Решение нелинейных уравнений в scilab

Решение нелинейных уравнений в scilab

—>p2^(-1) //Возведение в отрицательную степень

Функция roots ( p ) предназначена для решения алгебраического уравнения.

Здесь p — это полином, созданный функцией poly и представляющий собой левую часть уравнения P(x) = 0.

Решим несколько алгебраических уравнений.

Задача 7.1 . Найти корни полинома 2x 4 − 8x 3 + 8x 2 − 1 = 0.

Для решения этой задачи необходимо задать полином p . Сделаем это при помощи функции poly, предварительно определив вектор коэффициентов V . В уравнении отсутствует переменная x в первой степени, это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю:

Листинг 7.4 . Формирование полинома

1 + 8x 2 — 8x 3 + 2x 4

Теперь найдем корни полинома:

Листинг 7.5. Использование функции roots

Графическое решение задачи позволяет убедиться, что корни найдены верно.

Пересечение графиков функций F( x )= 1 + 8x 2 — 8x 3 + 2x 4 и g ( x )=0

Задача 7.2. Найти корни полинома x 3 + 0.4x 2 + 0.6x − 1 = 0.

Листинг 7.6. Решение задачи 7.2

Нетрудно заметить, что полином имеет один действительный и два комплексных корня.

Задача 7.3. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x 4 − 18x 2 + 6.

Листинг 7.7. Решение задачи 7.3

Приведите графическое решение данного уравнения.

Уравнение f(x) = 0, в котором неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением .

К трансцендентным уравнениям принадлежат показательные, логарифмические и тригонометрические.

В общем случае аналитическое решение уравнения f(x) = 0 можно найти только для узкого класса функций. Чаще всего приходится решать это уравнение численными методами.

Численное решение нелинейного уравнения проводят в два этапа.

1. В начале отделяют корни уравнения, т.е. находят достаточно тесные промежутки, в которых содержится только один корень. Эти промежутки называют интервалами изоляции корня , определить их можно, изобразив график функции f(x) или любым другим методом.
2. На втором этапе проводят уточнение отделенных корней, или, иначе говоря, находят корни с заданной точностью.

Для решения трансцендентных уравнений в Scilab применяют функцию

где x0 — начальное приближение, f — функция, описывающая левую часть уравнения y(x) = 0.

Рассмотрим применение этой функции на примерах.

Задача 7.4. Найти решение уравнения

Определим интервал изоляции корня заданного уравнения. Воспользуемся графическим методом отделения корней. Если выражение, стоящее в правой части уравнения, представить в виде разности двух функций f (x) − g(x) = 0 , то абсцисса точки пересечения линий f(x) и g(x) — корень данного уравнения. В нашем случае .

Корень данного уравнения лежит в интервале [0; 1].

Выберем ноль в качестве начального приближения, зададим функцию, описывающую уравнение и решим его:

Листинг 7.8. Решение задачи 7.4

Задача 7.5. Найти корни уравнения f(x) = e x /5 − 2(x − 1) 2 .

На рисунке видно, что график функции f(x) трижды пересекает ось абсцисс, т.е. уравнение имеет три корня.

Последовательно вызывая функцию fsolve с различными начальными приближениями, получим все решения заданного уравнения:

Листинг 7.9. Решение задачи 7.5

Кроме того, начальные приближения можно задать в виде вектора, и тогда функцию можно вызвать один раз:

Листинг 7.10. Решение задачи 7.5 (альтернативный способ)

Задача 7.6. Вычислить корни уравнения sin(x) − 0.4x = 0 в диапазоне [−5π; 5π].

Решение задачи представлено в листинге 7.11.

Листинг 7.11 . Решение задачи 7.6

—>X //Множество решений

X = !-16.11948 -12.154854 -9.8362948 -5.8716685 -3.5531095

0.4115168 2.7300758 6.6947022 9.0132611 12.977887 15.296446!

Задача 7.7. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x 5 − x 3 + 1.

Вычисление интегралов, решение уравнений и систем

Краткие теоретические сведения

В Scilab вычисление определенного интеграла методом трапеций реализовано функцией

где x –вектор значений аргумента подынтегральной функции на отрезке интегрирования, y –вектор значений, полученных при вычислении подынтегральной функции для элементов вектора x.

Например, для вычисления нужно выполнить следующий набор команд:

Для вычисления определенного интеграла с использованием алгоритма квадратурных формул предназначена функция

Integrate(fun, x, a, b, ,er1 ,er2),

где fun– подынтегральная функция в символьном виде, x – переменная интегрирования в символьном виде, a, b –пределы интегрирования, er1,er2 –абсолютная и относительная погрешности интегрирования (необязательные параметры).

Например, для вычисления нужно задать:

Универсальная команда интегрирования:

[integral,err]=intg(a, b, name ,er1,er2),

где a, b –пределы интегрирования, name – имя подынтегральной функции (может быть задана с помощью внешней функции), er1,er2 –абсолютная и относительная погрешности интегрирования (необязательные параметры). Функция intgвозвращает значение интеграла (integral) и погрешность вычислений (err).

Внешнюю функцию можно задать командой

deff(‘переменная=имя функции(параметр)’, ‘символьное представление функции’) Например, deff(‘y=F(x)’, ‘y=2*x./(sin(x)+1.5)’).или

function переменная = имя функции(параметр-аргумент функции)

операторы, вычисляющие значение функции

endfunctionНапример, function y=f(t) y=t^2/sqrt(3+sin(t)) endfunctionилиfunction y=f(t),y=t^2/sqrt(3+sin(t)),endfunction

Ниже приводится пример вычисления интеграла .

Для решения нелинейных уравнений в Scilab используется функция

где x0 –начальное приближение корня, f– функция, описывающая левую часть уравнения f(x)=0.

Например, для решения уравнения для начального приближения нужно выполнить следующие команды:

Для решения полиномиальных уравнений вида используется функция

где а – вектор коэффициентов перед неизвестными полинома размерностью n+1(n – порядок полинома).

Результатом работы этой функции будет вектор корней полинома размерностью n.

Пример решения полиномиального уравнения приведен ниже.

Для уравнения два корня – комплексные.

Функция rootsможет также принимать в качестве параметра полином, созданный функциейpolyи представляющий собой левую часть уравнения :

где a –вектор коэффициентов полинома записанных в обратном порядке, x — символьная переменная, f1– символьная переменная, принимающая значения ‘c’ или ‘r’ (roots или coeff).

Например, чтобы создать полином , нужно использовать команду

Фрагмент программы p=poly([3 -2 1 0 4],’x’,’c’)disp(p)

Результат

Для решения уравнения можно выполнить следующие команды:

Для решения систем линейных уравнений в Scilab есть следующие способы:

— применение операции левого матричного деления;

— использование обратной матрицы.

Если задана система линейных алгебраических уравнений вида:

где А – матрица коэффициентов перед неизвестными системы, В – вектор свободных членов, то решение системы может быть найдено в виде:

То же самое решение может быть получено с помощью обратной матрицы, например:

Например, решить систему уравнений

Для решения систем нелинейных уравнений можно использовать функцию

где x0 –вектор начальных приближений для неизвестных, f –функция, определяющая систему

Например, решение системы можно выполнить следующим образом:

Задание 1. Вычисление определенного интеграла

Постановка задачи. Вычислить числовое значение интеграла от этой функции в заданных пределах интегрирования методом трапеций, методом квадратурных формул и с помощью функции intg.

Шаг 1. Создадим вектор X, значения которого будут изменяться от 2,1 до 4,3 с шагом 0.01.

Шаг 2. Создадим вектор Y, каждое значение которого вычисляется по формуле .

Шаг 3. Применим команду inttrap(X, Y).

Шаг 4. Используем функцию integrate,задав подынтегральную функцию в символьном виде.

Шаг 5. Определим внешнюю функцию с помощью команды deffили конструкции function

Шаг 6. Выведем результаты, используя команду disp.

Индивидуальные задания приведены в таблице 3.4.

Задание 2. Поиск корней уравнения, графическая интерпретация

Постановка задачи. Найти корень уравнения для заданного начального приближения. Выполнить графическую интерпретацию результата.

Шаг 1. Определим внешнюю функцию с помощью команды deffили конструкции function

Шаг 2. Найдем корень уравнения с помощью функции fsolve,подставив в качестве первого параметра заданное начальное приближение.

Шаг 3. Выведем результат, используя команду disp.

Шаг 4. Выполним графическую интерпретацию результата. Для этого зададим аргумент функции из левой части уравнения таким образом, чтобы найденный корень попадал в диапазон между первым и последним элементом вектора. Построим график функции из левой части уравнения с помощью plot.Построим также линию y=0 и отметим точку с абсциссой, равной корню, и ординатой, равной значению функции для корня.

Программа	Результат выполнения
deff(‘y=F(x)’, …’y=sin(x)-cos(x.^2)-sin(2*x)’)root=fsolve(1,F)disp(root)x=0.5:0.01:2.5plot(x,F(x),’-b’,root,F(root),’xr’,x,0,’-k’)	1.1695683

Индивидуальные задания приведены в таблице 3.5

Вариант	Уравнение	Начальноеприближение
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Задание 3. Поиск корней полиномиального уравнения, графическая интерпретация

Постановка задачи. Найти все корни полиномиального уравнения. Выполнить графическую интерпретацию для одного из найденных действительных корней.

Шаг 1. Создадим вектор коэффициентов полинома в левой части уравнения (или полином с помощью poly)

Шаг 2. Найдем корни уравнения с помощью функции roots.

Шаг 3. Выведем результат, используя команду disp.

Шаг 4. Выполним графическую интерпретацию результата. Для этого зададим аргумент функции из левой части уравнения таким образом, чтобы выбранный действительный корень попадал в диапазон между первым и последним элементом вектора. Построим график функции из левой части уравнения с помощью plot.Построим также линию y=0 и отметим точку с абсциссой, равной корню, и ординатой, равной значению функции для корня.

Программа	Результат выполнения
v=[2 0 4 -6 -3]R=roots(v)disp(R)root=R(3)x=0.5:0.01:2y=2*x.^4+4*x.^2-6*x-3F_root=2*root^4+4*root^2-6*root-3plot(x,y,’-b’,root,F_root,’xr’,x,0,’-k’)	— 0.4129576 + 1.7282075i — 0.4129576 — 1.7282075i 1.2164706 — 0.3905555

Индивидуальные задания приведены в таблице 3.6.

Вариант	Уравнение
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Задание 4. Решение системы линейных уравнений

Постановка задачи. Решить систему линейных уравнений.

Шаг 1. Создадим матрицу коэффициентов при неизвестных

Шаг 2. Создадим вектор свободных членов.

Шаг 3. Умножим матрицу, обратную к матрице коэффициентов, на вектор свободных членов (или применим операцию левого матричного деления).

Шаг 4. Выведем результат, используя команду disp.

Индивидуальные задания приведены в таблице 3.7.

№	Система уравнений	№	Система уравнений
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.

Статьи к прочтению:

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений — bezbotvy

Похожие статьи:

Приближенное вычисление интегралов Приближённое вычисление определённого интеграла основано на геометрическом смысле интеграла и сводится к приближённому…

Задание: графически и численно решить систему нелинейных алгебраических уравнений, на примере поиска точек пересечения двух функций. Исходные данные:…

6. Нелинейные уравнения и системы в SCILAB

Тимур Лунин 5 лет назад Просмотров:

1 Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Нелинейные уравнения и системы в SCILAB Нелинейные уравнения и системы в SCILAB Если нелинейное уравнение достаточно сложное, то отыскание его корней процесс нетривиальный. Рассмотрим, какими средствами обладает Scilab для решения этой задачи Решение нелинейных уравнений В общем случае аналитическое решение уравнения f(x)=0 можно найти только для узкого класса функций. Чаще всего приходится решать это уравнение численными методами. Численное решение уравнения проводят в два этапа: отделяют корни уравнения, т.е. находят достаточно тесные промежутки, в которых содержится только один корень, эти промежутки называют интервалами изоляции корня, определить их можно, изобразив график функции или любым другим методом основанным на том, что непрерывная функции f(x) имеет на интервале [a,b] хотя бы один корень, если она поменяла знак f(a) f(b) 2 Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Нелинейные уравнения и системы в SCILAB. 2 полинома f с коэффициентом 3. —>p=poly(3,’x’,’r’); —>f=poly(3,’x’,’c’); —>p p = x —>f f = 3 Листинг 6.1. На листинге 6.2 приведены примеры создания более сложных полиномов. —>poly([1 0 2],’x’) 2 3 2x — 3x + x —>poly([1 0 2],’x’,’c’) x —>poly([-2 2],’x’) x Листинг 6.2 Листинг 6.3 содержит примеры операций с полиномами. —>p1=poly(1,’x’,’c’) p1 = 1-2x —>p2=poly(3,’x’,’c’) p2 = 3-2x —>p1/p2 1-2x x —>p1*p x + 4x Листинг 6.3 Решим несколько алгебраических уравнений. ЗАДАЧА 6.1. Найти корни полинома 2x 4 8x 3 +8x 2 1=0. Для решения этой задачи необходимо задать полином р. Сделаем это при помощи функции poly, предварительно определив вектор коэффициентов V. Обратите внимание, что в уравнении отсутствует переменная x в первой степени, это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю. Отыскание корней полинома при помощи функции roots(p) приведено в листинге 6.4. Графическое решение, показанное на рис. 6.1 позволяет убедится,

3 Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Нелинейные уравнения и системы в SCILAB. 3 что корни найдены верно. —>V=[ ]; —>p=poly(v,’x’,’c’) p = x — 8x + 2x —>X=roots(p) X =! !! !! !! ! Листинг 6.4 Рис График функции y=2x 4 8x 3 +8x 2 1 ЗАДАЧА 6.2. Найти корни полинома x x x 1=0. Решение этой задачи аналогично решению предыдущей. Разница заключается в способе вызова необходимых для этого функций. Не трудно заметить (листинг 6.5), что полином имеет один действительный и два комплексных корня, в отличии от полинома из задачи 6.1, в котором все корни действительные. Рис. 6.2 подтверждает это. —>roots(poly([ ],’x’,’c’))! !! i!! i! Листинг 6.5 ЗАДАЧА 6.3. Найти решение уравнения y(x)=0, если y(x)=x 4 18x Листинг 6.6 демонстрирует решение этой задачи. Обратите внимание на способ определения полинома.

4 Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Нелинейные уравнения и системы в SCILAB. 4 Рис. 6.2.График функции y= x x x 1 —>x=poly(0,’x’); —>y=x^4-18*x^2+.6; —>roots(y)! !! !! !! ! Листинг 6.6 В Scilab существует функция fsolve(x0,f), которую так же можно применить для решения алгебраических уравнений. Подробно эта функция будет описана далее, так как ее можно использовать для решения нелинейных уравнений, отличных от алгебраических, и для решения систем линейных и нелинейных уравнений. ЗАДАЧА 6.4. Найти решение уравнения y(x)=0, если y(x)=x 5 x Решим эту задачу при помощи функции fsolve(x0,f), где x0 начальное приближение, f функция, описывающая левую часть уравнения y(x)=0. Листинг 6.7 содержит ход решения задачи. В первой строке происходит определение функции y(x) в виде исходного полинома. Во второй, вызывается команда fsolve(-2,y), для отыскания корней функции y. В качестве начального приближения задано число 2, так как не трудно определить (рис. 6.3), что полином имеет единственный действительный корень, в интервале от 2 до 1. —>deff(‘[f]=y(x)’,’f=x^5-x^3+1′) —>X=fsolve(-2,y) X = Листинг 6.7

5 Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Нелинейные уравнения и системы в SCILAB. 5 Рис. 6.3.График функции y(x)=x 5 x 3 +1= x x x 1 Заметим, что заданное уравнение, кроме действительно корня, имеет и мнимые. Для отыскания всех корней полинома используйте функцию roots (листинг 6.8). —>roots(poly([ ],’x’,’c’))! i!! i!! i!! i!! ! Листинг 6.8 Далее будет рассмотрено применение функции fsolve для решения неалгебраических уравнений Трансцендентные уравнения Уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением. К трансцендентным уравнениям принадлежат показательные, логарифмические, тригонометрические. Рассмотрим применение функции fsolve для решения трансцендентных уравнений. ЗАДАЧА 6.5. Найти решение уравнения: ( x 1) x = 0. Выражение, стоящее в правой части уравнения можно представить в виде разности двух функций f(x) g(x)=0, где f ( x) = ( x 1), g ( x) = x. Тогда решение задачи будет выглядеть, так как показано в листинге 6.9. В качестве приближенного корня был выбран ноль, т.к. на рис. 6.4 видно, абсцисса точки пересечения линий f(x) и g(x) лежит в интервале [0;1].

6 Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Нелинейные уравнения и системы в SCILAB. 6 —>deff(‘[y]=f1(x)’,’y1=((x-1)^2)^(1/3),y2=(x^2)^(1/3),y=y1-y2′) —>fsolve(0,f1) 0.5 Листинг 6.9 Рис График функций f ( x) = ( x 1) и g ( x) = x Рис ЗАДАЧА 6.6. Найти корни уравнения f(x)=e x /5 2(x-1) 2. Рис. 6.5: График функции f(x)=e x /5 2(x-1) 2 На рис видно, что график функции f(x) трижды пересекает ось абсцисс, то есть уравнение имеет три корня. Последовательно вызывая функцию fsolve с различными начальными приближениями, так как показано в листинге 6.10, получим все решения заданного уравнения. —>deff(‘[y]=f(x)’,’y=exp(x)/5-2*(x-1)^2′) —>x(1)=fsolve(0,f); —>x(2)=fsolve(2,f); —>x(3)=fsolve(5,f);

7 Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Нелинейные уравнения и системы в SCILAB. 7 —>x x =! !! !! ! Листинг 6.10 Кроме того, начальные приближения можно задать в виде вектора и тогда функцию можно вызвать один раз (листинг 6.11). —>fsolve([0;2;5],f)! !! !! ! Листинг 6.11 ЗАДАЧА 6.7. Вычислить корни уравнения sin(x) 0.4x=0 в диапазоне [ 5π;5π]. Решение задачи приведено в листинге >deff(‘[y]=fff(x)’,’y=-0.4+sin(x)’) —>V=[-5*%pi:%pi:5*%pi]; —>X=fsolve(V,fff); —>X X =! ! Листинг Системы уравнений Если заданы m уравнений с n неизвестными и требуется найти последовательность из n чисел, которые одновременно удовлетворяют каждому из m уравнений, то говорят о системе уравнений. Для решения систем уравнений в Scilab так же применяют функцию fsolve(x0,f). ЗАДАЧА 6.8. Решить систему уравнений: . Графическое решение системы (рис. 6.6) показывает, что она имеет две пары корней. Окружность и гипербола пересекаются в точках [0.8;0.6] и [-0.8;-0.6]. Эти значения приблизительны. Для того чтобы уточнить их, применим функцию fsolve, предварительно определив систему с помощью файл функции (листинг 6.13). function [y]=fun(x) y(1)=x(1)^2+x(2)^2-1; y(2)=x(1)^3-x(2); endfunction —>exec(‘c:\program Files\scilab-4.0-rc1\bin\fun.sce’); disp(‘exec done’); exec done —>fsolve([ ],fun)

8 Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Нелинейные уравнения и системы в SCILAB. 8 —>fsolve([ ],fun) Листинг 6.13 Рис Графики функции x 2 +y 2 =1 и x 3 y=0. ЗАДАЧА 6.9. В данной задаче исследуется система из трех нелинейных уравнений с тремя неизвестными (листинг 6.13). function [y]=fun(x) y(1)=x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-1 y(2)=2*x(1)^2+x(2)^2-4*x(3) y(3)=3*x(1)^2-4*x(2)+x(3)^2 endfunction —>exec(‘d:\scilab 3\fun’);disp(‘exec done’);//вызов функции exec done —>fsolve([ ],fun)//решение системы! ! Листинг 6.14