Системы с нелинейными уравнениями
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными |
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное |
Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными |
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное |
Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное |
Примеры решения систем уравнений других видов |
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.
Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:
z = f (x , y) , | (1) |
причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .
Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида
f (x , y) = 0 , | (2) |
где f (x , y) – любая функция, отличная от функции
где a , b , c – заданные числа.
Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.
Пример 1 . Решить уравнение
x 2 – 4xy + 6y 2 – – 12 y +18 = 0 . | (3) |
Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):
Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде
(x – 2y) 2 + 2(y – 3) 2 = 0 . | (4) |
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений
решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .
Пример 2 . Решить уравнение
sin (xy) = 2 . | (5) |
вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.
Ответ : Решений нет.
Пример 3 . Решить уравнение
ln (x – y) = 0 . | (6) |
Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида
где y – любое число.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное
Определение 4 . Решением системы уравнений
называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .
Пример 4 . Решить систему уравнений
(7) |
Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел
и
Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)
Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными
Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида
где a , b , c – заданные числа.
Пример 5 . Решить уравнение
3x 2 – 8xy + 5y 2 = 0 . | (8) |
Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле
откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):
Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида
( y ; y) или
где y – любое число.
Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .
Пример 6 . Решить систему уравнений
(9) |
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
корнями которого служат числа y1 = 2 , y2 = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .
,
из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
которое корней не имеет.
Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)
Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное
Пример 7 . Решить систему уравнений
(10) |
Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:
- второе уравнение системы оставим без изменений;
- к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).
В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:
(11) |
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
которое корней не имеет.
,
из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
,
корнями которого служат числа y1 = 3 , y2 = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .
Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)
Примеры решения систем уравнений других видов
Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)
Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:
(13) |
Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что
(14) |
Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему
из которой находим
(15) |
Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде
(16) |
У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:
Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел
Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u2 = 5, v2 = 2 из формул (15) находим значения x и y :
Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.
Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными
(17) |
Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:
(18) |
Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .
Ответ : (4 ; 4 ; – 4)
Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».
урок по теме»Решение нелинейных систем уравнений с 2 переменными»
план-конспект урока (алгебра, 11 класс) на тему
обобщающий урок по теме»Решение нелинейных систем уравнений с 2 переменными» для 11 класса
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
moy_urok_na_25.02.doc | 131 КБ |
prilozhenie_k_uroku.docx | 15.57 КБ |
Предварительный просмотр:
ТЕМА УРОКА: «РЕШНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ»
Образовательные: закрепить изученный материал, совершенствовать умения применять способы решения систем уравнений при решении примеров, применять свойства функций.
Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы переноса знаний в новую ситуацию, развитию мышления и речи, внимания и памяти;
Воспитательная: содействие воспитанию активности, аккуратности и внимательности, развитие навыков самоорганизации и самоконтроля, самостоятельности.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: доска, индивидуальные карточки
Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, коллективная.
Литература : Дидактические материалы по алгебре и началам анализа» Б.Г. Зив, В.А. Гольдич, сборник заданий для подготовки письменного экзамена за курс средней школы, ЕГЭ (актив-тренинг) под редакцией А.Л.Семенова, И.В. Ященко, интернет-ресурс «Решу ЕГЭ»
II. Устная работа
Вопросы – задания.
На которые ученик отвечает «да» или «нет»
1. Логарифмическая функция y=log а x определена при любом х.(0)
2.Область значений логарифмической функции является множество действительных чисел.(1)
3.Область определения всех тригонометрических функций является множество действительных чисел (1)
4.Областью значения фунций у=cosx; y=sinx является отрезок [-1;1] (1)
5.Областью значений функции у=а х является множество действительных чисел (0)
6.Область определения функций у= tgx, где x= (0)
11.Графики тригонометрических функций имеют наименьший период Т=2πк(0)
12.Областью определения степенной функции является множество положительных чисел (1)
13.График четной функции симметричен относительно Ох.(0)
14.График нечетной функции всегда находится в I и Ш четвертях.(0)
15.График логарифмической функции всегда пересекает ось Ох в точке (1;0).(1)
В это время 5 сильных учеников решают по карточкам.
Вспомним основные методы решения систем уравнений.
- Метод подстановки.
- Метод алгебраического сложения уравнений .
- Метод замены переменных .
- Метод разложения на множители
- Графическое решение систем уравнений.
Вспомним основные графики через решения систем (решения задач по карточкам)
Пример 1. Решите систему уравнений
х 2 +у 2 =2,5ху
х+у=0,25ху (для более сильных учащихся)
Решение. Из второго уравнения находим: . Подставляя это значение в первое уравнение, получаем: , или после упрощения . Корнями этого уравнения являются числа , . Таким образом, получаем совокупность двух систем уравнений:
Первая система имеет решения , а вторая . Значит, данная система имеет решения: .
2. Метод алгебраического сложения уравнений .
Пример 2. Решите систему уравнений:
Решение. Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Поэтому будем рассуждать иначе: прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем систему: т.е.
Равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:
Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:
Первая система имеет решение , а вторая . Значит, решение данной системы имеет вид: .
3. Метод замены переменных .
Пример 3. Решите систему уравнений:
Решение. пусть u= , v= , тогда получим более простую систему равносильную исходной. Решив полученную систему, будем иметь: . Перейдем к переменным х и y , и решим совокупность двух систем уравнений:
4. Метод разложения на множители :
Пример 4. Решите систему уравнений:
Решение. Второе уравнение системы представим в виде: . Тогда данная система будет равносильна совокупности двух систем, решаемых методом подстановки.
- или , значит и решением первой системы будет .
- или , значит и решением второй системы будет Ответ: .
5. Графическое решение систем уравнений.
Пример 5. Решите несколькими способами систему уравнений:
Решение. Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение — парабола, это уравнение можно переписать в виде: . Вершиной этой параболы является точка (0; 6), ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось Ох в точках (6; 0); (-6; 0). Построим графики указанных линий и найдем их точки пересечения.
Из чертежа видно, что линии пересекаются трижды и точками пересечения являются А (-6; 0); В (0; 6); С (6; 0).
Рассмотрим примеры решения систем уравнений, содержащих тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения .
Пример 6. Решить систему уравнений:
Решение. Преобразуем первое уравнение данной системы с помощью соответствующих формул к виду , складывая и вычитая уравнения полученной системы перейдем к системе тригонометрических уравнений вида
или . Из полученной системы находим
Пример 7. Решить систему уравнений:
Решение. Заменим данную систему на равносильную ей, воспользовавшись свойствами степеней: . Обозначим ; . Система примет вид: Решив её методом подстановки, получим и = 1, v = 2, т.к. полученные значения удовлетворяют условиям ; , перейдем к системе
, откуда получаем х = 0, y = 1. Ответ: .
Пример 8. Решить систему уравнений: .
Решение. ОДЗ:
Переходя к логарифмам по основанию 3, получаем систему, равносильную исходной:
Так как уравнение равносильно совокупности двух систем, то и полученная система равносильна совокупности двух систем:
1) Так как х = -6 не входит в ОДЗ, то решение первой системы является только пара (1; 1).
2) Так как х = 3 не входит в OДЗ, то решением является пара (2; 4). Ответ: <(1; 1); (2; 4)>.
Пример 9. Найти все а, при которых система имеет 2 решения.
Найти все параметры а, при которых система (|x|-4) 2 +(y-4) 2 =9
(x+1) 2 +y 2 =a 2 имеет 3 решения
Решение. ОДЗ: х >0 данная система уравнений равносильна системе . Полученная система уравнений имеет 2 решения тогда и только тогда, когда уравнений (2) системы имеет два положительных корня. Исследуем уравнение (2)
Так как по теореме Виета , то указанные условия будут иметь место, если имеет решение следующая система двух неравенств
Пример 10. Пусть — решение системы . Найдите разность .
Решение. Из условия задачи следует, . Кроме того , т.к. . Следовательно, данная система равносильна системе
так как второе уравнение полученной системы равносильно совокупности двух уравнений, то и полученная система равносильна совокупности двух систем уравнений
1) 2) так как y = -1 не удовлетворяет условию , то вторая пара чисел не является решением.
Рассмотрим пример системы с неизвестным под знаком модуля.
Пример 11 . Решить систему уравнений:
Решение. Множество допустимых значений х , y можно определить из условий
. Данная система в ОДЗ равносильна системе или . Полученная система в ОДЗ переменных х и y равносильна совокупности двух систем и .
Решая методом подстановки каждую из систем, получаем, что первая не имеет действительных корней, а решением второй системы является множество двух пар чисел
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №43.Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- уравнение и неравенство, способы их решения;
- система уравнений, система неравенств;
- изображение в координатной плоскости множество решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств и нахождение площади получившейся фигуры;
Глоссарий по теме
Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.
Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.
Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.
Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.
Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сегодня на уроке мы вспомним нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое нелинейным уравнением и неравенством.
1.Линейные уравнения с двумя переменными.
Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.
Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.
Например, нелинейные уравнения с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением, в котором правая часть будет нулем, а левая многочленом стандартного вида:
Нелинейные уравнения с двумя переменными изображаются на координатной плоскости различными фигурами, каждое уравнение нужно рассматривать индивидуально.
Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:
Уравнение запишем в виде (х-у)(х+у) = 0, значит либо х-у=0, либо х
+у=0. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – пара пересекающихся прямых.
Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:
Сумма неотрицательных слагаемых равна 0 только в одном случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0.
Это уравнение имеет единственное решение: х=2; у=-3. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – точка (2;-3).
Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А(а;b), М(х;у) – произвольная точка этой плоскости, R- расстояние от точки М до точки А. Тогда , где R>0. Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке А(а;b).
Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.
Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля:
Если то х+у=2 Множество решений этого уравнения часть прямой (отрезок АВ), где А(2;0), В(0;2)
Аналогично строятся отрезки в трех оставшихся координатных углах. (рисунок 1)
Рисунок 1 – графика
2.Нелинейные неравенства с двумя переменными.
Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.
Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.
Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.
Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.
- Некоторые из таких неравенств можно привести к виду у f(x), а нижняя – графиком неравенства у 0 удовлетворяют все те точки, которые находятся от точки А на расстоянии меньшем R, те все точки и только они, расположенные внутри окружности с радиусом R и центром в точке А(а;b). Аналогично, множество решений неравенства есть множество точек , лежащих вне окружности.
Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства .
- Начертим график уравнения . Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.
- Искомое множество решения неравенства – множество точек, лежащих на окружности и внутри окружности с центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.
3. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.
Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.
Все системы уравнений, которые не являются линейными называются нелинейными.
Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.
Решить систему – значит найти множество ее решений.
Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точек пересечения.
Например.
Решить систему уравнений
Первое уравнение системы задает параболу, второе – окружность с центром (-1;3) и радиусом . Окружность и парабола имеют две общие точки (0;1) (-1,3;5,3). Координаты второй точки приближенные (рисунок 2).
Рисунок 2 – решение системы
4. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными.
Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.
Рассмотрим систему нелинейных неравенств с двумя переменными на примере:
Изобразить на координатной плоскости Оху фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь фигуры:
Неравенство заменим равносильной системой которая задает множество точек, лежащих на полуокружности и вне ее. А неравенство заменим равносильной совокупностью систем или (рисунок 3)
Рисунок 3 – решение системы
- Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению .(рисунок 4)
График уравнения х^2 можно получить из окружности сжатием к оси х в 2 раза.
Рисунок 4 – график уравнения
Заметим, что фигуру, которая получается сжатием окружности к одному из ее диаметров, называют эллипсом.
- Уравнение вида — уравнение ромба , где точка (a;b) точка пересечения диагоналей; диагонали ромба соответственно равны .
Рассмотрим частный случай:
Если k=m, то диагонали ромба будут равны, значит заданная фигура – квадрат.
Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля
Графиком данного уравнения является парабола, показанная на рисунке.(рисунок 5)
Рисунок 5 – график
Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства (рисунок 6)
Начертим график уравнения . Графиком данного уравнения является парабола. Нижняя из образовавшихся областей является графиком неравенства
Проверим себя: Например, пара (0;0) является решением неравенства , и принадлежит нижней из образовавшихся областей, значит графиком неравенства 2х+3у Назад Вперёд
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/03/31/urok-po-temereshenie-nelineynykh-sistem-uravneniy-s-2-peremennymi
http://resh.edu.ru/subject/lesson/6123/conspect/