:

F(x) = 0 => x+f(x) = x, т. е. φ(x) = x + f(x)

Или выразить явно x из (3.1)

F(x) = 0 => x — φ(x) = 0 => x = φ(x)

Не гарантируют сходимость.

Рекомендуется следующий способ получения формулы Сходящегося итерационного процесса.

Пусть .

Если это не так, переписать уравнение (3.1) в виде

Умножить обе части уравнения на и к обеим частям прибавить x:

Константу l вычислить по формуле:

(3.11)

Такое значение λ гарантирует сходящийся итерационный процесс по формуле

Xi = xi+1− λ f(x) (3.12)

Где i=1,2,… — номер итерации, x0Î[a, b] – начальное приближение.

Методом простых итераций уточнить корень уравнения x3=1-2 x с точностью ε=0,001. Корень отделен ранее (см. пример 3.1), x* Î [0;1].

Сначала нужно получить формулу сходящегося итерационного процесса.

Из уравнения выразим явно x:

Проверим условия сходимости для полученной формулы:

, ,

для x Î (0;1].

Условие сходимости не соблюдается, полученная формула не позволит уточнить корень.

Воспользуемся описанным выше способом получения формулы итерационного процесса (формулы 3.11, 3.12).

, , для всех x Î [0;1].

Наибольшее значение принимает при x = 1, т. е.

Следовательно .

Формула Сходящегося итерационного процесса

Уточним корень с помощью данной формулы.

Выберем начальное приближение на [0;1], например x0=0,5 (середина отрезка).

Вычислим первое приближение

Проверим условие завершения итерационного процесса

Расчет следует продолжить.

X6 = 0,453917 − ответ, т. к.

Проверим полученное значение, подставив в исходное уравнение:

Значение f(x) близко к 0 с точностью, близкой к ε, следовательно, корень уточнен правильно.

Привет студент

Метод простых итераций

Отчет по лабораторной работе

Метод простых итераций

Содержание

2 Краткие теоретические сведения………………………………………………..4

2.2 Метод простых итераций………………………………………………..6

4 Список использованной литературы…………………………………………..15

1 Постановка задачи

Пусть функция f(x)=0 монотонная на отрезке [a,b], причем выполнено условие: f(a)*f(b) 3 -0,1x 2 +0,4x-1,5=0,

используя метод простых итераций.

2 Краткие теоретические сведения

2.1 Метод Ньютона

Если известно начальное приближение к корню уравнения f(x)=0, то эффективным методом уточнения корней является метод Ньютона (метод касательных).

Пусть функция f(x) имеет первую и вторую производную на отрезке [a,b], причем выполнено условие знакопеременности функции f(a)*f(b) 0, можно построить итерационную последовательность

сходящуюся к единственному на [a,b] решению x уравнения f(x)=0.

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню принимаются значения x0,x1,x2. точек пересечения касательной к кривой y=f(x) с осью абсцисс. То есть, геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y=f(x) касательной. При этом не обязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х=х0 (рисунок 1).

Рисунок 1 –Метод касательных

В качестве начального приближения выберем х0=a, для которого выполняется условие f(x0)* f’І(x0)>0. Проведем касательную в точке A0[x0,f(x0)]. Первым приближением корня будет точка пересечения этой касательной с осью абсцисс х1. Через точку A1[x1,f(x1)] снова проводим касательную, точка пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д.

На рисунке 2 приведены возможные варианты выбора правого или левого конца отрезка в качестве начального приближения.

Условие выбора: f(x)*f »(x)>0.

Рисунок 2 – Выбор отрезка

Вывод формулы Ньютона.

Уравнение касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке А0[x0,f(x0)], имеет вид:

Отсюда найдем следующее приближение корня. Примем х=х1 (y=0), тогда

-f (x0) = f ‘ (x0) (x1-x0),

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения, как точки пересечения с осью ОХ касательных, проведенных в точках А1, А2 и т.д. Формула Ньютона для n+1-го приближения будет иметь вид: .

Для окончания итерационного процесса может быть использовано условие: .

2.1 Метод простых итераций

Одним из наиболее важных численных методов решения нелинейных уравнений является метод итераций. Сущность метода заключается в следующем.

Пусть функция f(x) монотонная на отрезке [a,b], причем выполнено условие: f(a)*f(b) l (x)| l (x)>0 (а, б) и при φ l (x) l (x). Чем меньше |φ l (x)| вблизи корня, тем быстрее сходится процесс

Итерационные процессы могут быть односторонними, если φ l (x)>0 и двусторонними, если φ l (x) e, где q=0,052. Если условие выполняется x0:=x и снова считаем значение функции. Если не выполняется – выходим из цикла.

Шаг 4: Выводим полученный результат.

Шаг 5: Конец задачи.

3.2 Блок схема

3.3 Текст программы

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,