Решение неравенств и уравнений с переменными

Алгебра

План урока:

Целые неравенства

Неравенства по своей сути очень похожи на уравнения. Аналогично понятию целого уравнения существует понятие целого неравенства. Так называют то нер-во, в котором используются сложение и умножение, вычитание и деление, возведение в степень, но в котором нет деления на выражения с переменной. Другими словами, ни в одном знаменателе в целом нер-ве не должно быть переменных величин.

Приведем примеры целых нер-в:

14х 4 + 13х 2 ⩽ 91х 3 + 2

Если бы переменная могла быть в знаменателе, то знаменатель мог бы обращаться в ноль при некоторых ее значениях, что недопустимо в математике.Но так как в целых нер-вах переменная не находиться в знаменателе, то она может принимать любое значение.

Любое целое нер-во можно преобразовать так, чтобы в одной его части (обычно правой) стоял ноль, а в другой части – некоторый многочлен Р(х).

Пример. Преобразуйте нер-во

(х 3 + 7)(2х – 3) >4х(х 2 – 5х + 9)

к виду Р(х) > 0, где Р(х) – это многочлен.

Решение. Раскроем скобки в каждой части нер-ва:

(х 3 + 7)(2х – 3) >4х(х 2 – 5х + 9)

2х 4 – 3х 3 + 14х – 21 > 4x 3 – 20х 2 + 36х

Перенесем слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:

2х 4 – 3х 3 + 14х – 21 – 4x 3 + 20х 2 – 36х > 0

2х 4 – 7х 3 + 20х 2 – 22х – 21 > 0

Ответ:2х 4 – 7х 3 + 20х 2 – 22х – 21 > 0

Как и в случае с уравнениями, у нер-в есть степени. Она равна степени многочлена, стоящего в одной из его частей. Так, степень неравенства в рассмотренном только что примере равна 4, ведь степень полинома 2х 4 – 7х 3 + 20х 2 – 22х – 21 равна 4.

Неравенства первой степени

В общем виде неравенства первой степени выглядит так:

где а и b– некоторые числа, а х – переменная.

Естественно, вместо знака «>»могут стоять знаки « 0

Напомним, что решения нер-в традиционно записывают в виде числовых промежутков. Запись х > 3 аналогична записи х∈(3; + ∞). На числовой прямой этот промежуток выглядит так (отмечен штриховкой):

Для наглядности построим график функции у = 5х – 15 и отметим промежуток, на котором она больше нуля:

Заметим, что неравенство строгое, а потому само число 3 в его решение не входит. Из-за этого в записи (3; + ∞) первая скобка – круглая.

Пример. Решите нер-во

х ⩽ 9/(– 3) (обратите внимание, из-за деления на отрицательное число изменился знак нер-ва!)

Также построим график у = – 3х – 9 и убедимся, что мы не ошиблись:

Неравенство нестрогое, и число – 3 входит в ответ, поэтому поле него в промежутке стоит квадратная скобка.

Неравенства второй степени

Неравенства второй степени в общем виде записываются так:

Примерами таких нер-в являются

5х 2 – 3х + 19 > 0

– 12у 2 + 1,23у + 64 ⩾ 0

462z 2 + 3z– 54 2 + bx + c смотрят вверх, если коэффициент а > 0, и смотрят вниз, если а 2 + bx + c, надо решить квадратное ур-ние ах 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант (D) больше нуля, то есть два нуля. Если D = 0, то есть только один ноль. Если D 2 + bx + c> 0

надо решить ур-ние ах 2 + bx + c = 0 и проанализировать положение графика квадратичной функции относительно оси Ох.

Пример. Найдите промежуток, на котором справедливо нер-во

2х 2 – 5х + 2 2 – 5х + 2 = 0.

D = b 2 – 4ас = (– 5) 2 – 4•2•2 = 25 – 16 = 9

Коэффициент а параболы положителен, поэтому ее ветви смотрят вверх. Сам график будет выглядеть так:

Однако нам достаточно и схематичного изображения параболы и ее нулей на координатной прямой:

Нули функции разбивают прямую на три промежутка. На каждом из них знак квадратичной функции неизменен. Отметим эти знаки:

В нер-ве стоит знак « 2 + 9х – 9 ≤ 0

Решение. Сначала находим нули параболы, решая ур-ние

D = b 2 – 4ас = 9 2 – 4•(– 2)•(– 9) = 81 – 72 = 9

Коэффициент а параболы отрицательный, поэтому ее ветви смотрят вниз. Отметим на координатной прямой нули ф-ции и схематично график параболы, а также промежуток, на котором она неположительна:

Так как нер-во нестрогое, то сами нули ф-ции входят в ответ, а потому скобки рядом с нулями – квадратные. В итоге х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).

Пример Решите нер-во

х 2 – 2х + 1 > 0

Решение. Решим квадратное ур-ние

D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•1 = 4 – 4 = 0

Дискриминант равен нулю, поэтому у ур-ния лишь 1 корень.

Парабола будет касаться прямой Ох в единственной точке, при этом ветви параболы должны смотреть вверх:

Получается, что ф-ция положительна на всей координатной прямой, кроме точки х = 1, где она обращается в ноль. Соответственно, в ответе надо указать объединение промежутков: х∊(– ∞; 1)∪(1; + ∞).

Пример. Найдите решение нер-ва

– 5х 2 + х – 100 2 + х – 100 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•(– 5)•(– 100) = 1 – 2000 = – 2001

Дискриминант меньше нуля, поэтому корней не будет. Вся парабола будет находиться ниже оси Ох, так как ее ветви должны смотреть вниз из-за отрицательного коэффициента а = – 5.

Видно, что при любых значениях х левая часть нер-ва меньше нуля, то есть нер-во справедливо при х∊(– ∞; + ∞).

Метод интервалов

Ясно, что знак произведения зависит от знаков множителей. Так, если мы перемножаем три отрицательных числа и два положительных, то мы получим отрицательное произведение:

Если же отрицательных множителей два или четыре, то итоговое произведение получится положительным:

Вообще можно заметить, что если в произведении находится нечетное количество множителей (1, 3, 5, 7…), то и всё произведение отрицательно. Если же количество отрицательных множителей четно (0, 2, 4, 6, 8…), то произведение положительно. Дело в том, что при умножении отрицательных чисел действует правило «минус на минус дает плюс», то есть два минуса как бы «самоуничтожаются». Поэтому при перемножении четного количества отрицательных чисел все минусы попарно сократятся. Из этого правила есть одно исключение – если хотя бы один множитель равен нулю, то и всё произведение равно нулю, независимо от количества отрицательных сомножителей.

Пример. Справедливо ли нер-во

(– 12)•453•62,36•725•(– 975)•(– 812,99) 0

Перенеся единицу вправо, получим, что

Графически это можно показать так:

Аналогично, рассматривая нер-ва

можно показать, какие значения принимает каждая из скобок при различных х:

Видно, что скобки (х – 1), (х – 2), (х – 3) и (х – 4) изменяют знаки с «–» на «+» при «перескоке» через точки 1, 2, 3 и 4. Отметим их все вместе на одной прямой и укажем знаки скобок на каждом из образовавшихся промежутков:

Получили 5 промежутков. Если выражение выделено красным, то оно отрицательно на промежутке, а если синим – то положительно. Напомним, что произведение отрицательно, если в его состав входит нечетное количество (1, 3, 5…) отрицательных множителей. На рисунке видно, что на промежутке (1; 2) отрицательны 3 множителя, а на промежутке (3; 4) – один множитель. Следовательно, именно на них всё произведение

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)

оказывается отрицательным. Соответственно на других промежутках произведение положительно. Это можно отметить так:

Штриховкой отмечены промежутки, где произведение отрицательно. Получается, что решением нер-ва является объединение промежутков (1; 2)∪(3; 4). Сами точки 1, 2, 3 и 4 исключены из решения, так как нер-во строгое. Если бы нер-во было нестрогим, то на рисунке точки были бы закрашены, а скобки в промежутке были бы квадратными.

Убедимся в верности этого решения, выбрав произвольное число из каждого промежутка и подставив его в произведение.

Из промежутка (– ∞; 1) возьмем значение х = 0:

(0 – 1)(0 – 2)(0 – 3)(0 – 4) = (– 1)•(– 2)(– 3)•(– 4) = 24 > 0

Из следующего промежутка возьмем х = 1,5:

(1,5 – 1)(1,5 – 2)(1,5 – 3)(1,5 – 4) = 0,5•(– 0,5)•(– 1,5)•(– 2,5) 0

Из промежутка (3; 4) выберем х = 3,5:

(3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4) = 3,5•1,5•0,5•(– 0,5) 0

Для решения нер-ва мы просто нашли, при каких значениях выражение слева принимает нулевые значения, а потом расставили знаки в полученных интервалах. Данный способ называется методом интервалов.

Пример. Решите неравенство методом интервалов:

(у – 5)(– 2у + 6)(у + 4) ≥0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель (– 2):

(у – 5)(– 2)(у – 3)(у + 4) ≥ 0

Поделим нер-во на число (– 2). Напомним, что при делении нер-ва на отрицательную величину его знак меняется на противоположный:

(у – 5)(у – 3)(у + 4) ≤ 0

Используем метод интервалов. Отметим на координатной прямой точки, при которых каждая скобка обращается в ноль (это 5, 3 и (– 4)), и расставим знаки над получившимися промежутками:

Определить эти знаки можно, просто выбрав произвольное число из промежутка и подставив его в левую часть. Так, выберем из промежутка (– ∞; – 4) число (– 5) и получим:

(– 5 – 5)(– 5 – 3)(– 5 + 4) = (– 10)•(– 8)•(– 1) 0

Из промежутка (3; 5) возьмем число 4:

(4 – 5)(4 – 3)(4 + 4) = (– 1)•1•8 0

Итак, выражение слева меньше или равно нулю при у∊(– ∞; – 4]∪[3; 5].

Обратим внимание, что в рассмотренных примерах знаки на промежутках чередовались. Это значит, что достаточно было определить знак на одном промежутке, а дальше просто менять их при переходе через отмеченные точки. Есть один частный случай, когда такое чередование НЕ происходит. Такое возможно, если в двух скобках находится одинаковые выражения.

Пример. Решите нер-во

(z – 5)(3z – 15)(7 – z) ≤ 0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель 3, а из третьей – (– 1):

(z – 5)•3•(z – 5)•(– 1)•(z – 7) ≤ 0

Делим нер-во на (– 3):

(z – 5)(z – 5)(z – 7) ≥ 0

Обратите внимание – мы получили две одинаковые скобки (z – 5). Отметим на прямой нули левого выражения (это числа 5 и 7), а также знаки промежутков:

Для расстановки знаков подставим в выражение слева числа:

при z = 4 (4 – 5)(4 – 5)(4 – 7) = (– 1)•(– 1)•(– 3) 0

Получилось, что на соседних интервалах (– ∞; 5) и (5; 7) знаки совпадают, а не чередуются. Так произошло из-за того, что при переходе через точку z = 5 знак поменяла не одна, а сразу 2 скобки (х – 5).

При записи ответа надо учесть, что в задании дано нестрогое нер-во. Поэтому в ответ надо включить как промежуток [7; + ∞), так и число 5, которое обращает в ноль произведение в левой части.

Неравенства высоких степеней

Напомним, что если некоторое число а – корень многочлена Р(х) (то есть оно является корнем ур-ния Р(х) = 0), то этот многочлен можно представить как произведение двучлена (х – а) и какого-то другого многочлена Р₁(х). Другими словами, зная корни многочлена, можно разложить его на множители. За счет этого можно решать нер-ва высоких степеней.

Пример. Решите нер-во

х 3 – 3х 2 – х + 3 3 – 3х 2 – х + 3 = 0

Попробуем подобрать корни, начав с целых чисел. Напомним, что все целые корни должны быть делителем свободного члена, то есть в данном случае числа 3. Поэтому «кандидатами» являются числа 1, (– 1), 3 и (– 3). Подставляя их в ур-ние, находим, что оно имеет три корня: 1, (– 1) и 3:

1 3 – 3•1 2 – 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0

(– 1) 3 – 3•(– 1) 2 – (– 1) + 3 = – 1 – 3 + 1 + 3 = 0

3 3 – 3•3 2 – 3 + 3 = 27 – 27 – 3 + 3 = 0

Число (– 3) не подходит, ведь при его подстановке в левую часть ноль не получается:

(– 3) 3 – 3•(– 3) 2 – (– 3) + (– 3) = – 27 +27 + 3 + 3 = 6

Напомним, что у ур-ния 3-ей степени не может быть более 3 корней, поэтому других корней у ур-ния нет.

Зная корни, мы можем разложить многочлен на множители:

х 3 – 3х 2 – х + 3 = (х – 1)(х + 1)(х – 3).

В справедливости такого разложения можно убедиться, раскрыв скобки в правой части этого равенства. Теперь можно переписать исходное нер-во

х 3 – 3х 2 – х + 3 0

при х = 2 имеем (2 – 1)(2 + 1)(2 – 3) = 1•3•(– 1) 0

Получаем, что левая часть отрицательна при х∊(– ∞; – 1)∪(1; 3).

Пример. Решите нер-во

Решение. Рассмотрим ур-ние

Подбором можно определить лишь один его корень – единицу:

Поделим исходный многочлен на (х – 1):

Получили, что х 3 + 2х – 3 = (х – 1)(х 2 + 2х + 3)

Можно ли разложить на множители квадратный трехчлен х 2 + 2х + 3? Попытаемся решить ур-ние

D = b 2 – 4ас = 4 2 – 4•2•3 = 16 – 24 = – 8

Получили, что корней нет. Это значит, что функция у = х 2 + 2х + 3 не пересекает ось Ох, и, так как коэффициент а этого трехчлена положителен, то выражение х 2 + 2х + 3 больше нулю при любом х.

Это можно показать и иначе, если выделить полный квадрат из трехчлена:

х 2 + 2х + 3 = х 2 + 2х + 1 + 2 = (х + 1) 2 + 2

Перепишем исходное нер-во с учетом разложения многочлена на множители:

(х – 1)(х 2 + 2х + 3) > 0

Так как выражение х 2 + 2х + 3 положительно при любом значении х, то мы можем поделить неравенство на него:

Отсюда получаем, что х∊(1; + ∞).

Пример. Укажите наименьшее целое решение неравенства

4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 > 0

Решение. Попытаемся найти корень многочлена 4х 3 + 4х 2 – 7х + 2. Целый корень должен быть делителем двойки (свободного члена), то есть возможны варианты 1 и (–1), 2 и (– 2). Из них подходит только – 2:

4•(– 2) 3 + 4•(– 2) 2 – 7•(– 2) + 2 = – 32 + 16 + 14 + 2 = 0

Значит, можно поделить исходный многочлен на х + 2:

Можно записать, что 4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х 2 – 4х + 1).

Далее разложим получившийся при делении квадратный трехчлен на множители, для чего приравняем его к нулю:

D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•4•1 = 16 – 16 = 0

Получается, что есть лишь один корень.

х = – b/(2a) = – (– 4)/(2•4) = 0,5

Если у квадратного трехчлена дискриминант равен нулю, то это значит, что он является полным квадратом какого-то выражения. Действительно:

4х 2 – 4х + 1 = (2х) 2 – 2•2х•1 + 1 2 = (2х – 1) 2

Тогда можно записать:

4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х 2 – 4х + 1) = (х + 2)(2х – 1) 2 =

Перепишем с учетом этого исходное нер-во:

4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 > 0

(х + 2)(2х – 1)(2х – 1) > 0

Вынесем множитель 2 из двух последних скобок и поделим нер-во на них:

(х + 2)•2•(х – 0,5)•2•(х – 0,5) > 0

(х + 2)(х – 0,5)(х – 0,5) > 0

Решим его методом интервалов:

Снова из-за двух одинаковых скобок (х – 0,5) на соседних промежутках (– 2; 0,5) и (0,5; 2) получили один и тот же знак. Функция положительна на них, однако она равна нулю при х = 0,5, поэтому это число из решения неравенства исключается. Получаем, что х∈(– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞).

Нам надо указать наименьшее целое решение. Самым малым целым числом из множества (– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞) является (– 1).

Дробно-рациональные неравенства

До сих пор мы рассматривали целые нер-ва. Однако, по аналогии с уравнениями, существуют ещё и дробно-рациональные нер-ва. В них выражение с переменной может стоять в знаменателе. Приведем примеры дробно-рациональных нер-в:

Любое такое нер-во можно представить в виде

где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены. Естественно, вместо знака «>» может стоять и другой знак. Для примера преобразуем к такому виду нер-во

Перенесем все слагаемые влево:

Далее приведем левую часть к общему знаменателю:

Осталось раскрыть скобки:

В итоге и в числителе, и в знаменателе стоят многочлены.

Докажем, что они равносильны друг другу. Возможны 5 случаев:

1. И а, и b являются положительными числами. Тогда оба нер-ва верны, ведь и произведение, и отношение двух положительных чисел само положительно:

1. Оба числа, а и b, отрицательны, тогда снова оба нер-ва справедливы, ведь при умножении и делении двух отрицательных чисел получается положительное число. Например:

1. Только одно из чисел положительно, а другое отрицательно, тогда их произведение, как и частное, меньше нуля, и нер-ва неверны:

(– 10)•5 = – 50 0 и ab> 0 снова одновременно неверны.

Получили, что при любых значениях а и b нер-ва а/b> 0 и ab> 0 либо одновременно справедливы, либо одновременно несправедливы. Это значит, что они равносильны.

Это значит, что от дробно-рационального нер-ва можно перейти к равносильному ему целому нер-ву.

Пример. Решите нер-во

Исходному нер-ву равносильно иное нер-во:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)> 0

Решим его методом интервалов:

Получаем, что х∊(1; 2)∪(3; 4).

Пример. Решите нер-во

Решение. В числителе и знаменателе находятся квадратные трехчлены. Их можно разложить на корни, если знать их корни. Найдем их.

D = b 2 – 4ас = (– 9) 2 – 4•1•14 = 84 – 56 = 25

Так как корни равны 2 и 7, то можно записать, что

х 2 – 9х + 14 = (х – 2)(х – 7)

Аналогично разложим знаменатель

х 2 – 14х + 45 = 0

D = b 2 – 4ас = (– 14) 2 – 4•1•45 = 196 – 180 = 16

х 2 – 14х + 45 = (х – 5)(х – 9)

Перепишем исходное нер-во:

Ему равносильно другое нер-во:

(х – 2)(х – 7)(х – 5)(х – 9) > 0

Его можно решить методом интервалов:

Получаем, что х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Обратим внимание на одну особенность метода интервала в случаях, когда решается дробно-рациональное нер-во. Она касается нестрогих нер-в (со знаками «≤» и «≥»). В целых нестрогих нер-вах сами точки, при которых выражение слева обращается в ноль, включаются в решение. Но при рассмотрении дроби важно понимать, что ее знаменатель не может быть равным нулю. Поэтому при нестрогом нер-ве в ответ надо включить точки, обращающие в ноль числитель, но при этом исключить точки, обращающие в ноль знаменатель.

Пример. Решите нер-во

Числитель обращается в ноль в точках (– 2) и 4, а знаменатель – в точках (– 7) и 8. Так как нер-во нестрогое, то числа 4 и (– 2) будут входить в решение (на координатной прямой мы отметим их закрашенным кружочком), а числа (– 7) и 8 – нет (их отметим как «выколотые точки»):

В итоге получаем, что дробь неотрицательна при х∊(– ∞; – 7)∪[– 2; 4]∪(8; – ∞).

Неравенства с переменными, их частные и общее решение

Неравенства, содержащие переменную, занимают основную долю в общем объеме изучения темы «Неравенства» школьной программы математики и алгебры. Данная статья содержит базовый материал: определение понятия неравенства с переменными и их решений, способ записи решений неравенств. Также для наглядности приведем решение практических задач.

Определение неравенств с переменными

Числовые неравенства мы разобрали в соответствующей статье, выяснив что числовыми неравенствами являются два числовых выражения, между которыми располагается какой-либо из знаков неравенства. Заменив хотя бы одно из числовых выражений выражением с переменной, мы получим неравенство с переменными. Такое определение дано по виду записи подобных неравенств. Выделяют неравенства с одной, двумя, тремя и большим количеством переменных по числу переменных, использующихся в записи неравенства.

Неравенства с одной переменной

Неравенство с одной переменной – это неравенство, в записи которого используется одна переменная.

К примеру, k 7 – неравенство с одной переменной k ; 8 ≥ d 2 – 3 – неравенство с одной переменной d . При этом возможно, что переменная будет участвовать в записи несколько раз, например:

( ( 2 · x — 5 · t 2 ) · ( t — 1 ) 1 t или t — 1 + 4 ≥ 1 t — t 3 t + 3

Неравенства с двумя переменными

Неравенство с двумя переменными – это неравенство, в записи которого используются две неодинаковые переменные.

Например, m 3 + 1 5 · n 2 > 13 – неравенство с двумя переменными m и n ;

( f + 2 · g ) 3 7 + 3 7 — f f 2 + 1 – неравенство с двумя переменными f и g .

По записи неравенства с двумя переменными схожи с неравенствами с параметром и одной переменной. Но тогда, как правило, в условиях всегда указывается, какие буквы служат обозначением параметров, поэтому вопрос о том, сколько переменных в заданном неравенстве, обычно не возникает.

Неравенства с тремя или больше переменными

Неравенства с тремя, четырьмя и т.д. переменными – это неравенства, в записи которых используются три, четыре и т.д. переменных.

В школьной программе подобные неравенства встречаются редко, но тем не менее существуют. Например, шар, радиус которого равен 2 и центр которого совпадает с началом координат, возможно определить неравенством с тремя переменными: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .

Решения неравенства: частное, общее и простое решение

Решение неравенства с одной переменной – такое значение переменной, которое обращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

В качестве примера возьмем простое неравенство вида y > 9 . Пусть y = 13 . Подставим это значение в исходное неравенство и получим числовое неравенство 13 > 9 . Оно является верным, а значит 13 является решением исходного неравенства y > 9 . А вот число y = 5 не станет решением данного неравенства, поскольку, подставив такое значение переменной, мы получим неверное числовое неравенство: 5 > 9 .

Логичным следствием является вопрос о возможном количестве решений конкретного неравенства. Отметим, что неравенство с одной переменной может не иметь решений, иметь конечное количество решений или иметь бесконечно много решений. Мы рассмотрим это утверждение, имеющее большую значимость в практике, более детально в изучении самого процесса нахождения решений неравенств.

• неравенство может не иметь решений. К примеру: z 2 — 2 . В самом деле, при любом действительном значении переменной z , мы будем иметь неверное числовое неравенство, опираясь на то, что, согласно свойствам степени, квадрат любого числа является неотрицательным числом. Оно, в свою очередь, никак не может быть меньше — 2 .
• неравенство может иметь лишь одно решение. Например, неравенство f = 1 ≤ 0 имеет решение f = 1 , и оно единственно;
• неравенство может иметь конечное количество решений: три, шесть и т.п. Как пример, рассмотрим неравенство | x 2 — 1 | ≤ 0 , решений которого существует ровно два: 1 и — 1 ;
• неравенство может иметь бесконечно много решений. Например: t > 5 . Решением данного неравенства станет любое действительное число, большее 5 : 13 , 87 , 601 , 8 2 5 и т.п.

Все вышесказанное верно и для неравенств с двумя, тремя и более переменными.

Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений заданных переменных, при которых исходное неравенство с переменными преобразуется в верное числовое неравенство.

В качестве примера рассмотрим неравенство с двумя переменными y и z : y + 1 > 2 · z . Пара значений переменных y и z : 1 и 0 соответственно, являются решением заданного неравенства, поскольку подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 1 + 1 > 2 · 0 . В то же время пара значений y = 2 , z = 4 не будет служить решением исходного неравенства: их подстановка создаст неверное числовое неравенство 2 + 1 > 2 · 4 .

Пара значений переменных зачастую записывается в скобках наподобие координат точек в прямоугольной системе координат. Например, для вышеуказанного примера решение запишется так: ( 1 , 0 ) .

Все вышесказанное верно и для неравенств с большим количеством переменных.

Решение неравенства с тремя, четырьмя и более переменными – это тройка, четверка и т.п. значений заданных переменных, при которых исходное неравенство преобразуется в верное числовое неравенство.

Например, рассмотрим неравенство с четырьмя переменными a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 36 . Четверка значений этих переменных, такие как: a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 4 , являются решением исходного неравенства, поскольку, подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ≤ 36 .

Также рассмотрим такие понятия как «частное решение неравенства» и «общее решение неравенства».

Частное решение неравенства – это некоторое отдельно взятое решение исходного неравенства.

К примеру, 17 – частное решение неравенства m 101 . Еще одним частным решением указанного неравенства будет число 7 .

Общее решение неравенства – множество всех частных решений исходного неравенства.

Рассмотрим на том же примере: m 101 . Общим решением этого неравенства будет множество чисел, меньших 101 .

Несмотря на частоту использования указанной терминологии, все же намного чаще применяют понятие решения неравенства без неких уточнений, наделяя при этом смыслом общего решения. В случае, когда необходимо определить отдельное решение, в исходном задании так и указывают.

Способ записи общего решения неравенства

Навык записи общего решения неравенства нужен для формирования ответа при решении задач. Сначала разберем принятые правила записи на примере решений неравенств с одной переменной.

Напомним, что решение неравенства с одной переменной – это либо число, либо множество чисел, т.е. числовое множество.

Когда равенство не имеет решений, пишут буквально – «нет решений», либо применяют знак пустого множества ∅ .

Когда общее решение – одно число, так его и записывают: 2 , — 1 , 15 ли 8 17 . А также можно заключить его в фигурные скобки.

Когда общее решение – несколько чисел (при этом их немного), нужно либо записать их по очереди, отделив запятой или точкой с запятой, либо – через запятую, заключив в фигурные скобки. Например: 6 , 12 , 4 5 или < 6 , 12 , 4 5 >.

Наконец, когда общее решение включает в себя бесконечно много решений, то применяют общепринятые обозначения множеств натуральных чисел ( N ) , целых чисел ( N ) , рациональных чисел ( Q ) , действительных чисел ( R ) , а также числовых промежутков, множеств отдельных чисел и т.п. В практике чаще встречаются простейшие неравенства и числовые промежутки. Пусть, решением некоторого неравенства станут: число 3 , полуинтервал ( 5 ; 9 ] и луч [ 13 ; + ∞ ) , тогда ответ запишется так: 3 , ( 5 , 9 ] , [ 13 , + ∞ ) , или: 3 ꓴ ( 5 , 9 ] ꓴ [ 13 , + ∞ ) , или: x = 3 , 5 x ≤ 9 , x ≥ 13 .

Чтобы записать общее решение неравенства с двумя, тремя и более переменными при небольшом количестве решений, перечисляют их все; либо делают описание множеств переменных. К примеру, d – любое целое число, s равно 0 или 1 , t = — 3 , m = 17 .

Зачастую решение для неравенства с двумя переменными не записывают, а «зарисовывают», изображая решения неравенства на координатной плоскости. Пусть задано неравенство: 2 · х — у ≥ 5 ; его решение – все точки, расположенные на и ниже прямой, определяемой формулой: у = 2 · х — 5 .

Решением неравенства с тремя переменными станет некое множество точек трехмерного пространства.

Решение неравенств

Содержание:

Неравенство — это отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Основные понятия, связанные с решением неравенств с одной переменной

Пусть дано неравенство f(x) > g(x). Всякое значение переменной х, при котором данное неравенство, обращается в верное числовое неравенство, называют решением неравенства. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называют равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенством и т. д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Теорема 1.

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Например, неравенства равносильны по теореме 1. Неравенства и равносильны по теореме 2 (обе части

неравенства разделили на положительное число 3, оставив без изменения знак -2 равносильны по теореме 3 (обе части неравенства —6х ).

На практике иногда полезны теоремы, являющиеся обобщениями теорем 2 и 3.

Теорема 4.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 5.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Графическое решение неравенств с одной переменной

Для графического решения неравенства f(x) > g(x) нужно построить графики функций у = f(x) и у = g(x) и выбрать те участки оси абсцисс, на которых график функции у = f(x) расположен выше графика функции у = g(x).

Пример:

Решить графически неравенство

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций (рис. 1.113).

Из рисунка видно, что график функции расположен выше графика функции при х > 2.

Ответ:

Линейные неравенства с одной переменной

Линейным называют неравенство вида (или соответственно ). Если , то неравенство равносильно неравенству (см. теорему 2); значит, множество решений неравенства есть промежуток . Если , то неравенство равносильно неравенству (см. теорему 3); значит, множество решений неравенства есть промежуток . Если , то неравенство принимает вид ; оно не имеет решений, если , и верно при любых х, если b З и Зх-2 может быть и любой другой знак неравенства), где р(х) и q(x) — многочлены, основано на следующем рассуждении.

Рассмотрим выражение , где Если х > d, то каждый из множителей положителен и, следовательно, на промежутке имеем h(x) > 0. Если с 0 и т. д. (рис. 1.124).

Изменение знаков h(x) удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют «кривой знаков»), которую чертят справа налево, начиная сверху (рис. 1.125). Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство h(x) > 0, на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем h(x) g(x). В случае же, когда , неравенство равносильно неравенству противоположного смысла f(х) g(x). В случае же, когда , от исходного неравенства следует перейти к неравенству противоположного смысла f(х) 0 и g(x) > 0.

Таким образом, неравенство при равносильно системе неравенств

а при равносильно системе неравенств

Заметим, что систему (1) можно упростить: неравенство f(x) > 0 вытекает из неравенств f(x) > g(x), g(x) > 0, поэтому неравенство f(x) > 0 можно опустить, т. е. переписать систему (1) в виде

Аналогично, систему (2) можно переписать в виде

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Так как , то данное неравенство можно переписать в виде Далее имеем

откуда

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Чтобы все логарифмы имели смысл, должны выполняться неравенства х + 2 > 0 и 2х — 6 > 0. Используя свойства логарифмов, преобразуем заданное неравенство:

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств

С помощью координатной прямой (рис. 1.128) устанавливаем, что множество решений последней системы, а значит, и заданного неравенства есть интервал (3; 8).

Иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Теорема 8.

Если обе части неравенства принимают на некотором множестве X только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X).

Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида

(1)

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства и решением неравенства g(x) > 0 (из неравенства (1) следует, что ). Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

Итак, неравенство равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенство вида

(2)

Как и выше, заключаем, что , но в отличие от предыдущего случая здесь g(x) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев: g(x) 0.

Решение:

Построим график функции у = sin х и выберем на оси х значения аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси х. Одним из промежутков, содержащих такие точки оси х, является интервал (рис. 1.129), а всего таких интервалов будет бесконечно много,

причем в силу периодичности функции у = sin х каждый из них получается из сдвигом по оси х на Таким образом, решением заданного неравенства служит объединение интервалов вида Это можно записать так:

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Построим график функции у = cos х и проведем прямую Нас интересуют те значения аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой Одним из нужных нам промежутков является интервал (рис. 1.130).

Воспользовавшись периодичностью функции у = cos х, запишем ответ:

Пример 3.

Решить неравенство .

Решение:

Построим график функции у = tg х и проведем прямую у = -1. Нас интересуют те значения х, которым соответствуют точки графика, лежащие не ниже прямой у = — 1.

Одним из нужных нам промежутков является (рис. 1.131), а всего таких промежутков будет бесконечно много, причем в силу периодичности функции у = tg х каждый получается из сдвигом по оси х на Это позволяет записать решение следующим образом:

Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Рассмотрим неравенство f(x; у) > g(x; у). Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений переменных, которая обращает неравенство с переменными в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х; у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Пример 1.

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства х + у — 1 > 0.

Решение:

Преобразуем данное неравенство к виду у > -х + 1. Построим на координатной плоскости прямую у = -х + 1. Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой у = —х + 1, больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой, и будет геометрическим изображением решений заданного неравенства (рис. 1.132).

Пример 2.

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Решение:

Преобразуем неравенство к виду . Построим на координатной плоскости параболу — график функции .

Так как ордината любой точки, лежащей выше параболы , больше, чем ордината точки, имеющей ту же абсциссу, но лежащей на параболе, и так как неравенство нестрогое, то геометрическим изображением решений заданного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе и выше нее (рис. 1.133).

Пример 3.

Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Геометрическим изображением решений системы неравенств является множество точек первого координатного угла (рис. 1.134). Геометрическим изображением решений неравенства х + у 4 или, поскольку х > 0, неравенства является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции (рис. 1.136). В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции у = 5 — х, и выше гиперболы, служащей графиком функции (рис. 1.137).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Неравенства и их геометрическое содержание

Метод координат позволяет геометрически толковать не только уравнения, а так же и неравенства.

Потому как мы говорим, что уравнение с двумя переменными и обозначает на плоскости некоторую линию, можно сказать, что неравенство с двумя переменными и обозначается множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Таким образом геометрически толковать и неравенство

Если выражение является линейным, то есть где — постоянные, то мы получим линейное уравнение

и два линейные неравенства

Если коэффициенты и не равны одновременно нулю, то уравнение (2.40) обозначает на плоскости прямую, а неравенства (2.41) и (2.42) — соответственно две полуплоскости, на которой прямая (2.40) разбивает координатную плоскость. Для того чтобы выяснить, какая из двух полуплоскостей обозначается заданной линейным неравенством, можно использовать, например, такой способ.

Выберем какую нибудь точку. подставим ее координаты в неравенство, что проверяется.

Если координаты точки удовлетворяют неравенству, то неравенство обозначает ту плоскость, в которой находится выбранная точка: если же координаты точки не удовлетворяют неравенство, то неравенство обозначает плоскость, которая не содержит выбранной точки.

Пример:

Записать с помощью неравенства ту полуплоскость, в которой лежит точка и границей которой прямая Проверить, лежит в этой же полуплоскости начало координат.

Решение. Подставим координаты точки в левую часть уравнения заданной прямой: Полученная величина положительна. Следует, точка не принадлежит на заданной прямой, а искомая плоскость обозначается неравенством

Студенту рекомендовано сделать рисунок и решить самостоятельно вторую часть примера.

Можно рассмотреть также систему неравенств:

Областью решения системы неравенств называется множество всех точек, координаты каждой из них удовлетворяют всем неравенствам системы.

пересечением нескольких множеств точек называется множество точек, каждая из которых принадлежим всем множествам, что пересекаются. Очевидно, областью решения системы неравенства служит пересечение областей решения каждой из неравенства системы.

Областью решений, системы линейных уравнений

является, очевидно пересечение полуплоскостей, что обозначается каждой из неравенств системы. Эта область может быть и пустым множеством, то есть множеством, которая не содержит ни одной точки.

Если же это множество точек не пустое, то она обозначается многоугольной областью. Если кроме того, эта область ограничена, то есть не содержит точек как и при большим значением координат, то ее называют началом многоугольника.

Пример:

Записать с помощью системы неравенств множество точек, что лежат посередине треугольника с вершинами

Решение. Студенту рекомендовано выполнить рис., очевидно, множество всех внутренних точек треугольника можно рассмотреть как пересечение трех полуплоскостей, из которых первая ограничена прямой и содержит точку вторая ограничена прямой и содержит точку

найдем неравенство, что обозначает первую из этих полуплоскостей. Сложим уравнение прямой зная координаты точек и

или

Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки получим Следует, первая полуплоскость обозначается неравенством

Аналогично, плоскость, что ограничена прямой и содержит точку обозначается неравенством:

А плоскость, что ограничена прямой и содержит точку обозначается неравенством:

Следует множество всех внутренних точек треугольника обозначается системой неравенств

Если вместо строгих неравенств ( или ) рассматривать не строгие неравенства ( или ), то обозначенная ими область включается и границы этих полуплоскостей.

Например, область решений неравенств:

является область, что ограничена треугольником включая ее как внутренние, так и граничные точки, то есть и точки отрезков

Аналогично интерпретируются геометрически линейные неравенства тремя переменными. Линейное неравенство с тремя неизвестными обозначается полуплоскость, а система таких неравенств — пересечение полупространства. Если он не пустой, является многогранной областью или в случае ограниченности многогранником.

Примеры решения задач:

Задача 2.121.

Построить область решений системы линейных неравенств:

Решение. Построим граничные прямые, что соответствуют данным неравенств, по двум точкам, что соответствуют этим прямым

Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Та из них, что содержит начало координат и является областью решений каждой из неравенств. Стрелками обозначим полуплоскости, которые являются областями решений данных неравенств. Пересечение отмеченных полуплоскостей — четырехугольник — область решения данной системы (рис. 2.21).

Задача 2.122 Построить область решений системы линейных неравенств:

Решение. Построим граничные прямые, что соответствуют данным неравенствам:

Область решение первой прямой содержит начало координат, а область решений второй и третьей неравенств — не содержат начало координат. Стрелками обозначим полуплоскости, точки которых удовлетворяют неравенствам. Областью решений является выпуклая неограниченная область (рис. 2.22).

Задача 2.123

Построить область решений системы линейных неравенств:

Решение. Строим граничные прямые:

Строим область решений каждого неравенства (рис. 2.23).

Не существует ни одной точки для всех плоскостей, что соответствуют данным уравнениям. Следует, область решений пустая. Система неравенств несовместима.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.