Решение нестандартных уравнений 11 класс

Электив для 11 класса «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»
элективный курс по алгебре (11 класс)

Пояснительная записка и КТП

Скачать:

Вложение	Размер
elektiv_11v_vinogradova.docx	35.37 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1 им. Ю.А.Гагарина»

Рассмотрено на школьном методическом объединении

Пр. №_____ от «______»________20____г.

Приказ №________ от «____»______20__г.

Элективного курса по математике

«Нестадартные методы решения уравнений и неравенств»

2018-2019 учебный год

Рабочую программу составил учитель _Виноградова Г.В.

«Методы решения нестандартных уравнений и неравенств»

Предлагаемый элективный курс поддерживает на должном уровне изучение

одного из основных школьных предметов и может с успехом использоваться в классах любого профиля. Курс предназначен для учащихся 11 классов и рассчитан на 34 часа.

Среди школьных предметов математика занимает совершенно особое место, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности. Следование математической логике может помочь при решении разного рода «нематематических» проблем, например, в рассуждениях касающихся философии, политики и даже обыденной жизни.

Знания и умения, выработанные на уроках математики, необходимы и при изучении других школьных предметов, где используется аппарат этой науки.

Элективные курсы по математике позволяют, не выходя за рамки учебной нагрузки, развивать содержание базового курса, перейти на более высокий уровень знаний, получить дополнительные навыки, необходимые при сдаче ЕГЭ, а также помогают готовить учащихся к осознанному выбору будущей профессии.

Элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений и неравенств» направлен на расширение и углубление знаний учащихся по отдельным разделам основного курса математики и предусматривает изучение общих методов решения уравнений и неравенств, но на более сложных задачах и с рассмотрением большего количества случаев, а также знакомит учащихся с нестандартными методами решения. При изучении данного курса у учащихся появится возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании.

Целесообразность данного курса состоит и в том, что его содержание и форма организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей.

Изучение данного курса определяется и тем, что экзамен по математике является обязательным для всех школьников. ЕГЭ по математике — процедура серьезная, требующая специальной подготовки, и большинству учащихся нужна не только хорошая оценка, а достаточно высокое количество баллов для поступления в вуз. Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы содержат уравнения и неравенства, методы решения которых не рассматриваются в школьном курсе математики. Способов решения уравнений множество, и выпускник средней школы должен владеть значительным их количеством.

Элективный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, играет большую роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Воспитательный эффект курса заключается в формировании таких важных качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, аккуратность.

Материал курса разбит на 5 модулей, каждый из которых посвящен специальному виду уравнений и неравенств. Выделена тема «Тригонометрические уравнения и неравенства». При их решении используются общие правила решения алгебраических уравнений и неравенств, но тригонометрические уравнения и неравенства обладают рядом специфических особенностей: четность-нечетность, периодичность, выполнение ряда формул. На этой специфике построены эффективные методы решения. Уравнения и неравенства классифицируются не только по внешнему виду, так как большинство уравнений и неравенств, предлагаемых на ЕГЭ, а особенно на конкурсном экзамене в ВУЗы, трудно отнести к какому-то одному виду. Чаще всего они смешанные: там есть и тригонометрия, и логарифмы, и иррациональность и т. п.

Значительное место в программе отведено самостоятельному решению задач, анализу способов их решения. Задания носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.

расширить знания учащихся о методах решения уравнений и неравенств и базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения;
сформировать умения и навыки в решении уравнений и неравенств повышенной сложности;
научить учащихся осуществлять выбор рационального метода решения и обосновывать сделанный выбор;
развивать познавательную активность учащихся при изучении нового типа задач;
повысить уровень математической подготовки учащихся.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

формирование навыков анализа и систематизации ранее приобретенных знаний учащихся при проектировании решения новых нестандартных задач;

развитие логического мышления, алгоритмической культуры и интуиции;
развитие у учащихся интереса к математике;
развитие личности ребенка, распознавание и раскрытие его способностей;
развитие навыков организации умственного труда и самообразования;
воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности.

На занятиях используются следующие методы обучения :

объяснительно-иллюстративный;
поисково-исследовательский;
метод проблемного изучения материала;
практический метод

Формы организации учебного процесса:

лекция;
беседа;
практикум;
консультация;
работа в группе;
творческая работа;
самостоятельная работа.

Основой проведения занятий служит технология деятельностного метода, которая обеспечивает системное включение ребенка в процесс самостоятельного построения им нового знания и позволяет учителю проводить разноуровневое обучение. Занятия должны носить проблемный характер. Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют задания, предполагающие исследовательскую деятельность, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы.

В результате изучения курса учащиеся должны

основные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств;
теоретические основы способов решения.

решать уравнения и неравенства различными методами;
анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
самостоятельно работать с математической литературой;
проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата;
представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях.

Повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности.

Текущий контроль осуществляется по результатам выполнения учащимися практических заданий на уроках и дома, промежуточный контроль после изучения каждого блока, в виде зачетной работы с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективу развития. Смысл профильного курса заключается в предоставлении каждому ученику «индивидуальной зоны потенциального развития», поэтому нельзя требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого «нестандартного приема».

Итоговое занятие планируется провести в форме семинара с презентацией задач по каждой теме.

Урок алгебры для 11 класса «Нестандартные способы решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Урок алгебры для 11 класса

«Нестандартные способы решения уравнений»

Стратегической задачей образовательной политики является — развитие личности школьника и стимулирование его активности, создание условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Актуальность предлагаемого педагогического опыта связана с решением проблемы предпрофессиональной подготовки за счет расширения содержания образования.

Уравнения и неравенства, предлагаемые в КИМах Единого Государственного экзамена, вызывают затруднения , хотя на изучение темы « Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» в 11 классе физико- математического профиля отводится 33 часа .Такое положение объясняется очень большим разнообразием видов уравнений и еще большим количеством способов их решения , недостаточной теоретической подготовкой учащихся и малым количеством времени, уделяемого на решение нестандартных задач на уроке.

Содержание данного курса

дает возможность глубже рассмотреть некоторые разделы,

знакомит с новыми способами решения

способствовует совершенствованию и развитию математических знаний и умений,

способствует формированию интереса к предмету, пониманию роли математики в деятельности человека,

решение уравнений, неравенств и систем открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Программа рассчитана на 34 часа классных занятий и проводится в течение всего учебного года.

За основу была взята программа автора-составителя Ю.В. Лепехина «« Функции помогают уравнениям».

создание условий для прочного сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, связанных с решением уравнений , приобщение учащихся к творческой и исследовательской деятельности;

способствовать развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств, необходимых для общей социальной ориентации .

создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

Систематизирование и обобщение теоретических знаний, связанные с понятием рациональные уравнения;

Формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений;

Развитие умений коллективно-познавательного труда, логического и творческого мышления;

Развитие навыков исследовательской деятельности.

Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной переспективы, подготовить учащихся к ЕГЭ.

Содержание программы элективного курса в теоретической части предполагает изучение алгоритма решения нестандартных задач, формулы вычисления. В практическое содержание включены задачи различного уровня сложности с учетом уровня подготовки учащихся.

Эта программа направлена на дальнейшее совершенствование уже усвоенных умений, на формирование углубленных знаний, умение видеть приложение знаний к окружающей действительности, формирует устойчивый интерес учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

В процессе реализации данной программы использованы такие методы обучения :

метод проблемного обучения, с помощью которого учащиеся получают эталон научного мышления;

метод частично-поисковой деятельности, способствующий самостоятельному решению проблемы;

исследовательский метод, который поможет школьникам овладеть способами решения задач нестандартного содержания.

Основными формами организации учебного процесса являются рассказ, беседа, семинар, урок – практикум , индивидуальная работа анализ готовых решений . Часть занятий отводится работе на компьютере (построение графиков). Кроме того, при работе над определенными темами проводятся самостоятельные работы, тестирование.

Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения и неравенства , уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения и неравенства по видам и решать их предлагаемыми способами, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами, выбирать более рациональный способ решения.

Применять изученный алгоритм к решению более сложных задач

Введение (1 ч).

Рассмотреть определение уравнения, корня уравнения, определение равносильных уравнений, теоремы, с помощью которых переходим к равносильным уравнениям, примеры, когда при переходе от одного уравнения к другому теряется корень или появляется посторонний корень.

Целые рациональные уравнения ( 12 ч).

Преобразование алгебраических уравнений. Решение алгебраических уравнений методом подбора. Решение алгебраических уравнений методом группировки и разложением на множители. Решение алгебраических уравнений методом замены переменной. Однородные уравнения. Решение алгебраических уравнений методом введения параметра. Возвратное уравнение.. Метод неопределенных коэффициентов.

3. Дробно-рациональные уравнения. (8ч. )

Общие положения. Сведение рационального уравнения к алгебраическому. Решение рациональных уравнений методом разложения на множители и делением на х  0. Решение рациональных уравнений методом замены переменных

4.Применение свойств функций при решении уравнений (12часов)

Использование области определения функции при решении уравнения. Использование монотонности функции при решении уравнений. Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и «считывания» нужной информации с рисунка. .Метод оценки (мажорант) Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений.

к рабочей программе элективного курса «Нестандартные способы решения уравнений » 11класс

Название

разделов и тем

Количество часов

Введение

0,5

Целые рациональные уравнения

Повторение и обобщение

Преобразование алгебраических уравнений

Решение алгебраических уравнений методом подбора

Решение алгебраических уравнений методом группировки и разложением на множители

Решение алгебраических уравнений методом замены переменных. Однородные уравнения

Метод неопределенных коэффициентов

Решение алгебраических уравнений методом введения параметра

0,5

Повторение . Дробно-рациональные уравнения. Общие положения.

Сведения решения дробно-рационального уравнения к алгебраическому.

Решение дробно- рациональных уравнений методом разложения на множители и делением на х  0

Метод замены переменных в дробно-рациональных уравнениях

Применение свойств функций при решении уравнений

Повторение и обобщение. Способы задания функции. Нахождение области определения и области значения функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Использование области определения функции при решении уравнений.

Использование монотонности функции при решении уравнений

Графический способ решения уравнений

Метод оценки (мажорант)

Итого:

Методические рекомендации по содержанию курса

Уравнением А=В называется равенство двух математических выражений А и В, содержащих: одну или несколько переменных величин. Относительно переменных величин должно быть указано, какие из них считаются неизвестными (основными), а какие—известными (параметрами). В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, его называют уравнением с одним, с двумя и т.д. неизвестными. Если специально не оговорена, то выражения А и В рассматриваются на множестве числовых значений входящих в них переменных величин, при которых они одновременно имеют смысл, т.е. выполнимы все указанные действия. Значения, переменных, при которых выражения А и В одновременно имеют смысл, называются допустимыми значениями переменных.

Рассмотрим уравнение с одним неизвестным х: f(x) = φ(х), где f(x) и φ(x) — некоторые функции одной переменной х. Решением, или корнем, этого уравнения называется число х0, при подстановке которого вместо х в обе части уравнения получается верное равенство (т.е. при х = х0 функции f(x), φ(х) определены, и их значения совпадают). Корень уравнения принадлежит множеству (области) допустимых значений х. Решить уравнение — значит найти множество всех его решений или показать, что оно решений не имеет.

Методы решения уравнений основаны на понятии равносильности (эквивалентности) уравнений. Два уравнения f1(х) = φ1(х) и f2(х) = φ2(х)называются равносильными (эквивалентными), если множества всех их решений совпадают или если оба уравнения решений не имеют. Значит, если каждый корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого, то уравнения равносильны: f1(х) = φ1(х) ↔ f2(х) = φ2(х).

Определение равносильных уравнений связано только с множествами их решений. Равносильными могут оказаться и уравнения с различными областями допустимых значений неизвестного. Два уравнения могут быть равносильными или неравносильными в зависимости от того, на каком множестве чисел (действительных или комплексных) они рассматриваются. Приведем несколько примеров.

. Уравнения х — 2 = 1 и (х — 2)(х 2 + 1) = х 2 + 1 равносильны на множестве действительных чисел, так как имеют лишь один действительный корень, равный 3. На множестве комплексных чисел они неравносильны, так как второе уравнение, кроме корня, равного 3, имеет еще мнимые корни, равные ± i.

Два уравнения f ₁ (х) = φ ₁ (х) и f ₂ (х) = φ ₂ (х) называются равносильными) относительно некоторого множества М (на множестве М), если они имеют на этом множестве одни и те же решения или если оба не имеют решений на этом множестве.

С этой точки зрения, уравнения х 2 — 4 = 0 и х — 2 = 0 равносильны на множестве R + , х-2 = 0 и (х — 2) 2 = 0 равносильны на множестве R, f 2 (х) = ф 2 (х) и f(x) = ф(х) равносильны на множестве М, где f(х) и ф(х) знакопостоянны (сохраняют один и тот же знак, т.е. остаются одновременно положительными или отрицательными).

Если все корни первого уравнения f ₁ (х) = ф ₁ (х) принадлежат множеству корней уравнения f ₂ (х) = ф ₂ (х) , то его называют следствием первого уравнения и пишут

Если по ходу решения от уравнения переходят к его следствию, то необходима проверка корней следствия, в том числе и тех, которые входят в область допустимых значений неизвестного исходного уравнения. Действительно, множеству решений следствия, помимо корней исходного уравнения, могут принадлежать также решения, которые не являются корнями исходного уравнения (например, после возведения в одну и ту же четную степень обеих частей уравнения). Такие решения называются посторонними для исходного уравнения.

ТЕМА 2. Целые рациональные уравнения.

Определение 1. Уравнение f ( x ) = g ( x ), где функции f ( x ) и g ( x ) заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением.

О.Д.З. этого уравнения – множество всех действительных чисел.Т.к. любое целое рациональное выражение с помощью тождественных преобразований можно представить в виде многочлена , то данное уравнение равносильно уравнению Р(х) = Q ( X ), где Р(х) и Q ( x )– некоторые многочлены с одной переменной х.Перенося Q ( x ) в левую часть, получим равносильное уравнение Р(х) – Q ( x ) = 0.

Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, называют степенью целого рационального уравнения .Решение целого рационального уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего в левой части уравнения. Многочлен степени n не может иметь более, чем n различных корней, поэтому всякое целое рациональное уравнение степени n имеет не более n корней.

Нам известны формулы нахождения корней линейных и квадратных уравнений. Процесс решения других уравнений заключается в сведении данного уравнения к вышеназванным уравнениям. Для этого применяют два основных метода : 1) разложение на множители, 2) введение новой переменной.

1). Метод разложения на множители.

Теорема 1. Уравнение f ( x )  g ( x ) = 0 определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений f ( x ) = 0 и g ( x ) = 0.

Согласно теореме 1 решение уравнений тесно связано с разложением его левой части на множители. Этот метод позволяет свести решение целого уравнения степени n к решению целых уравнений меньшей степени.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение 2х 3 – 3х 2 – 8х + 12 =0

Решение: Разложим многочлен, стоящий в левой части, на множители методом группировки:

2х 3 – 3х 2 – 8х + 12 = х 2 ( 2х-3)- 4(2х – 3) = ( 2х – 3)( х 2 -4).

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению (2х–3)(х 2 -4) =0, которое по теореме1 равносильно совокупности уравнений 2х – 3 =0 и х 2 – 4 =0. Решая их, получим : х₁= 1,5, х₂ = 2, х₃ = — 2.

Ответ : -2 ; 1,5 ; 2.

ТЕОРЕМА 2. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.

Теорема 3. Если х=  — решение уравнения f ( x ) = 0,

то f ( x )=( x —  )  f ₁( x ).

Данное уравнение равносильно совокупности х=  и f ₁( x )=0, где f ₁( x )=0 – уравнение степени n -1, т.е. более низкой степени. ПРИМЕР 3. Решить уравнение х 4 – 4х 3 – 13х 2 + 28х +12 =0.

Решение. Делителями свободного члена являются

— 1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12.

По схеме Горнера проверим, нет ли среди этих чисел корней данного уравнения.

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» ученицей 10 класса школы была поставлена и реализована цель изучить новые методы решения уравнений и неравенств. Каждый из методов был описан и продемонстрирован отдельно.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» учащейся приведены характеристики таких методов решения уравнений, как метод разложения на множители, метод замены переменной, метод решения уравнений с помощью теоремы Виета и метод интервалов, а также продемонстрированы нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств, метод рационализации, учёт ОДЗ и метод мажорант.

Введение
1. Теория уравнений и неравенств.
1.1 Основные понятия теории уравнений и неравенств.
1.2 Методы решения уравнений и неравенств.
1.2.1 Метод разложения на множители.
1.2.2 Метод замены переменной.
1.2.3 Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета.
1.2.4 Метод интервалов.
2. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
2.1 Метод рационализации.
2.2 Учёт ОДЗ.
2.3 Метод мажорант (оценки).
2.4 Использование свойств функций.
2.4.1 Использование ОДЗ.
2.4.2 Использование монотонности функции.
2.4.3 Использование графиков.
2.5 Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.
2.5.1 Угадывание корня уравнения.
3. Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств».
3.1 Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.
3.2 Создание контента тренажёра.
3.3 Описание созданного продукта.
3.4 Апробация продукта.
Заключение
Список литературы

Введение

Объектом исследования являются уравнения и неравенства.

Предмет исследования: некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В начале работы над проектом была сформулирована гипотеза: благодаря новым методам решения уравнений и неравенств, удастся сократить количество шагов решения в алгоритме и снизить вероятность допущения ошибки. Исходя из этого вывода, была поставлена цель проекта: изучить новые методы решения уравнений и неравенств.

Продуктом проекта были выбраны дидактические материалы с алгоритмом решения уравнений и неравенств новыми методами и тренажёры для отработки заданий подобного типа. Для продуктивного и удобного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта проекта:понятный и удобный интерфейс, наличие мобильной версии, возможность использования русского языка, возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера, тиражируемость (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования).

В процессе создания проекта были сформулированы некоторые задачи:

Изучить всевозможные источники информации по данной теме, структурировать собранную информацию
Провести опрос
Разработать алгоритмы решения уравнений и неравенств определенным (нестандартным) способом
Анализ имеющихся тренажёров, подобрать задания, решаемые нестандартным способом, решить их
Создать тренажёр
Апробировать продукт
Провести опрос об эффективности продукта
Собрать статистику
Распространить продукт

Методы исследования, используемые при работе над проектом: анализ, обобщение, синтез, классификация, систематизация, сравнение, прототипирование.

Научная новизна: разработаны уникальные дидактические материалы

Теоретическая значимость: расширение представления о некоторых методах решения уравнений и неравенств.

Практическая значимость: продукт проекта может быть использован учениками при подготовке к ЕГЭ, а также учителями математики.

Социальная значимость: проект может помочь ученикам 9-11 классов при подготовке к экзамену.

Основные понятия теории уравнений и неравенств

Уравнение – равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Корень (решение) уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение — найти его корни или доказать, что корней нет.

Неравенство – два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: , ≤, ≥.

Основные свойства уравнений:

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение неравенства – то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.

Методы решения уравнений и неравенств

Теперь, после перечисления основных понятий, следует вспомнить известные нам из школьной программы способы решения уравнений и неравенств.

Метод разложения на множители

Для разложения на множители используют формулы сокращённого умножения (ФСУ), вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, деление многочлена на многочлен.

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль.

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной.

Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета

Важно. Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом: х2 + px + q = 0. разница с обычным общим видом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том, что в приведённом уравнении x2 + px + q = 0 коэффициент а = 1.

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 · x2 = q, где x1 и x2 — корни этого уравнения.

Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств. Метод рационализации

Приведем алгоритм решения уравнений и неравенств методом рационализации:

Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства
Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа – ноль.
Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

Учёт ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.

Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Метод мажорант (оценки)

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.

Использование графиков

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ ещё надо обосновать.

Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
Представить левую и правую части уравнения/неравенства как функции и построить их графики.
По графику определить решение уравнения/неравенства.
Доказать справедливость ответа.

Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Методом подбора определить корень уравнения.
Найти ОДЗ уравнения.
Привести многочлен к стандартному виду.
Определить остальные корни уравнения.

Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит практиковаться в решении уравнений и неравенств с помощью новых, нестандартных методов решения. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

Платформы были проанализированы по критериям:

Понятный и удобный интерфейс сайта
Возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента
Наличие мобильной версии
Возможность использования русского языка
Возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера
Доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования)
В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям:

источники:

http://infourok.ru/urok-algebri-dlya-klassa-nestandartnie-sposobi-resheniya-uravneniy-3050680.html

http://tvorcheskie-proekty.ru/node/3678