Решение неоднородного уравнения параболического типа

Курсовая работа: Решение параболических уравнений

Реферат

В курсовой работе рассматривается метод сеток решения параболических уравнений. Теоретическая часть включает описание общих принципов метода, его применение к решению параболических уравнений, исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. В практической части разрабатывается программа для численного решения поставленной задачи. В приложении представлен текст программы и результаты выполнения тестовых расчетов.

Объем курсовой работы: 33 с.

Ключевые слова: параболическое уравнение, уравнение теплопроводности, метод сеток, краевая задача, конечные разности.

1. Теоретическая часть

1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа

1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравненийпараболического типа

1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток

1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы

2. Реализация метода

2.1 Разработка программного модуля

2.2 Описание логики программного модуля

2.3 Пример работы программы

К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.

Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка параболического типа, когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция зависит от двух переменных. В общем случае такое уравнение записывается следующим образом:

.

Заметим, что численными методами приходится решать и нелинейные уравнения, но находить их решение много труднее, чем решение линейных уравнений.

введем в рассмотрение величину . В том случае, когда уравнение называется параболическим. В случае, когда величина не сохраняет знак, имеем смешанный тип дифференциального уравнения. Следует отметить, что в дифференциальном уравнении все функции являются известными, и они определены в области , в которой мы ищем решение.

1. Теоретическая часть

1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа

Для решения дифференциальных уравнений параболического типа существует несколько методов их численного решения на ЭВМ, однако особое положение занимает метод сеток, так как он обеспечивает наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей.Пусть дано дифференциальное уравнение

. (1.1)

Требуется найти функцию в области с границей при заданных краевых условиях. Согласно методу сеток в плоской области строится сеточная область , состоящая из одинаковых ячеек. При этом область должна как можно лучше приближать область . Сеточная область (то есть сетка) состоит из изолированных точек, которые называются узлами сетки. Число узлов будет характеризоваться основными размерами сетки : чем меньше , тем больше узлов содержит сетка. Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области , а все соседние узлы принадлежат сетке . В противном случае он называется граничным. Совокупность граничных узлов образует границу сеточной области .

Сетка может состоять из клеток разной конфигурации: квадратных, прямоугольных, треугольных и других. После построения сетки исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением во всех внутренних узлах сетки. Затем на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах. Присоединяя граничные условия сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Замена дифференциального уравнения разностным может быть осуществлена разными способами. Один из способов аппроксимации состоит в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования. Различные формулы численного дифференцирования имеют разную точность, поэтому от выбора формул аппроксимации зависит качество аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением.

Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности, являющееся частным случаем уравнений параболического типа:

, (1.2)

– известная функция.

Будем искать решение этого уравнения в области

Заметим, что эту полуполосу всегда можно привести к полуполосе, когда . Уравнение (1.2) будем решать с начальными условиями:

, (1.3)

– известная функция, и краевыми условиями:

(1.4)

где – известные функции переменной .

Для решения задачи область покроем сеткой .

Узлы сетки, лежащие на прямых , и будут граничными. Все остальные узлы будут внутренними. Для каждого внутреннего узла дифференциальное уравнения (1.2) заменим разностным. При этом для производной воспользуемся следующей формулой:

.

Для производной запишем следующие формулы:

,

,

.

Можем получить три вида разностных уравнений:

, (1.5)

, (1.6)

, (1.7)

.

Разностные уравнения (1.5) аппроксимируют уравнение (1.2) с погрешностью , уравнение (1.6) – с такой же погрешностью, а уравнение (1.7) уже аппроксимирует уравнение (1.2) с погрешностью .

В разностной схеме (1.5) задействованы 4 узла. Конфигурация схемы (1.5) имеет вид:

В схеме (1.6) также участвуют 4 узла, и эта схема имеет вид:

В схеме (1.7) участвуют 5 узлов, и эта схема имеет вид:

Первая и третья схемы – явные, вторая схема неявная. В случае явных схем значения функции в узле очередного слоя можно найти, зная значения в узлах предыдущих слоев. В случае неявных схем для нахождения значений решения в узлах очередного слоя приходится решать систему уравнений.

Для узлов начального (нулевого) слоя значения решения выписываются с помощью начального условия (1.3):

(1.8)

Для граничных узлов, лежащих на прямых и , заменив производные по формулам численного дифференцирования, получаем из граничных условий (1.4) следующие уравнения:

(1.9)

Уравнения (1.9) аппроксимируют граничные условия (1.4) с погрешностью , так как используем односторонние формулы численного дифференцирования. Погрешность аппроксимации можно понизить, если использовать более точные односторонние (с тремя узлами) формулы численного дифференцирования.

Присоединяя к системе разностных уравнений, записанных для внутренних узлов, начальные и граничные условия (1.8) и (1.9) для разностной задачи получим полные разностные схемы трех видов. Для проведения вычислений самой простой схемой оказывается первая: достаточно на основании начального условия найти значения функции в узлах слоя , чтобы в дальнейшем последовательно определять значения решения в узлах слоев и т.д.

Третья схема также весьма проста для проведения вычислений, но при ее использовании необходимо кроме значений решения в узлах слоя найти каким-то образом значения функции и в слое . Далее вычислительный процесс легко организовывается. В случае второй схемы, которая является неявной, обязательно приходится решать систему уравнений для нахождения решения сеточной задачи.

С точки зрения точечной аппроксимации третья схема самая точная.

Введем в рассмотрение параметр . Тогда наши разностные схемы можно переписать, вводя указанный параметр. При этом самый простой их вид будет при .

В любом случае согласно методу сеток будем иметь столько уравнений, сколько имеется неизвестных (значения искомой функции в узлах). Число неизвестных равно числу всех узлов сетки. Решая систему уравнений, получаем решение поставленной задачи.

Разрешимость этой системы для явных схем вопросов не вызывает, так как все действия выполняются в явно определенной последовательности. В случае неявных схем разрешимость системы следует исследовать в каждом конкретном случае. Важным вопросом является вопрос о том, на сколько найденные решения хорошо (адекватно) отражают точные решения, и можно ли неограниченно сгущая сетку (уменьшая шаг по осям) получить приближенные решения, сколь угодно близкие к точным решениям? Это вопрос о сходимости метода сеток.

На практике следует применять сходящиеся разностные схемы, причем только те из них, которые являются устойчивыми, то есть при использовании которых небольшие ошибки в начальных или промежуточных результатах не приводят к большим отклонениям от точного решения. Всегда следует использовать устойчивые разностные схемы, проводя соответствующие исследования на устойчивость.

Первая из построенных выше разностных схем в случае первой краевой задачи будет устойчивой при . Вторая схема устойчива при всех значениях величины . Третья схема неустойчива для любых , что сводит на нет все ее преимущества и делает невозможной к применению на ЭВМ.

Явные схемы просты для организации вычислительного процесса, но имеют один весьма весомый недостаток: для их устойчивости приходится накладывать сильные ограничения на сетку. Неявные схемы свободны от этого недостатка, но есть другая трудность – надо решать системы уравнений большой размерности, что на практике при нахождении решения сложных уравнений в протяженной области с высокой степенью точности может потребовать больших объемов памяти ЭВМ и времени на ожидание конечного результата. К счастью, прогресс не стоит на месте и уже сейчас мощности современных ЭВМ вполне достаточно для решения поставленных перед ними задач.

1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравнений параболического типа

Рассмотрим частный случай задачи, поставленной в предыдущем разделе. В области

найти решение уравнения

(1.10)

с граничными условиями

(1.11)

и начальным условием

. (1.12)

Рассмотрим устойчивую вычислительную схему, для которой величина не является ограниченной сверху, а, значит, шаг по оси и может быть выбран достаточно крупным. Покроем область сеткой

Запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1.10) во всех внутренних узлах слоя . При этом будем использовать следующие формулы:

,

.

Эти формулы имеет погрешность . В результате уравнение (1.10) заменяется разностным:

(1.13)

Перепишем (1.13) в виде:

. (1.14)

Данная вычислительная схема имеет следующую конфигурацию:

(1.15)

(1.16)

Система (1.14) – (1.16) представляет собой разностную задачу, соответствующую краевой задаче (1.10) – (1.12).

За величину мы положили .

(1.14) – (1.16) есть система линейных алгебраических уравнений с 3-диагональной матрицей, поэтому ее резонно решать методом прогонки, так как он в несколько раз превосходит по скорости метод Гаусса.

. (1.17)

Здесь , – некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Заменив в (1.17) на будем иметь:

. (1.18)

Подставив уравнение (1.18) в (1.14) получим:

. (1.19)

Сравнив (1.17) и (1.19) найдем, что:

(1.20)

Положим в (1.14) и найдем из него :

,

.

(1.21)

Заметим, что во второй формуле (1.21) величина подлежит замене на согласно первому условию (1.15).

С помощью формул (1.21) и (1.20) проводим прогонку в прямом направлении. В результате находим величины

Затем осуществляем обратный ход. При этом воспользуемся второй из формул (1.15) и формулой (1.17). Получим следующую цепочку формул:

(1.22)

Таким образом, отправляясь от начального слоя , на котором известно решение, мы последовательно можем найти значения искомого решения во всех узлах стеки.

Итак, мы построили неявную схему решения дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток.

1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток

При решении задачи методом сеток мы допускаем погрешность, состоящую из погрешности метода и вычислительной погрешности.

Погрешность метода – это та погрешность, которая возникает в результате замены дифференциального уравнения разностным, а также погрешность, возникающая за счет сноса граничных условий с на .

Вычислительная погрешность – это погрешность, возникающая при решении системы разностных уравнений, за счет практически неизбежных машинных округлений.

Существуют специальные оценки погрешности для решения задач методом сеток. Однако эти оценки содержат максимумы модулей производных искомого решения, поэтому пользоваться ими крайне неудобно, однако эти теоретические оценки хороши тем, что из них видно: если неограниченно измельчать сетку, то последовательность решений будет сходиться равномерно к точному решению. Здесь мы столкнулись с проблемой сходимости метода сеток. При использовании метода сеток мы должны быть уверены, что, неограниченно сгущая сетку, можем получить решение, сколь угодно близкое к точному.

Итак, на примере решения краевой задачи для дифференциального уравнения параболического типа рассмотрим основные принципы метода сеток. Отметим, что если при решении разностной задачи небольшие ошибки в начальных и краевых условиях (или в промежуточных результатах) не могут привести к большим отклонениям искомого решения, то говорят, что задача поставлена корректно в смысле устойчивости по входным данным. Разностную схему называют устойчивой, если вычислительная погрешность неограниченно не возрастает. В противном случае схема называется неустойчивой.

1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы

Пусть есть решение уравнения (1.14), удовлетворяющее возмущенным начальным условиям

и граничным условиям

.

Здесь – некоторые начальные ошибки.

.

Погрешность будет удовлетворять уравнению

(1.23)

(в силу линейности уравнения (1.14)), а также следующими граничными и начальными условиями:

, (1.24)

. (1.25)

Частное решение уравнения (1.23) будем искать в виде

. (1.26)

Здесь числа и следует подобрать так, чтобы выражение (1.26) удовлетворяло уравнению (1.23) и граничным условиям (1.24).

При целом удовлетворяет уравнению (1.23) и условиям (1.24).

Подставим уравнение (1.26) в уравнение (1.24). При этом получим:

.

Выражение в квадратных скобках равно

.

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение вместо выражения в квадратных скобках и проводя сокращения на получим:

,

откуда находим :

.

Таким образом, согласно уравнению (1.26), получаем линейно-независимые решения уравнения (1.23) в виде

Заметим, что это частное решение удовлетворяет однородным краевым условиям (1.24). Линейная комбинация этих частных решений также является решением уравнения (1.23):

, (1.27)

причем , определенное в выражении (1.27), удовлетворяет для любых однородным граничным условиям (1.24). Коэффициенты подбираются исходя из того, что должны удовлетворять начальным условиям (1.25):

.

В результате получаем систему уравнений

,

содержащую уравнений с неизвестными . Решая построенную систему определяем неизвестные коэффициенты .

Для устойчивости исследуемой разностной схемы необходимо, чтобы при любых значениях коэффициентов , определяемое формулой (1.27), оставалось ограниченной величиной при . Для этого достаточно, чтобы для всех выполнялось неравенство

. (1.28)

Анализируя (1.28) видим, что это неравенство выполняется для любых значений параметра . При этом при или в крайнем случае, когда

,

остается ограниченным и при фиксированном не возрастает по модулю. Следовательно мы доказали, что рассматриваемая разностная схема устойчива для любых значений параметра .

2. Реализация метода

2.1 Разработка программного модуля

Поставлена цель: разработать программный продукт для нахождения приближенного решения параболического уравнения:

(1.29)

,

(1.30)

Разобьем область прямыми

– шаг по оси ,

– шаг по оси .

Заменив в каждом узле производные конечно-разностными отношениями по неявной схеме, получим систему вида:

. (1.31)

Преобразовав ее, получим:

, (1.32)

В граничных узлах

(1.33)

В начальный момент

. (1.34)

Эта разностная схема устойчива при любом . Будем решать систему уравнений (1.32), (1.33) и (1.34) методом прогонки. Для этого ищем значения функции в узле в виде

, (1.35)

где – пока неизвестные коэффициенты.

. (1.36)

Подставив значение (1.35) в (1.32) получим:

.

. (1.37)

Из сравнения (1.35) и (1.37) видно, что

. (1.38)

. (1.39)

Для из (1.32) имеем:

.

.

Откуда, используя (1.35), получим:

, (1.40)

. (1.41)

Используя данный метод, мы все вычисления проведем в следующем порядке для всех .

1) Зная значения функции на границе (1.33), найдем значения коэффициентов по (1.40) и по (1.38) для всех .

2) Найдем по (1.41), используя для начальное условие (1.34).

3) Найдем по формулам (1.39) для .

4) Найдем значения искомой функции на слое, начиная с :

2.2 Описание логики программного модуля

Листинг программы приведен в приложении 1. Ниже будут описаны функции программного модуля и их назначение.

Функция main() является базовой. Она реализует алгоритм метода сеток, описанного в предыдущих разделах работы.

Функция f (x, y) представляет собой свободную функцию двух переменных дифференциального уравнения (1.29). В качестве аргумента в нее передаются два вещественных числа с плавающей точкой типа float. На выходе функция возвращает значение функции , вычисленное в точке .

Функции mu_1 (t) и mu_2 (t) представляют собой краевые условия. В них передается по одному аргументу (t) вещественного типа (float).

Функция phi() является ответственной за начальный условия.

В функции main() определены следующие константы:

– правая граница по для области ;

– правая граница по для области ;

– шаг сетки по оси ;

– шаг сетки по оси ;

Варьируя и можно изменять точность полученного решения от менее точного к более точному. Выше было доказано, что используемая вычислительная схема устойчива для любых комбинаций параметров и , поэтому при устремлении их к нуля можем получить сколь угодно близкое к точному решение.

Программа снабжена тремя механизмами вывода результатов работы: на экран в виде таблицы, в текстовый файл, а также в файл списка математического пакета WaterlooMaple. Это позволяет наглядно представить полученное решение.

Программа написана на языке программирования высокого уровня Borland C++ 3.1 в виде приложения MS-DOS. Обеспечивается полная совместимость программы со всеми широко известными операционными системами корпорации Майкрософт: MS-DOS 5.x, 6.xx, 7.xx, 8.xx, Windows 9x/Me/2000/NT/XP.

2.3 Пример работы программы

В качестве примера рассмотрим численное решение следующего дифференциального уравнения параболического типа:

,

Задав прямоугольную сетку с шагом оси 0.1 и по оси 0.01, получим следующее решение:

2.10 1.91 1.76 1.63 1.53 1.44 1.37 1.31 1.26 1.22 1.18

2.11 1.75 1.23 1.20 1.15 1.10 1.07 1.04 1.04 1.07 1.21

2.12 1.61 0.95 0.96 0.93 0.91 0.90 0.90 0.94 1.03 1.24

2.13 1.51 0.79 0.81 0.81 0.80 0.81 0.83 0.89 1.03 1.27

2.14 1.45 0.69 0.73 0.74 0.74 0.76 0.80 0.88 1.04 1.31

2.15 1.41 0.64 0.69 0.70 0.71 0.74 0.79 0.89 1.05 1.34

В таблице ось x расположена горизонтально, а ось t расположена вертикально и направлена вниз.

На выполнение программы на среднестатистическом персональном компьютере тратится время, равное нескольким миллисекундам, что говорит о высокой скорости алгоритма.

Подробно выходной файл output.txt, содержащий таблицу значений функции представлен в приложении 3.

В работе был рассмотрен метод сеток решения параболических уравнений в частных производных. Раскрыты основные понятия метода, аппроксимация уравнения и граничных условий, исследована разрешимость и сходимость получаемой системы разностных уравнений.

На основании изученного теоретического материала была разработана программная реализация метода сеток, проанализирована ее сходимость и быстродействие, проведен тестовый расчет, построен графики полученного численного решения.

1. Березин И.С., Жидков Н.П.Методы вычислений. Т.2. – М.: Физматгиз, 1962.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А.Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

3. Пирумов У.Г.Численные методы. – М.: Издательство МАИ, 1998.

4. Калиткин Н.Н.Численные методы. – М.: Наука, 1976.

1 Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями второго рода.

Мария Огаркова 5 лет назад Просмотров:

1 1 Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями второго рода. 699 M. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с однородными краевыми условиями второго рода. u t a u xx = fx, t, x,, t >, 1.1 u x, t = u x, t =, t >, 1. ux, = ϕx, x [, ]. 1.3 Шаг 1. Решение задачи Штурма Лиувилля. Рассмотрим задачу X x + λxx =, 1.4 X = X =. 1.5 Задача есть задача Штурма Лиувилля. Общее решение уравнения 1.4 имеет вид Xx = c 1 sin λ x + c cos λ x при λ > ; 1.6 Xx = c 1 e λ x + c e λ x при λ имеем из краевого условия X =, что c 1 =, Xx = c cos λ x X x = c λ sin λ x. Поэтому из второго краевого условия X = получаем, что λ = πk откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма Лиувилля: πn λ n =, n N. 1.9 Им соответствует бесконечное множество собственных функций: X n x = cos, n N. 1.1 При λ 2 Шаг. Будем искать решение уравнения u t a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t = в виде ux, t = X n T n t, где функции X n x имееют вид: n= X x 1, X n x = cos Заметим сразу, что каждое слагаемое приведённого ряда удовлетворяет краевым условиям 1., что достаточно если ряд допускает почленный переход к пределу при x +, x = для того, чтобы функция ux, t, определённая таким образом, также удовлетворяла краевым условиям 1.. Пусть функция fx, t разложена при каждом t [, T ] в ряд Фурье по косинусам fx, t = f t При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам: + cos f n t. 1.1 f n t = f, X n = fx, t cos dx Тогда уравнение 1.1 приобретает вид n= Xn xt nt a X n xt n t = f t Для его выполнения достаточно, чтобы + f n t cos. то есть T t = f t X n xt nt a X n xt n t = f n t cos T t = f t T nt + πna T n t cos = f n t cos для n = для n N, для n = для n N. Это заведомо выполнено, если T t = f t для n = 1.14 T nt + πna T n t = f n t для n N, 1.15 Итак, мы получили условия на функции T n t, достаточные для того, чтобы функция ux, t = T n t cos была если ряд «хороший» решением уравнения n= u t a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t =. Шаг 3. Решаем задачу Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условия —

3 ux, = ϕx. Пусть функция ϕx, входящая в начальное условие, разлагается в ряд по косинусам Подставим функцию ux, t = T n t cos опять-таки в предположении, что ряд «хороший» в начальное условие: ϕx = ϕ + ϕ n cos, x [, ] где 1.16 n= n= ϕ n = ϕx cos dx T n cos = ϕ + ϕ n cos. Для выполнения этого равенства достаточно, чтобы T = ϕ для n = T n = ϕ n для n N. Таким образом, из 1.14, 1.15 и , для функций T n t имеем задачу Коши: T t = f t T = ϕ T nt + πna T n t = f n t для n = 1.18 T n = ϕ n для n N Эти задачи Коши имеют единственное решение при любых f n C[, T ] и любых значениях ϕ n R. При n = : T t = ϕ + 1 t f τdτ. 1. При n N: сначала решаем однородное уравнение: Его общее решение имеет вид: T nt + πna T n t =. T n t = c e πna t. Метод вариации постоянной позволяет нам искать решение уравнения 1.19 в виде T n t = cte πna t, = T nt = c t πna ct e πna t. Подставив эти равнества в 1.19, получим уравнение для нахождения ct: c t = f n te πna t, -3-

4 откуда, с учётом начального условия T n = ϕ n, ct = ϕ n + t f n τe πna τ dτ. 1.1 Таким образом, t T n t = ϕ n e πna t + f n τe πna t τ dτ. 1. Всё, что нам осталось сделать, это подставить 1., 1. в формулу Получаем ответ: ux, t = ϕ + 1 t f τdτ + ux, t = n= T n t cos. ϕ n e πna t + t f n τe πna t τ dτ cos 669 M. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однородными краевыми условиями второго рода.. u tt a u xx = fx, t, x,, t >,.1 u x, t = u x, t =, t >,. ux, = ϕx, x [, ]..3 u t x, = ψx, x [, ]..4 Шаг 1. Решение задачи Штурма Лиувилля. Этот шаг полностью повторяет Шаг 1. задачи 699 M. Шаг. Будем искать решение уравнения u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t = в виде ux, t = X n T n t, где функции X n x имееют вид: n= X x 1,.5 X n x = cos..6 Пусть функция fx, t разложена при каждом t [, T ] в ряд Фурье по косинусам fx, t = f t При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам: + cos f n t..7 f n t = f, X n = fx, t cos dx..8-4-

5 Тогда уравнение.1 приобретает вид n= Xn xt n t a X n xt n t = f t Для его выполнения достаточно, чтобы то есть T t = f t X n xt n t a X n xt n t = f n t cos + f n t cos. T t = f t T n t + πna T n t cos = f n t cos Это заведомо выполнено, если T t = f t для n = для n N, для n = для n N. для n =.9 T n t + πna T n t = f n t для n N,.1 Итак, мы получили условия на функции T n t, достаточные для того, чтобы функция ux, t = T n t cos была если ряд «хороший» решением уравнения n= u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t =. Шаг 3. Решаем задачу.1.4. Из условий задачи.1.4 мы ещё не использовали только начальные условия ux, = ϕx, u t x, = ψx. Пусть функции ϕx, ψx, входящие в начальные условия, разлагаются в ряд по косинусам Подставим функцию ux, t = T n t cos опять-таки в предположении, что ряд «хороший» в начальные условия: ϕx = ϕ + ϕ n cos, x [, ] где.11 ϕ n = ϕx cos dx..1 ψx = ψ + ψ n cos, x [, ] где.13 n= n= ψ n = ψx cos dx..14 T n cos = ϕ + ϕ n cos ; -5-

6 n= УМФ семинар Метод Фурье T n cos = ψ + ψ n cos. Для выполнения этих равенств достаточно, чтобы T = ϕ T = ψ для n = T n = ϕ n T n = ψ n для n N. Таким образом, из.9,.1 и.11.1, для функций T n t имеем задачу Коши: T t = f t T = ϕ для n =.15 T = ψ T n t + πna T n t = f n t T n = ϕ n для n N..16 T n = ψ n Эти задачи Коши имеют единственное решение при любых f n C[, T ] и любых значениях ϕ n R, ψ n R. При n = : T t = ϕ t + При n N: сначала решаем однородное уравнение: Его общее решение имеет вид: ψ + 1 τ T n t + πna T n t =. T n t = c 1 sin πnat f κdκ dτ c cos πnat. Метод вариации постоянной позволяет нам искать решение уравнения.16 в виде T n t = c 1 t sin πnat + c t cos πnat, где c 1, t есть решения системы c 1t sin πnat πna c 1 t cos πnat + c t cos πnat = ; c t sin πnat = fn t. откуда c 1t = πna f nt cos πnat, c t = πna f nt sin πnat. С учётом начальных условий T n = ϕ n, T n = ψ n окончательно получаем c 1 t = πna ψ n + t f n τ cos πnaτ dτ, c t = ϕ n t f n τ sin πnaτ dτ..18 πna πna -6-

7 Таким образом, T n t = ϕ n sin πnat + πna + ψ n πna sin πnat πnat cos + t f n τ cos πnaτ dτ cos πnat t f n τ sin πnaτ Всё, что нам осталось сделать, это подставить.17,.19 в формулу ux, t = T n t cos. n= dτ M. Классический способ. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однородными краевыми условиями второго рода. u tt a u xx = fx, x,, t >, 3.1 u, t = u, t =, t >, 3. ux, = β α x + α, x [, ]. 3.3 u t x, =, x [, ]. 3.4 Шаг 1. Решение задачи Штурма Лиувилля. Рассмотрим задачу 3.5 X x + λxx =, 3.6 X = X =. 3.7 Задача есть задача Штурма Лиувилля. Её решение нам уже известно: λ n =, X n x = sin, n N. Шаг. Будем искать решение уравнения u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u, t = u, t = в виде ux, t = X n T n t, где функции X n x имееют вид: X n x = sin, n N. 3.8 Пусть функция fx разложена в ряд Фурье по синусам так как в данном примере f не зависит от t, то f n тут просто константы, не зависящие от t fx = sin f n. 3.9 При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам: f n = f, X n = fx sin dx

8 Тогда уравнение 3.1 приобретает вид Xn xt n t a X n xt n t = Для его выполнения достаточно, чтобы X n xt n t a X n xt n t = f n sin то есть T n t + πna T n t sin = f n sin Это заведомо выполнено, если f n sin. для n N, для n N. T n t + πna T n t = f n для n N, 3.11 Итак, мы получили условия на функции T n t, достаточные для того, чтобы функция ux, t = T n t sin была если ряд «хороший» решением уравнения n= u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u, t = u, t =. Шаг 3. Решаем задачу Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условия ux, = ϕx = α β x α, u t x, = ψ =. Найдём разложение функций ϕx, ψx, входящих в начальные условия, в ряд по синусам ϕx = ψx = Подставим функцию ux, t = ϕ n sin, где ϕ n = ϕx sin ψ n sin, где ψ n = ψx sin T n t sin опять-таки в предположении, что ряд «хороший» в начальные условия: T n sin = dx. 3.1 dx T n sin = Для выполнения этих равенств достаточно, чтобы ϕ n sin ; ψ n sin. T n = ϕ n T n = ψ n для n N. Таким образом, из 3.11 и , для функций T n t имеем задачу Коши: T n t + πna T n t = f n T n = ϕ n для n N T n = ψ n -8-

9 Эти задачи Коши имеют единственное решение при любых f n R и любых значениях ϕ n R, ψ n R. Найдём ϕ n, ψ n из 3.1, 3.13 с учётом, что ϕx = β α x + α, ψ =. ϕ n = ϕx sin dx = + α β cos πn πn > << >β α x cos dx + α x= + x= sin dx = = 1n β α + α 1 1n = πn πn πn α 1n β, ψ n =. При n N: сначала решаем однородное уравнение: Его общее решение имеет вид: T n t + πna T n t =. T n t = c 1 sin πnat + c cos πnat. Простой вид правой части позволяет нам угадать частное решение неоднородного уравнения 3.14 в виде константы: f n. Поэтому общее решение 3.14 имеет вид: πna T n t = c 1 sin πnat + c cos πnat Из начального условия T n = ψ n = следует, что c 1 =. + f n πna. А второе начальное условие T n = ϕ n = πn α 1n β даёт нам c = πn α 1n β f n πna. Таким образом, T n t = πn α 1n β f n cos πnat + f n πna πna

10 Всё, что нам осталось сделать, это подставить 3.15 в формулу Получим ответ: ux, t = ux, t = T n t sin. πn α 1n β f n cos πnat sin + πna f n πna sin. 654 M. Короткий способ. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однородными краевыми условиями второго рода. u tt a u xx = fx, x,, t >, 4.1 u, t = u, t =, t >, 4. ux, = β α x + α, x [, ]. 4.3 u t x, =, x [, ]. 4.4 Шаг 1. Так как правые части всех равенств в этой задаче не зависят от времени, будем искать решение задачи в виде суммы ux, t = vx, t + wx. Найдём w = wx такую, чтобы 4.5 w tt a w xx = fx, x,, t >, 4.6 w, t = w, t =, t >. 4.7 Раз w = wx, то w tt =, и задача принимает более простой вид: Проинтегрируем уравнение 4.8 один раз: Проинтегрируем второй раз: w x = fx, a x,, 4.8 w = w =. 4.9 w x = 1 a wx = 1 a x y x fsds + c 1. fsdsdy + c 1 x + c. Из краевого условия w = получаем, что c =, а из w =, что = 1 a y fsdsdy + c 1, -1-

11 откуда c 1 = 1 a Итак, функция wx нам полностью известна: wx = x a y y fsdsdy. fsdsdy 1 a Тогда для vx, t = ux, t wx получается задача x y fsdsdy. 4.1 v tt a v xx =, x,, t >, 4.11 v, t = v, t =, t >, 4.1 vx, = β α x + α wx = ϕx, x [, ] v t x, =, x [, ] Такую задачу мы уже умеем решать см. номер 643. Её ответ: vx, t = sin A n cos где A n и B n задаются равенствами πna t + B n sin πna 4.15 t, 4.16 A n = ϕx sin dx; 4.17 B n = ψx sin aπn В нашем случае ψ =, а ϕ = β α x + α wx, откуда A n = β α x + α wx sin dx dx, B n = и функция v имеет вид vx, t = A n sin cos πnat Всё, что нам осталось сделать, это подставить в формулу найденные функции v и wиз 4.19 и 4.1. ux, t = vx, t + wx -11-

12 667. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однородными краевыми условиями второго рода. u tt a u xx = fx, t, x,, t >, 5.1 u, t = u x, t =, t >, 5. ux, =, x [, ]. 5.3 u t x, =, x [, ]. 5.4 Шаг 1. Решение задачи Штурма Лиувилля. Этот шаг мы проходили, когда решали задачу 649 M. Результат: бесконечное множество нетривиальных решений πn 1 πn 1x λ n =, X n x = sin, n N. Шаг. Будем искать решение уравнения u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t = в виде ux, t = X n T n t, где функции X n x имееют вид: n= 5.5 πn 1x X n x = sin. 5.6 Пусть функция fx, t разложена при каждом t [, T ] в ряд Фурье по функциям X n x: πn 1x fx, t = sin f n t. 5.7 При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам как мы убедились, решая 649 M : f n t = f, X n = πn 1x fx, t sin dx. 5.8 Тогда уравнение 5.1 приобретает вид Xn xt n t a X n xt n t = n= Для его выполнения достаточно, чтобы πn 1x X n xt n t a X n xt n t = f n t sin πn 1x f n t sin. то есть T n t + π n 1 a πn 1x πn 1x T 4 n t sin = f n t sin Это заведомо выполнено, если для n N, для n N. T n t + π n 1 a 4 T n t = f n t для n N,

13 Итак, мы получили условия на функции T n t, достаточные для того, чтобы функция ux, t = T n t cos была если ряд «хороший» решением уравнения n= u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t =. Шаг 3. Решаем задачу Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условия ux, =, u t x, =. Функции ϕx, ψx, входящие в начальные условия, разлагаются в ряд по функциям X n x πn 1x ϕx = ϕ n sin ψx = ψ + ψ n cos Подставим функцию ux, t = T n t sin «хороший» в начальные условия: πn 1x πn 1x T n sin = πn 1x T n sin =, x [, ] где ϕ n =, 5.1, x [, ] где ψ n = 5.11 опять-таки в предположении, что ряд πn 1x ϕ n sin = ; πn 1x ψ n sin =. Для выполнения этих равенств достаточно, чтобы T n = ϕ n = T n = ψ n = для n N. Таким образом, из 5.9 и , для функций T n t имеем задачу Коши: T n t + π n 1 a T 4 n t = f n t T n = n N. 5.1 T n = Эти задачи Коши имеют единственное решение при любых f n C[, T ] и любых значениях ϕ n R, ψ n R. сначала решаем однородное уравнение: Его общее решение имеет вид: T n t = c 1 sin T n t + π n 1 a 4 T n t =. πn 1at + c cos πn 1at. Метод вариации постоянной позволяет нам искать решение уравнения 5.1 в виде T n t = c 1 t sin πn 1at + c t cos πn 1at, где c 1, t есть решения системы -13-

14 откуда c 1t sin πn 1at πn 1a + c t cos πn 1at = ; c 1t cos πn 1at c t sin πn 1at = f n t. c 1t = πn 1a f nt cos πn 1at, c t = πn 1a f nt sin πn 1at. С учётом начальных условий T n = ϕ n =, T n = ψ n = окончательно получаем c 1 t = t πn 1aτ f n τ cos dτ, πn 1a Таким образом, T n t = c t = πn 1at t πn 1aτ sin f n τ cos dτ πn 1a cos πn 1at t πn 1aτ f n τ sin dτ. πn 1a 5.13 t f n τ sin Всё, что нам осталось сделать, это подставить 5.14 в формулу I. Найти решение ux, t задачи ux, t = T n t sin πn 1x. πn 1aτ dτ u tt a u xx = fx, t, x,, t >, 5.15 u, t = u, t =, t >, 5.16 ux, = ϕx, x [, ] u t x, =, x [, ] Решение: см. 654 M Классический способ, стр II. Найти решение ux, t задачи u t a u xx = fx, x,, t >, 5. u, t = u, t =, t >, 5.1 ux, = ϕx, x [, ]. 5. Решение: см. 654 M Короткий способ, стр