Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Лекция. Дифференциальные уравнения второго порядка
учебно-методический материал
Лекция «Дифференциальные уравнения второго порядка» по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 2 курса специальности «Компьютерные системы и комплексы».
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
du_2_poryadka.doc | 87 КБ |
Предварительный просмотр:
Лекция. Дифференциальные уравнения второго порядка.
1) Уравнения, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: y’’= f(x) . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение.
Найти общее решение дифференциального уравнения y’’ = x 2 – 2x
Решение :
Данное дифференциальное уравнение имеет вид y’’= f(x) . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение.
Понижаем степень уравнения до первого порядка:
, где С 1 – константа
Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:
Ответ: общее решение:
Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае необходимо лишь найти вторую производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение y’’ = x 2 – 2x , значит, общее решение найдено правильно.
2) В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция у
Простейшее уравнение данного типа в общем виде выглядит так: F(x, y’, y»)=0 .
В этом уравнении всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде , но он обязательно всплывёт в ходе решения. Кроме того, во всех этих уравнениях обязательно присутствует независимая переменная «икс».
Решаются такие уравнения с помощью замены.
Решить неполное дифференциальное уравнение второго порядка: y’’= 5x — 1
Пусть у’ = u , тогда y’’ = u’ , получим u’ = 5x – 1 или
Подставляя обратно в уравнение у’ = u получим:
На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.
Ответ: Общее решение:
3) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида: у’’+рy’+qy = f(x)
где коэффициенты p , q – постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное равнение и неоднородное уравнение .
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
у’’+рy’+qy = 0 , где p и q – константы (числа), а в правой части – строго ноль.
Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
у’’+рy’+qy = f(x) , где p и q – константы, а f(x) – функция, зависящая только от «икс» . В простейшем случае функция f(x) может быть числом, отличным от нуля .
Чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:
Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение :
По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
вместо второй производной записываем ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции у ничего не записываем.
– это обычное квадратное уравнение , которое предстоит решить.
В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде:
1) Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:
В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: .
2) Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня (дискриминант D=0 ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: , где – константы.
Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.
Если оба корня равны нулю , то общее решение имеет вид: .
Решить дифференциальное уравнение
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Вычисляя дискриминант, получаем два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:
3) Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни ( Данный случай приведен только для ознакомления. Тему «Комплексные числа мы будем проходить позже» )
Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни , (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом:
Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее решение упрощается:
Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
Лекция по высшей математике»Дифференциальные уравнения второго порядка»(для 26 гр.)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию у(х) , независимую переменную х , первую и вторую производные у’, у» или дифференциалы
Дифференциальное уравнение второго порядка символически можно записать в общем виде следующим образом:
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной, имеет вид:
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесчисленное множество решений, которые можно представить в виде функции Эта совокупность решений называется общим решением .
Функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С 1 и С 2 , называется частным решением . Частное решение находится при помощи задания начальных условий: у(х=х 0 )=у 0 и у'(х=х 0 )=у 0 ‘ , где х 0 , у 0 , у 0 ‘ – конкретные числа.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши . Практически задачу Коши решают следующим образом: находят общее решение, затем в него подставляют начальные условия, получают систему двух уравнений, определяют произвольные постоянные С 1 и С 2 и подставляют их конкретные значения в общее решение.
2) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые позволяют понизить порядок уравнения и привести его к уравнениям первого порядка.
2.1. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит у и у’ . Уравнение решается путем последовательного интегрирования. Найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
Интегрируя еще раз, получим общее решение:
Пример 1. Найти частное решение уравнения при заданных начальных условиях у(х= 0 )= 1 и у'(х= 0 )= 1.
Решение. Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
Интегрируя еще раз, получим общее решение:
Так как мы интегрировали дважды, то получили две произвольные постоянные С 1 и С 2 . Подставляя начальные условия в соотношения (2.1) и (2.2), получим С 1 =1 и С 2 =1. Следовательно, частное решение имеет вид:
2.2. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит искомой функции у . Уравнение решается с помощью подстановки:
где z – функция от х . Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка: .
Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные: Интегрируем:
Получаем промежуточное общее решение: или
Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
Интегрируя, получим общее решение:
Пример 3. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
Уравнение (2.3) является однородным и решается с помощью подстановки:
Подставляя (2.4) в (2.3), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Сокращаем на х и разделяем переменные:
Интеграл в левой части равенства (2.5) вычисляем методом замены переменной:
После интегрирования (2.5) получаем промежуточное общее решение:
Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или .
Разделяем переменные и интегрируем: (2.6)
Интеграл, стоящий в правой части, вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
После интегрирования (2.6) получим общее решение:
Пример 4. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
Уравнение (2.7) является линейным неоднородным и решается с помощью подстановки:
Подставляя (2.8) в (2.7), получим:
Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные и интегрируем: Получаем: или
Функцию подставляем в соотношение (2.9):
Сокращаем на х , разделяем переменные и интегрируем:
Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
Разделяем переменные и интегрируем:
Интеграл, стоящий в правой части (2.10), вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
После интегрирования (2.10) получим общее решение:
2.3. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит независимой переменной х . Уравнение решается с помощью подстановки: или
где z – функция от у , т.е. z = z [ y ( x )] – сложная функция от х . Тогда :
Исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
где z – искомая функция, у – независимая переменная.
Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
Пример 5. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку:
Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Сокращаем на z ( z ≠0) и разделяем переменные:
Получаем промежуточное общее решение: или
Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные: Интегрируя, получим общее решение:
3) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (1)
т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и — некоторые числа, а функция задана на некотором интервале .
Если на интервале , то уравнение (1) примет вид , (2)
и называется линейным однородным . В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным . Рассмотрим комплексную функцию , (3)
где и — действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть , и мнимая часть решения в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.
Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:
Если есть решение уравнения (2), то и функция , где С – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);
Если и есть решения уравнения (2), то и функция также будет решением уравнения (2);
Если и есть решения уравнения (2), то их линейная комбинация также будет решением уравнения (2), где и – произвольные постоянные.
Функции и называются линейно зависимыми на интервале , если существуют такие числа и , не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство
Если равенство (4) имеет место только тогда, когда и , то функции и называются линейно независимыми на интервале .
Пример 1 . Функции и линейно зависимы, так как на всей числовой прямой. В этом примере .
Пример 2 . Функции и линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство возможно лишь в случае, когда и , и .
Построение общего решения линейного однородного уравнения.
Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и . Линейная комбинация этих решений , где и – произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения. Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать
в виде , (5) ,где – некоторое число. Тогда , . Подставим эти выражения в уравнение (2):
Так как , то . Таким образом, функция будет решением уравнения (2), если будет удовлетворять уравнению . (6)
Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.
Пусть и есть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.
Пусть корни и характеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции и . Эти решения линейно независимы, так как равенство может выполняться лишь тогда, когда и , и . Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид , где и — произвольные постоянные.
Пример 3 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет . Решив это квадратное уравнение, найдём его корни и . Функции и являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а называется мнимой единицей. Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то число отождествляется с действительным числом .
Число называется действительной частью комплексного числа, а — мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными: ,
Пример 4 . Решить квадратное уравнение .
Решение . Дискриминант уравнения . Тогда . Аналогично, . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.
Пусть корни характеристического уравнения комплексные , т.е. , , где . Решения уравнения (2) можно записать в виде , или , . По формулам Эйлера: , .
Тогда , . Как известно, если комплексная функция является решением лин. одн. ур-я, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции и . Так как равенство
может выполняться только в том случае, если и , то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид ,
где и — произвольные постоянные.
Пример 5 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Уравнение является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни , . Функции и являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. . Тогда решениями уравнения (2) являются функции и . Эти решения линейно независимы, так как выражение может быть тождественно равным нулю только тогда, когда и . Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид .
Пример 6 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическое уравнение имеет равные корни . В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид .
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: .
В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.
Пусть неоднородное уравнение имеет вид , (7)
т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степени m , т.е. .
Коэффициенты определяются в процессе нахождения частного решения.
Если же является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде .
Пример 7 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является
. Его характеристическое уравнение имеет корни и .
Общее решение однородного уравнения имеет вид .
Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции . Найдём производные этой функции , и подставим их в данное уравнение :
или . Приравняем коэффициенты при и свободные члены: Решив данную систему , получим , . Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид , а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:
Пусть неоднородное уравнение имеет вид (8)
Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Если же есть корень характеристического уравнения кратности k ( k =1 или k =2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .
Пример 8 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни , . В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде .
Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Найдём производные первого и второго порядков: ,. Подставим в дифференциальное уравнение: +,
Приравняем коэффициенты при и свободные члены:
Тогда частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение
http://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2020/03/23/lektsiya-differentsialnye-uravneniya-vtorogo-poryadka
http://infourok.ru/lekciya-po-visshey-matematikedifferencialnie-uravneniya-vtorogo-poryadkadlya-gr-2311306.html