Решение неравенства и уравнения логарифмической функции

Основные положения и примеры решения простейших логарифмических неравенств.

С этим разделом могут ознакомиться и выпускники, которые планируют сдавать экзамен по математике на базовом уровне.
На профильном экзамене встречаются более сложные неравенства, но их также тем или иным образом требуется сводить к простейшим.

К простейшим относятся логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную переменную в составе аргумента логарифмической функции с фиксированным основанием, т.е. это неравенства вида \(log_a > \log_a\), где \(a>0,\;a\ne1\) и неравенства, сводящиеся к этому виду.
В более общих случаях неизвестная величина может встречаться и в основании логарифма.

Чтобы решать как логарифмические неравенства, так и логарифмические уравнения, нужно вспомнить определение и свойства логарифмической функции как таковой.
1) Логарифм – трансцендентная функция, т.е. аналитическая функция, которая не может быть задана с помощью алгебраического уравнения. Поэтому чтобы получить решение простейшего логарифмического неравенства, нужно сначала перейти к алгебраическим соотношениям, т.е. «убрать» логарифм.
2) Логарифм – однозначная и монотонная функция, что означает каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции. Поэтому её можно сравнивать саму с собой и «вычёркивать» логарифм. Как и в каких случаях это делать, рассмотрим на примерых ниже.
3) Главное – логарифмическая функция имеет ограниченную область определения. Это означает, что при решении любых заданий с логарифмами, содержащими переменные, нужно не забывать про ОДЗ (область допустимых значений) этой переменной.

Область значений функции E = R – всё множество действительных чисел. Т.е. сам логарифм, в отличие от его аргумента и основания, может принимать любые значения из промежутка \((-\infty; +\infty)\).

Как уже упоминалось, логарифмическая функция монотонна. Посмотрите на её графики.

При a > 1 функция возрастающая,

Поэтому для решения простейших логарифмических неравенств достаточно преобразовать обе части неравенства к логарифму с одинаковым основанием и затем сравнить подлогарифмические выражения. Таким образом мы сравниваем функцию с самой собой при разных значениях её аргумента, т.е. как бы «вычёркиваем» log с обеих сторон неравенства. При этом,
— если основание степени больше единицы, то знак неравенства без «log» будет таким же, как знак исходного неравенства, что характерно для возрастающих функций – большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
— если основание степени меньше единицы, то знак неравенства будет обратным по отношению к знаку исходного неравенства, что характерно для убывающих функций – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений (ОДЗ) выражения \(2x+7>0.\)

Воспользуемся определением логарифма, чтобы представить число −2 в виде значения логарифмической функции с основаением 0,2.

\[0,2^ <-2>= \left(\frac<1><5>\right)^ <-2>= \left(\frac<5><1>\right)^ <2>= 25,\]
следовательно \(-2 = \log_<0,2><25>,\) и заданное неравенство можно преобразовать к виду \[\log_<0,2><(2x+7)>\log_<0,2><25>.>\] Теперь можно «отбросить логарифм», изменив знак неравенства на противоположный, так как его основание 0,2 0,> \\ <2x+7 -3,5,>\\ 0\). Это ОДЗ.
Преобразуем неравенство:
\(\text\;-\) это сокращенное обозначение для десятичного логарифма \(\log_<10>\). Так как \(10^2 = 100,\) то \(2 = \text<100>\). Далее используем свойства логарифмов \[ \text <(x+2)>1, то логарифм «отбросили» с сохранением знака неравенства.
Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств \[\begin x+2>0,\\[1ex] 2x-6>0,\\[1ex] (x+2)(2x-6) -2,\\ 2x>6,\\ 2x^2+4x-6x-12 — 2,>\\ 3,>\\

Ответ: \(x \in (3; 8). \)

Введение вспомогательной переменной

Пример 4.

Решение.

Аргументом обоих логарифмов является один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\), однако основания логарифмов различны – это 2 и 0,5, поэтому нужно воспользоваться свойствами логарифмической функции и привести логарифмы к одному основанию. Поскольку \(0,5 = \dfrac<1> <2>= 2^<-1>\), то приводить будем второй логарифм к основанию 2. Для этого используем формулу \(\log_b=\frac<1>\log_a\): \[\log_<0,5> <(4+3x-x^2)>= \log_<2^<-1>><(4+3x-x^2)>=\frac<1><-1>\log_2 <(4+3x-x^2)>= -\log_2<(4+3x-x^2)>\] Теперь неравенство имеет следующий вид \[\log_2^2 <(4+3x-x^2)>— 7\log_2 <(4+3x-x^2)>+10 > 0.\]

В последнем неравенстве неизвестная величина встречается в обоих слагаемых в совершенно одинаковой форме, поэтому можно продолжить решение методом введения вспомогательной переменной.

Пусть \(y = \log_2<(4+3x-x^2)>\), тогда логарифмическое неравенство преобразуется в обычное квадратное неравенство \[y^2 — 7y +10 > 0,\] которое решается графически (через параболу) или методом интервалов. Сделайте это самостоятельно. Ответ получится такой \(y \in (-\infty;2)\cup(5;+\infty)\) или, что то же самое \[\left[<\begin \end>\right. \] Последняя запись удобнее для возврата от вспомогательной переменной к логарифму \[\left[<\begin \log_2 <(4+3x-x^2)>5. \end>\right.\] Имеем два простейших неравенства для логарифмов с основанием \(2 > 1\), решаем их \[\log_2 <(4+3x-x^2)>5 \\ \log_2 <(4+3x-x^2)>> \log_2 <32>\\ 4+3x-x^2 > 32. \] Получившиеся два квадратных неравенства вместе с ОДЗ (не забывать о ней!) образуют совокупность двух систем неравенств, решая которые получим окончательный ответ. \[<\left[<\begin <\begin4+3x-x^2 > 0,\\ 4+3x-x^2 0 ; \end>\right. \\ <\begin4+3x-x^2 > 0,\\ 4+3x-x^2 > 32. \end > \left|<\begin x^2 -3x-4 3; \end>\right.> \end > \\ <\;\;x \in \varnothing .>\end>\right.>\] Объединяя множества решений совокупностей неравенств (обозначены квадратной скобкой «[«) и пересекая множества решений систем неравенств (обозначены фигурной скобкой скобкой «<"), делаем окончательный вывод \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)

Замечание 1. Чтобы не выписывать совокупности систем и системы совокупностей, особенно, если вы путаетесь в этих скобках, можно все этапы решения реализовать схемами на числовой оси.

Замечание 2. Заметим, что с некоторого момента решение задачи сводится к анализу неравенств, в которых один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\) сравнивается с числовыми значениями. Поэтому дальнейшие действия можно свести к построению одной параболы – эскиза графика функции \(y = 4+3x-x^2\) – и посмотреть как она соотносится с горизонтальными линиями \(y = 0, \; y = 4\; и\; y =32.\) (Вспомните аналогичное задание 2-й части ОГЭ за 9-ый класс.) На это не уйдёт много времени, т.к. коэффициенты трёхчлена целые числа, корни легко вычисляются по теореме Виета, а параболу достаточно построить только по характерным точкам.
Как быстро построить параболу можно посмотреть в видеоуроке на youtube-канале Mathematichka.

Ответ: \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)

Решение.

Выпишем ОДЗ неравенства.
Условие положительности всех аргументов логарифмической функции \[\begin 64x > 0;\\ x > 0;\\ x^4 > 0 \end\] сводится к одному требованию \(x > 0\).
Условие неравенства нулю знаменателей всех дробей \[\begin \log_4−3 \ne 0;\\ \log_4 <(64x)>\ne 0;\\ \log^2_4−9 \ne 0\\ \end\] пока запишем формально, анализировать будем в процессе решения.

В этом примере в отличие от предыдущего, напротив, основания всех логарифмов одинаковы – логарифм по основанию 4, но отличаются аргументы. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражения. \[\log_4 <(64x)>= \log_4<64>+\log_4=3+\log_4;\\ \log_4 = 4\log_4.\] Тогда неравенство приобретает вид \[\frac<3+\log_4><\log_4−3>+\frac<\log_4−3><3+\log_4>\geqslant\frac<4\log_4+16><\log^2_4−9>,\] где логарифм встречается только в виде \(\log_4\). Введём вспомогательную переменную \(y = \log_4\). \[\frac<3+y>+\frac<3+y>\geqslant\frac<4y+16>\] Получили дробно-рациональное неравенство. Дальнейшие преобразования производим с целью упростить и разложить на множители, чтобы решить методом интервалов. \[\frac<(3+y)^2 + (y-3)^2 > — \frac<4y+16>\geqslant 0,\\ \frac<9+2y+y^2 + y^2-2y+9 - 4y -16 >\geqslant 0,\\ \frac<2y^2- 4y+2 >\geqslant 0,\\ \frac<2(y-1)^2 ><(y+3)(y-3)>\geqslant 0.\] Решение на рисунке.

Учитывая, что до сих пор все преобразования, которые производились, были равносильными, можем утверждать, что выколов точки 3 и −3 из возможных значений переменной \(y\), мы обеспечили неравенство нулю общего знаменателя дроби, а значит и всех дробей, участвовавших в равносильных преобразованиях. Тем самым выполнена вторая часть ограничений ОДЗ неравенства.

Итак, неравенство для переменной \(y = \log_4\) выполняется при \[<\left[<\begin y 3; \end>\right.> \; <\left|<\begin \log_4 3; \end>\right.> \; <\left|<\begin \log_4 \log_4<64>; \end>\right.> \; <\left|<\begin x 64. \end>\right.>\] С учётом первого условия ОДЗ \((x>0)\), получаем окончательный ответ

Ответ: \(x \in \left(0; \;\dfrac<1><64>\right) \cup \ <4\>\cup (64;\;+\infty)\).

О разложении на множители

\( \log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 0.\)\[ \log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 0; \end > \\ <\begin\log_4 — 1 > 0,\\ \log_3 — 1 1; \end > \; \left|\; <\begin < \log_4\log_3<3>; > \end> \right. \\ <\begin\log_4> 1,\\ \log_3 \log_4<4>,\\ \log_3 3; \end > \; |\; \\ <\beginx > 4,\\ x 0\), можем записать ответ.

Решение II – вспомогательная переменная.

ОДЗ: \(x>0.\)
Приведём логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. \[\log_4 = \frac<\log_3><\log_3<4>>.\] \[\log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 1.\) Имеем \[ 1 0\), следовательно это окончательный ответ.

Решение III – через уравнение.

ОДЗ: \(x>0.\)
Заменим знак » 0,\] так как \(\sqrt <3>1,\) то \(\log_4<\sqrt<3>> 1,\) то \(\log_4 <3,5>3^1\; и\; 3>1,\) то \(\log_3 <3,5>> 1.\)
3) пусть \(x = 9; \;x \in (4;+\infty)\) \[\log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 = \\ = \log_3<9>\cdot\log_4 <9>— \log_3 <9>— \log_4 <9>+1 = \\ = 2\log_4 <9>— 2 — \log_4 <9>+ 1 = \\ = \log_4 <9>— 1 >0, \] так как \(9 > 4^1\; и\; 4>1,\) то \(\log_4 <9>> 1.\)

По рисунку формулируем ответ.

Сравните все три способа решения для этого вовсе не сложного неравенства и определитесь, какой вариант наиболее приемлем для вас.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ />Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ /> (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

9. Решите неравенство:

Выражение 5 — x 2 навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, ( t − 3) (5 9 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625 t − 2) 2 .

Это означает, что 625 t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3)%5E%3C2%3E-(625t-2)%5E%3C2%3E%3E0;» />
0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3-625t+2)(t-3+625t-2)%3E0;» />
0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(-624t-1)(626t-5)%3E0.» />
Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

9;» src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E%3C2%3E%3E&space;9;» /> 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-3)(x+3)%3E0″ />Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg | x − 3| равно нулю, если | x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (| x| − 2) равно нулю, если | x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

0\\ x+2\neq 1\\ 36+16x-x^<2>>0\\ x\neq 18 \end\right. \: \: \: \: \: \: \: \: \Leftrightarrow \: \: \: \: \: \left\ <\beginx>-2\\ x\neq -1\\ x\in (-2;18) \end\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x+2%3E0%5C%5C&space;x+2%5Cneq&space;1%5C%5C&space;36+16x-x%5E%3C2%3E%3E0%5C%5C&space;x%5Cneq&space;18&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5CLeftrightarrow&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x%3E-2%5C%5C&space;x%5Cneq&space;-1%5C%5C&space;x%5Cin&space;(-2;18)&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.» />
Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x x — 18) 2 =(18 — x) 2 . Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

— не удовлетворяет ОДЗ;

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.