Решение нестационарного уравнения теплопроводности с

Решение задач нестационарной теплопроводности.

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ.

Общие положения. Описание процесса.

Ранее были рассмотрены условия распространения теплоты при стационарном режиме, когда температурное поле не менялось во времени, оставалось постоянным.

Если же температурное поле меняется во времени, т.е. является функцией времени, то протекающие в таких условия процессы называются нестационарными.

Нестационарные процессы теплопроводности встречаются при охлаждении и нагреве металлических заготовок, прокалывании твердых тел, в производстве стекла, обжига кирпича и т.д.

В качестве примера рассмотрим такой случай. Тело внесено в среду более высокой температурой; сразу же между средой и телом возникает процесс теплообмена, и тело начинает прогреваться. Сначала нагреваются поверхностные слои, но постепенно процесс прогрева распространяется вглубь тела (рис. 1.6.1).

По истечении некоторого времени (теоретически бесконечно большого) температура всех частей тела выравнивается и становится равной температуре окружающей среды, т.е. наступает тепловое равновесие.

На рис. 1.6.1 показан характер кривых, полученных при нагревании однородного твердого тела в среде с постоянной температурой .По мере нагрева температура в каждой точке асимптотически приближается к температуре нагревающей среды. Наиболее быстро изменяется температура точек, лежащих вблизи поверхности тела. С увеличением времени прогрева эта разность будет уменьшаться и теоретически через достаточно большой отрезок времени она будет равна нулю.

При нестационарном режиме количество переданной теплоты также непостоянно во времени (рис. 1.6.2). По мере прогрева тела количество воспринимаемой теплоты уменьшается и в пределе становится равным нулю. Площадь, заключенная между осями и кривой, определяет собой полное количество теплоты, переданное за время . Эта теплота аккумулируется телом. Нестационарные тепловые процессы всегда связаны с изменением внутренней энергии или энтальпии вещества.

Аналогичным образом протекает и процесс охлаждения тела, при этом выделенная теплота передается в окружающую среду.

Скорость теплового процесса при нестационарном режиме определяется значением коэффициента температуропроводности

а , .

Любой процесс нагревания или охлаждения тела можно разделить на три режима.

Первый режим — начало процесса.

Характерной особенностью этого режима является распространение температурных возмущений в пространстве и захват все новых и новых слоев тела. Скорость изменения температуры в отдельных точках при этом режиме различна и зависит от начальных условий.

Это режим неупорядоченного процесса.

С течением времени скорость изменения температуры во всех точках тела становится постоянной. Это режим упорядоченного процесса, он называется регулярным режимом.

По прошествии длительного времени наступает третий режим, характерной особенностью которого является постоянство распределения температур во времени – это стационарный режим.

Например, в работе паровых котлов нестационарный режим возникает лишь при пуске в работу, выключении и изменении режима работы и имеет временный характер. Поэтому расчет таких аппаратов производится лишь для основного, стационарного режима, а для нестационарного совсем не рассчитывается. В работе же нагревательных печей, наоборот, нестационарный режим является основным, при их расчете приходится определять время, необходимое для прогрева металла до заданной температуры, или температуру, до которой металл нагреется в течение определенного промежутка времени.

Описанный характер изменения температуры и количества переданной теплоты справедливы лишь для твердых тел.

Решение задач нестационарной теплопроводности.

Решить задачу нестационарной теплопроводности это значит найти зависимость изменения температуры и количество теплоты переданной телу во времени для любой точки тела:

Для аналитического нахождения этих зависимостей может быть использовано дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье:

Это уравнение решается с помощью рядов Фурье. Аналитическое решение получается очень сложным и возможно лишь для тел простой формы (пластины, цилиндра и шара) при целом ряде упрощающих предпосылок.

Аналитическое описание процесса теплопроводности кроме дифференциального уравнения также включает в себя и условия однозначности.

Условия однозначности задаются в виде:

· физических параметров , , ;

· формы и геометрических размеров объекта ;

· температуры тела в начальный момент времени ; t = t₀ = f(x, у, z).

· граничных условий, которые могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода:

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции, которая удовлетворяла бы уравнению и условиям однозначности.

t=f(x,y,z,i,a,t₀,t_ж, )

Если решить это уравнение для плоской стенки и рассмотреть процесс изменения температуры только в одном направлении x, то решение будет иметь следующий вид:

где b иcопределяются из условий стационарности процесса, т.е. при ;

, — из граничных условий 3 рода;

— из начальных условий, т.е. при .

Из уравнения видно, что искомая функция t зависит от большого числа переменных, которые можно сгруппировать в 3 безразмерных комплекса, эти комплексы называются числами подобия.

Первое число подобия — Число Био:

где — коэффициент теплоотдачи на границе жидкости и твердого тела;

λ — коэффициент теплопроводности твердого тела;

l— характеристический размер, который определяется в зависимости от формы тела:

для пластины l=δ;

для цилиндра l= ;

для шара l= .

Второе число подобия — Число Фурье:

гдеa— коэффициент температуропроводности;

Число Фурье называют также безразмерным временем.

Третий безразмерный комплекс — безразмерная координата:

Установлено, что θ— безразмерная температура, является функцией чисел Био и Фурье, для фиксированных значений , т.е.

Изменение безразмерной температуры θ для центра ( ) и поверхности ( ) можно представить графическим решением, которое приведено на рисунке 1.6.3.

Подобные графики построены для центра и поверхности пластины, цилиндра и шара, а так же для безразмерного количества теплоты, которая является функцией числа Bi и :

Следовательно, чтобы определить температуру на поверхности или в центре тела необходимо знать две величины: число Bi и число .

Таким образом, метод решения задач нестационарной теплопроводности заключается в следующем:

1) задаются геометрическими, начальными и граничными условиями [(с;λ; ; ;α; ),( или )];

2) вычисляют числа Bi и ;

, ;

3) зная числа Bi и по графику, определяют безразмерную температуру θ;

4) определив θ, рассчитывают температуру в центре

или на поверхности тела

где — начальная температура тела;

— температура среды.

Рассмотрим влияние значений чисел Bi на распределение температуры в теле на примере охлаждения пластины.

Из полученного решения следует, что для любого момента времени температурное поле имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины ( ). В каждый последующий момент будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхности (рис. 1.6.4).

Для любого момента времени касательные к кривым в точках проходят через направляющие точки +А и

– А, которые расположены на расстоянии от поверхности пластины, причем

или ,

отсюда , т.е. расстояние до точки А полностью определяется условиями однозначности.

Сказанное справедливо для всех поверхностей.

Решение нестационарного уравнения теплопроводности с

Актуальность темы состоит в том, что вопросы нестационарного тепломассообмена приобретают все большее значение в инженерных проработках в связи с быстрым развитием новой техники. Так как правильно организованный теплообмен является непременным условием безопасной и безаварийной работы тепловых агрегатов, исследования в области нестационарного теплообмена актуальны для многих отраслей промышленности, в том числе – для теплоэнергетики, где теплосиловое оборудование работает при сверхвысоких давлениях и температурах и часто – при неустановившихся тепловых режимах. Проблема изучения закономерностей развития пространственных нестационарных температурных полей в телах различной геометрической формы тесно связана с решением параболического дифференциального уравнения теплопроводности с разнообразными краевыми условиями. Эта проблема значительно усложняется, если рассматривается нестационарный теплообмен с учетом конечной скорости распространения тепла.

Целью работы является нахождение решений прямых задач нестационарной теплопроводности, основываясь на информации о тепловом состоянии, которое определяется температурным полем исследуемого объекта; определение причинных характеристик теплообменного процесса в теле: граничные условия и их параметры, начальные условия, теплофизические свойства, внутренние источники тепла и проводимости, а также геометрические характеристики тела или системы.

Научная новизна заключается в определении оптимальных параметров настроек теплового режима теплообменного оборудования для его корректной работы при нестационарных режимах теплообмена.

Практическая ценность работы заключается в применении метода решения прямых задач нестационарной теплопроводности для определения параметров при конструировании и проектном расчёте режимов работы теплообменного оборудования.

Личный вклад заключается в осуществлении всех этапов данной работы, в разработке и выполнении расчетов при использовании методов для решения поставленной задачи. В формировании программ и этапов экспериментальных исследований, а также в непосредственном участии при проведении опытов, обработке результатов, с выдачей всех необходимых рекомендаций и заключений по данной работе.

Сущность способов решения прямых задач теплопроводности и методы исследования решения прямых задач теплопроводности и оценка их точности.

Граничные условия (ГУ)
Тепловые условия на границах тела называются граничными условиями (ГУ) и складываются из двух основных элементов: внешних (поверхностных) источников тепла и условий теплообмена между источниками и поверхностью тела.
Следует подчеркнуть, что границами тела являются как все его внешние границы (поверхности), так и любые внутренние границы (поверхности), отделяющие рассматриваемое тело от другого твердого тела или от полости (каверны). Внутренняя полость может быть замкнутой или сквозной и содержать газ или жидкость.
Различают четыре рода ГУ.
Если известна температура поверхности тела, то имеет место ГУ I рода.
Если задана интенсивность теплового потока извне в тело, то ГУ II рода. Согласно основному закону теплопроводности, тепловой поток равен:

здесь означает коэффициент теплопроводности тела, а градиент температуры относится к точке тела, расположенной в непосредственной близости от поверхности тела, на что и указывает индекс . Здесь и ниже, ГУ выражены относительно поверхности полуограниченного тела и пластины . Для тел другой формы надо принимать соответствующее значение координаты поверхности, например для цилиндра и шара (начало координат в центре тела).
Если задана температура среды (жидкости или газа), омывающей тело, и закон теплообмена между средой и поверхностью тела, то ГУ III рода. Согласно закону Ньютона, тепловой поток, поступающий от омывающей среды, прямо пропорционален разности температур среды и поверхности тела:

ГУ IV рода возникает, если рассматриваемое тело находится в соприкосновении с другим телом, имеющим иные теплофизические характеристики. Контакт на поверхности тел должен быть столь хорошим, чтобы температуры соприкасающихся точек были одинаковыми:

Уравнение теплового баланса на границе имеет следующий вид:

Неустановившийся тепловой режим — температура тела меняется во времени.

иррегулярным — температурная функция является сложной относительно времени и координат и существенно зависит от начального распределения температуры;
регулярным — температурная функция относительно простая и мало зависит от начального распределения температуры;
квазиустановившемся — значения температурной функции периодически повторяются или остаются неизменными относительно движущегося источника тепла.

Установившейся тепловой режим — температура тела во времени неизменна.

равновесным — температура тела во всех точках постоянна и одинакова (на границах тела нет теплообмена, т.е. или имеется идеальная теплоизоляция, или произошло полное выравнивание температуры тела с температурой окружающей среды);
неравновесным — температура в каждой точке тела постоянна, но неодинакова (алгебраическая сумма тепловых потоков на границах тела равна нулю).

В ряде случаев к решению сложных задач применяют принципы эквивалентности и взаимности , но базовым методом, для решения задач нестационарной теплопроводности, является принцип суперпозиции (наложения).

Принцип ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ (ПЭС)
Практическая сторона принципа элементарной суперпозиции (ПЭС), является в том, что при независимом друг от друга действии отдельных источников тепла, расположенных на границе тела или внутри него, можно рассматривать действие каждого источника отдельно, а конечный тепловой эффект находить, складывая алгебраически действия всех источников. Кроме того, можно и действие отдельного источника определять как сумму действий любой комбинации источников, расположенных на том же месте и имеющих в сумме ту же температуру или интенсивность, что и исходный источник.
Использование этого принципа открывает большие возможности, но он, к сожалению, не универсален. В данной выше формулировке приложение принципа суперпозиции ограничено. В связи с простотой его применения он назван принципом элементарной суперпозиции (ПЭС).

Принцип СЛОЖНОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ (ПСС)
Принцип сложной суперпозиции (ПСС) касается только действия источников типа и может быть сформулирован следующим образом.
При определении действия источника тепла типа принимается, что все остальные источники типа имеют температуру, равную нулю, а источники типа бездействуют. В остальном справедливы все правила ПЭС об алгебраическом сложении действия всех источников и о возможности разложения каждого источника на элементы. Остается в силе и требование о линейности всех условий однозначности.
Следует отметить, что нулевая температура у источников типа вовсе не означает, что они не работают.
Источники типа располагаются лишь на границах тела, поэтому ПСС должен применяться, когда сфера влияния какого-либо источника доходит до границы тела, являющейся местоположением источника .

Основное правило решения задач методом суперпозиции
Распространение тепла в твердом теле может быть выражено как действие многих источников тепла. Так, начальное тепловое состояние (начальное условие) выражается мгновенными внутренними источниками тепла, а граничные условия — непрерывно действующими внешними источниками тепла. Поэтому решение задач теплопроводности может быть сведено к рассмотрению распространения тепла от источников.
Как же решать сложные задачи? Трудность их решения обычно возникает от того, что начальные условия (НУ) или ГУ являются сложными, на первый взгляд, иногда даже запутанными. Метод суперпозиции позволяет привести решение каждой такой задачи к решению нескольких более простых задач. При этом следует руководствоваться следующим правилом.
Решение задачи со сложными начальным или граничными условиями может быть представлено в виде суммы решений других задач с любыми другими НУ и ГУ, но алгебраическая сумма значений источников тепла, т.е. НУ и ГУ у в этих задачах для каждой точки тела в любой момент времени, включая начальный, должна быть равна заданным значениям источников тепла в исходной задаче.

Применение различных общефизических принципов открывает широкие возможности для расчета и анализа теплового режима твердых тел и становится качественно новым методом решения тепловых задач.

Принцип ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Суть принципа эквивалентности состоит в том, что замена одного из условий однозначности, которыми определяется рассматриваемое явление, другим условием однозначности, не приводит к изменению хода явления ни в одной точке, охваченной данным явлением; замена приводит к тождеству задач, а не к моделированию явления.
Применительно к тепловым задачам принцип эквивалентности состоит в том, что замена какого-либо условия однозначности не влияет на тепловой режим рассматриваемого тела — ход температуры во всех точках остается неизменным.
Принцип эквивалентности говорит о возможности эквивалентной замены источников тепла и тепловых сопротивлений, а также теплофизических характеристик, геометрической формы и размеров тела.

Принцип ВЗАИМНОСТИ
Принцип взаимности может быть применен и при решении некоторых задач теплопроводности; это значит, что если источник тепла , находящийся в точке 1, вызывает в точке 2 изменение температуры , то, если переместить источник в точку 2, в точке 1 будет иметь место то же самое изменение температуры .
Следует подчеркнуть, что во взаимных точках скорости изменения температур одинаковы, но градиенты температур различны, поэтому нужно помнить, что переход к взаимной задаче не есть переход к эквивалентной задаче — температурные поля являются различными.

Заключение

Комбинирование методов СУПЕРПОЗИЦИИ, ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ и ВЗАИМНОСТИ является оптимальным при нахождении точного решения прямой задачи теплопроводности. Для последовательного вычисления системы функций достаточно иметь один алгоритм или программу решения прямой задачи для ЭВМ и несколько раз их использовать с соответствующей корректировкой условий однозначности. Такие программы для ЭВМ, в которых поиск решения задачи сводится к многократному обращению к одному и тому же блоку (алгоритму), является наиболее рациональным, с точки зрения их организации, отладки и возможной корректировки при решении различных практических задач.

Решение нестационарного уравнения теплопроводности с

(или граничное условие первого рода)

Когда задана температура одного из узлов:

, °С

Аналогом в прочностной задаче есть заданное перемещение узла.

2. Тепловой поток (или граничное условие второго рода)

Когда внешняя нагрузка равна:

По определению тепловой поток – это количество теплоты, которое проходит через изотермическую поверхность (условную поверхность с одинаковой температурой) за единицу времени.

Измеряется в Дж/c*м 2 (или Вт/ м 2 , поскольку 1 = 1 Дж/c).

В ЛИРА-САПР есть возможность задавать тепловой поток на узел, пластину или объемное тело.

2.1. Тепловой поток на узел

При задании теплового потока на узел необходимо вычислить площадь, через которую проходит поток (в случае рассмотрения балки, это будет площадь сечения). К примеру, если величина теплового потока q = 100 Дж/c*м 2 , а площадь через которую проходит поток равна 0,1 м 2 , то величина задаваемой нагрузки на узел Р равна 100*0,1 = 10 Дж/c .

2.2. Тепловой поток на ребро пластины

При задании теплового потока на ребро необходимо чистую величину теплового потока умножать на толщину пластины. Например, если величина теплового потока q = 100 Дж/c*м 2 , а толщина пластины равна 0,1 м, то величина задаваемой нагрузки на узел Р равна 100*0,1 = 10 Дж/c*м.

2.3. Тепловой поток на объемное тело

В случае задания теплового потока на грань объемного тела: не нужно умножать, ни на площадь, ни на длину ☺. Необходимо только указать номер грани, на которую воздействует поток и величину самого потока q = 100 Дж/c*м 2 .

3. Конвективный теплообмен (или граничное условие третьего рода)

Когда внешняя нагрузка P равна:

Конвективный теплообмен – это процесс потери тепла телом за счет того, что при движении воздуха происходит соприкосновение отдельных частиц, у которых различная температура. При конвективном теплообмене происходит теплоотдача между поверхностью тела и движущейся средой (например, воздухом).

Создание конвективной нагрузки на схему совершается в 2 этапа:

На первом этапе нужно создать конечный элемент конвекции в месте контакт схемы с воздухом.

Для стержня – контакт моделируется через одноузловой КЭ конвекции (КЭ №1551).
Для пластины – контакт моделируется через двухузловой КЭ конвекции (КЭ №1555).
Для объемного тела – через пластинчатые КЭ конвекции (КЭ №1558 и №1559).

В жесткости такого конечного элемента нужно указать коэффициент конвективной теплоотдачи и площадь контакта (для одноузлового КЭ) или высоту контактной поверхности (для 2х-узлового КЭ). Коэффициент конвективной теплоотдачи h измеряется в Дж/c*м 2 * о С.

На втором этапе нужно приложить нагрузку на контактный элемент. Через задание нагрузки формируется внешняя температура воздуха.

Нестационарные виды нагрузок

Из всех видов нестационарных нагрузок: непосредственно на узел (элемент) можно задать только изменяемый во времени тепловой поток на узел. Все остальные виды нестационарных нагрузок можно задать, только используя диалоговое окно «Формирование динамических загружений из статических».

1. Изменяемый во времени Тепловой поток

1.1. На узел

Есть три вида изменяемой во времени нагрузки на узел (аналогично прочностной задаче):

ломанная с произвольным шагом;
синусоидальная;
ломанная с равномерным шагом.

Величина задаваемой нагрузки определяется аналогично стационарному тепловому потоку, то есть значение чистого теплового потока умножается на площадь, через которую проходит этот поток.

1.2. На ребро пластины или на грань объемного КЭ

Чтобы задать нестационарный тепловой поток на ребро пластины или на грань объемного КЭ нужно задать стационарный тепловой поток в любом Загружении, кроме Загружения 4. Поскольку, Загружение 4 предназначено для задания демпфирующих нагрузок.

После этого, в окне «Динамика во времени из статических загружений» нужно сформировать Нестационарное загружение из соответствующего стационарного, путем задания закона изменения нагрузки во времени.

Для формирования теплового потока можно использовать следующие законы преобразования:

ломанный с произвольным шагом (1);
синусоидальный (2);
ломанный с равномерным шагом (4).

2. Изменяемый во времени Конвективный теплообмен.

Использовать такой тип нагрузки можно, если температура движущейся среды (к примеру, воздуха) может значительно изменяться во времени.

Как было сказано выше, задание нестационарного конвективного теплообмена происходит так же, как и задание теплового потока на ребро или на грань (то есть, через формирование динамических нагрузок из статических).

3. Изменяемый во времени Лучистый теплообмен

(или радиационный теплообмен)

Когда внешняя нагрузка равна:

– угловой коэффициент

– коэффициент поглощения (степень черноты поверхности конструкции)

– коэффициент излучения (степень излучения источника)

– постоянная Стефана Больцмана (равна 5,67*10 -8 Вт/м 2 К 4 )

Лучистый теплообмен происходит за счет того, что часть тепловой (внутренней) энергии тела (которая существует благодаря механическому колебанию элементарных частиц, из которых состоит тело) превращается в энергию излучения. Энергия излучения — это энергия электромагнитных колебаний с волнами различной длины. Возникают электромагнитные волны за счет колебания заряженных частиц (электронов или ионов), которые входят в состав тела. При попадании лучистой энергии на какое-либо тело, часть этой энергии поглощается, часть – проходит сквозь тело, а часть — отражается. Степень поглощения телом лучевой энергии учитывается через коэффициент . К примеру, для бетона этот коэффициент равен 0,75, а для абсолютно чёрного Тела – 1.

Угловой коэффициент Ф обычно принимается равным 1, он учитывает расположение источника излучения по отношению к поглотителю.

Можно подвести итоги. Тепло — это энергия, которая возникает за счет движения частиц, из которых состоит тело (атомов или молекул). Всего существует три основных вида передачи тепла: теплопроводность, конвекция и лучистый теплообмен.

Пример. Решение стационарной задачи теплопроводности

Рассмотрим пример расчёта теплопроводности внешней стены кирпичного дома.

Создаем задачу в 15м признаке схемы, который существует специально для решения задач теплопроводности. Рассмотрим участок стены, длиной 1 метр.

ШАГ 1. Геометрия

ШАГ 2. Создание элементов КОНВЕКЦИИ

Чтобы задать температуру воздуха, добавляем стержневые элементы на внутренней и внешней поверхности стены, и меняем их тип на КЭ №1555.

Рис. 11. КЭ модель с элементами конвекции

ШАГ 3. Характеристики материалов

Зададим соответствующие коэффициенты теплопроводности K для слоёв стены. Значения коэффициента теплопоглощения C и удельного веса R₀ в статическом расчете не учитываются, поэтому можно их задать равными единицам.

Рис. 12. Свойства теплопроводности соответствующих слоев стены

Для элементов конвекции тоже создаём жесткость, и задаем там коэффициенты конвекции внутреннего и внешнего слоя:

Рис.13. Жесткости слоёв стены

ШАГ 4. Внешняя нагрузка

Через внешнюю нагрузку мы задаем температуру воздуха для элементов конвекции. Для этого, в разделе Нагрузки открываем конвективный теплообмен и задаём температуру внутри и снаружи стены.

ШАГ 5. Просмотр результатов

Пример. Решение динамической теплопроводности для задачи огнестойкости

Решение задачи теплопроводности — это важный этап при определении огнестойкости конструкции

В Eurocode EN 1992-1-2 (2004) (пункт 4.3.1 (3)) написано «Advanced calculation methods should include calculation models for the determination of: the development and distribution of the temperature within structural members (thermal response model)…» ;

В СТО 36554501-006-2006 «Правила по обеспечению огнестойкости и огнесохранности железобетонных конструкций» (пункт 4.13) сказано: «Расчет огнестойкости и огнесохранности рекомендуется производить по приведенному сечению, когда сечение элемента разбивается на малые характерные участки, нагретые до различных температур, и каждый малый участок приводится к ненагретому бетону с учетом соответствующих понижающих характеристик прочности бетона.», и в пункте 5.3. добавлено: «Температуру бетона определяют теплотехническим расчетом …».

В ДСТУ-Н EN 1991-1-1:2010 (пункт 4.3.1) сказано: «Уточнені методи розрахунку включають розрахункові моделі для визначення наступного: зростання та розподілення температури по всіх елементах конструкції (теплотехнічний розрахунок);…».

Поэтому можно смело сказать, что без теплопроводности никуда ☺

Рассмотрим теперь пример того, как определить распространение тепла от пожара по сечению балки, размерами 160х320 мм. Поскольку наша балка не переменного сечения, то можно рассматривать плоскую задачу, где ширина всех элементов будет равна одному погонному метру балки (100 см).

ШАГ 1. Геометрия

Создаем схему сечения балки в 15м признаке схемы (рис. 17).

Назначим жесткость для элементов теплопроводности:

В СТО 36554501-006-2006 «Правила по обеспечению огнестойкости и огнесохранности железобетонных конструкций» (пункт 6.3) для теплотехнического расчета рекомендуют принимать теплопроводность и теплоёмкость бетона по формулам (рассмотрим пример тяжелого бетона на карбонатном заполнителе):

— теплопроводность: λ=1,14-0,00055t, [Дж/c*м* о С.]

— коэффициент теплоёмкости: C=0,71+0,00083t, [кДж/кг* о С.]

где – это температура, .

Поскольку теплопроводность и теплоёмкость зависят от температуры, то для нашей задачи мы используем свойства бетона, что рассчитаны для температуры 300 °С. Именно с такими характеристиками бетона получаются максимально схожие результаты температурных кривых прогрева сечения с теми, что приведены в нормах.

ШАГ 2. Внешняя нагрузка. ПРЕДЫСТОРИЯ

После этого начинаем задавать граничные условия (внешнюю нагрузку). В Загружении 1 выделяем все узлы схемы, и задаем им постоянную температуру, которая равна 20 °С. Это стандартное значение для предыстории, поскольку считается, что средняя температура конструкции до начала пожара является именно таковой. После этого все узлы окрашиваются в зеленый цвет, рис.19.

ШАГ 3. Внешняя нагрузка. КОНВЕКЦИЯ

Как было уже сказано, существует 3 основных вида передачи тепла. Саму теплопроводность внутри тела мы уже учли путем задания жесткости. Остается конвекция и лучистый теплообмен.

Поэтому, для формирования конвективного теплообмена, мы создадим контактные двухузловые конечные элементы с тех сторон балки, которые предположительно будут подвержены воздействию огня: слева, снизу и справа (Рис. 19, б). Создаем «жесткость» для элементов конвекции, и задаем там толщину нашего сечения Н = 100см, а также коэффициент конвекции а=25 Дж/(м2*с*°С). Коэффициент конвекции, равный 25 – это нормативная величина для стандартного графика развития пожара.

После этого, необходимо сформировать внешнюю температуру среды. Для этого используем вид нагрузки под названием заданная температура t:

Нагрузку на конвективные элементы формируем в Загружении 5, при этом Загружения 2-4 оставляем свободными.

В окне задания температуры (рис.18) записываем единицу. Чуть позже, на стадии формирования Динамической нагрузки из статической, мы будем задавать график изменения температуры при пожаре. Величины температур из этого графика будут автоматически умножаться на число, которое мы введем в этом окне. Поскольку, числа из графика нам изменять не нужно, то в окне заданной температуры мы просто записываем единицу.

После задания конвективной нагрузки, контактные элементы окрашиваются в оранжевый цвет.

ШАГ 4. Внешняя нагрузка. ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН (или РАДИАЦИЯ)

Как было сказано раньше, тепловое излучение – это вид теплообмена, который совершается путем поглощения электромагнитных волн. Если в случае конвективной нагрузки, площадь контакта с поверхностью мы задаем через жесткость конвективного элемента (мы задавали Н=100 см), то в случае лучистого теплообмена, площадь контактной поверхности нужно задавать через нагрузку вида Тепловой поток на узел или на ребро пластины, (в случае объемного конечного элемента, тепловой поток нужно задавать на грань элемента). При расчете, на каждом шаге интегрирования, это число будет умножаться на произведение: Ф*ε_m*ε_f*σ*(Т_внеш 4 _— Т_внутр 4 ), где — температура из графика пожара, который будет задаваться на следующем шаге, а — температура в узле расчетной схемы.

Сразу появляется вопрос, зачем площадь задавать через нагрузку? И он справедлив ☺

Постараемся найти на него ответ. Для этого, рассмотрим отдельно два варианта формирования лучистого теплообмена.

Вариант 1 (если задавать поток тепла на узел )

Тепловой поток на узел определяется как чистый тепловой поток Дж/c*м 2 , умноженный на площадь, через которую проходит этот поток [м 2 ]. В случае радиации мы принимаем, что чистый тепловой поток =1. Нам нужно только найти площадь поглощения, которая приходит на каждый узел схемы.

Если мы рассмотрим часть расчетной схемы (рис. 20), где размеры каждого КЭ равны 20х20 мм, а толщина = 1 м, то контактная поверхность, которая припадает на 1 узел равна:

(0,01м +0,01м)*1м =0,02 м 2 .

Значит, в Загружении 6, на каждый контактный узел задаем тепловой поток, который равен 0,02 м 2 ∙1[Дж/c*м 2 ]= 0,02 [Дж/c], и получаем схему, которая изображена на Рис.19, г.

Вариант 2 (если задавать поток тепла на ребро пластины )

Как и в предыдущем варианте, тепловой поток на ребро определяется как величина чистого теплового потока Дж/c*м 2 , умноженная, в данном случае, не на площадь, а на толщину пластины Н, [м]. На длину этого же ребра нагрузка умножается автоматически при расчёте (аналогично нагрузке на ребро пластины в прочностной задаче).

Чтобы задать нагрузку только на определенные грани конечных элементов, нужно выделить все узлы этих граней, а также выделить сами конечные элементы, которым принадлежат эти грани.

При задании Нагрузки на пластины (рис. 21) поставьте галочку для автоматического выбора граней, на которые задается нагрузка.

Таким образом, для нашей схемы, в Загружении 6, на все контактные грани нужно задать тепловой поток, который равен:

1∙ 1 м = 1 .

ШАГ 5. ЗАДАНИЕ ПОЖАРА. Формирование динамического загружения

Для задания огневого воздействия используем стандартный график развития пожара, который определяется по формуле:

– время нагрева в секундах,

– начальная температура (предыстория) = 20 °С.

Или можно воспользоваться таблицей 6.1. из СТО

Нажимаем на кнопку Формирование динамических загружений из статических, и задаем изменение конвекции во времени, которая зависит от температуры огня. Формируем динамику из 5го Загружения (конвекции), (Рис.20, а). Задаем там 21 точку из таблицы 6.1, плюс одна точка на момент времени 0сек, значение температуры в котором, делаем таким же как в предыстории – 20 °С. Время задаем в секундах (левая колонка), температуру – в градусах (правая колонка).

а) б)

После этого, аналогично формируем радиацию, которая также зависит от температуры огня (Рис.22, б). Только теперь, формируем динамику из Загружения 6 (радиации), и используем Закон преобразования №15 – Тепловое излучение. И задаем коэффициент поглощения = 0.75 (для бетона), излучения = 1 (для огня), и угловой = 1, поскольку считаем, что огонь расположен непосредственно вблизи балки.

И нажимаем на параметр Выполнить расчет динамики во времени:

ШАГ 6. ПРОСМОТР РЕЗУЛЬТАТОВ

Выше приведен пример температурных полей по сечению 7200 секунде (что равно 120 минутам горения).

В завершение можно добавить, что нет необходимости считать простые сечения вручную, каждое из них пересчитывать в 15 признаке и импортировать в 5й для прочностного расчета. Это можно сделать через вкладку Огнестойкость в Расчетном модуле Железобетон, при задании материалов. После формирования учета огнестойкости, в элементе будет подобрана арматура с учетом предела огнестойкости конструкции.

Но благодаря 15му признаку схему, у пользователя есть возможность рассчитать на огнестойкость сечения или пространственные задачи любой конфигурации и сложности.

источники:

http://masters.donntu.org/2009/fizmet/yankovets/diss/index.htm

http://help.liraland.ru/984/4348/