Решение обобщенного уравнения состояния электрической системы

Методы решения уравнений состояния электрических систем

СОДЕРЖАНИЕ

1.ПРОГРАММА КУРСА. . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Техническая постановка задачи расчета и анализа

установившихся режимов электрических систем. . . . . . 4

1.2 Уравнения состояния электрических систем . . . . . . 5

1.3 Методы решения уравнений состояния электрических систем . 5

1.4 Анализ статической устойчивости электрических систем. . . 6

2.ОСНОВЫ РАСЧЕТА И АНАЛИЗА УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Техническая постановка задачи. . . . . . . . . . 7

2.2 Расчет установившегося режима с использованием

линейных математических моделей . . . . . . . . . 9

2.3 Уравнения состояния ЭС. . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Пример расчета на основе линейной модели. . . . . . . 15

2.5 Реализация расчета режима в среде Mathcad . . . . 19

2.6 Задание № 1 по контрольной работе. . . . . . . . . 23

3.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ. . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Техническая постановка задачи. . . . . . . . . . .23

3.2 Пример анализа статической устойчивости по корням

характеристического уравнения. . . . . . . . . . . 24

3.3 Пример анализа устойчивости по критерию Гурвица. . . . .28

3.4 Пример использования критерия Михайлова

для анализа статической устойчивости. . . . . . . . 31

3.5 Реализация задачи анализа устойчивости в среде Mathcad . .33

3.6 Задание №2 для контрольной работы. . . . . . . . . 35

ВВЕДЕНИЕ

Целью данного курса является ознакомление студента с основными разделами прикладной математики, которые находят наибольшее применение при решении базовых задач, связанных с управлением и проектированием электроэнергетических систем. Это позволяет связать математику как общетеоретическую науку с ее применением в инженерной практике и научных исследованиях, сформировать грамотный технический подход к решению инженерных и научных проблем, а также подготовить студента к более глубокому и критическому восприятию специальных дисциплин.

В курсе “Математические задачи электроэнергетики” будут представлены основные научные достижения в области управления таким сложным объектом как электроэнергетическая система (ЭЭС), рассмотрены возможности современной математики и вычислительной техники, позволяющие смоделировать реальные процессы, происходящие в ЭЭС.

В пособии представлены программа курса с ссылками на литературу, задание на выполнение контрольной работы для студентов заочного отделения, методические указания для проведения расчетов вручную и с использованием ЭВМ. Материал, изложенный в пособии может быть использован также студентами дневного отделения ФЭН при подготовке в практическим занятиям по курсу.

ПРОГРАММА КУРСА.

Техническая постановка задачи расчета и анализа

Установившихся режимов электрических систем.

Электрическая система (ЭС) как объект математического моделирования. Понятие режима работы ЭС. Виды режимов. Параметры режима функционирования ЭС. Общая характеристика разделов прикладной математики, используемых при решении задачи расчета установившихся режимов ЭС ([1]с.7-30,[2]c.5 — 6).

Уравнения состояния электрических систем

1.2.1 Понятие схемы замещения электрической системы. Схемы замещения источников энергии, потребителей и элементов электрической сети. Пример перехода от реальной схемы электрической системы к схеме замещения. Моделирование электрической сети с помощью направленного графа ([1]c.31-33,37-38,[2]c.6-10,[3]c.109-111).

1.2.2. Использование матричных методов прикладной математики для моделирования процессов, происходящих в электрической системе. Основы матричной алгебры. Действия с матрицами. Виды матриц, используемых при расчете установившихся режимов. Матрицы инциденций первого и второго рода. Правила формирования матриц инциденций, исходя из структуры электрической сети, представленной в виде графа. Матрицы режимных параметров ([5]c.35-52,[1]c.38-40,[2]c.10-13,[3]c.114-118).

1.2.3 Виды уравнений состояния электрической системы. Представление в матричной форме основных законов электротехники: закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа. Получение обобщенного уравнения состояния на основе двух законов Кирхгофа. Уравнения узловых напряжений. Структура и физический смысл элементов матрицы узловых проводимостей. Контурные уравнения состояния ЭС. Преимущества и недостатки различных форм представления уравнений состояния с учетом удобства реализации алгоритмов на ЭВМ ([1] c.40-42, c.48-56, [2] c.13-30, [3] c.118-129,[4]c.25-35).

Методы решения уравнений состояния электрических систем.

1.3.1. Математическая модель задачи расчета и анализа установившихся режимов ЭС. Способы представления параметров генераторных и нагрузочных узлов схемы замещения электрической системы. Классификация методов решения систем уравнений состояния ([1]c.70-74,[2]c.30-33, [4]c.8-14,c.35)

1.3.2. Характеристика прямых методов решения уравнений состояния, представленных в виде систем линейных алгебраических уравнений. Алгоритм метода Гаусса с обратным ходом и без обратного хода. Анализ точности полученного решения по сумме невязок. Факторы, влияющие на точность решения систем уравнений методом Гаусса. Применение метода Гаусса для решения системы линейных уравнений узловых напряжений.([1] c.79-88, [2] c.34-36, [4] c.35-39).

1.3.3. Общая характеристика итерационных методов решения систем уравнений. Понятие итерационного процесса. Виды итерационных процессов. Критерии сходимости итерационных процессов. Метод простой итерации. Метод Зейделя и его применение для решения систем линейных уравнений узловых напряжений. Сравнительная характеристика итерационных методов с учетом их реализации на ЭВМ ([1] c.91-101, [2]c.37-38,[4] c.43-50).

1.3.4. Нелинейные уравнения установившегося режима. Представление нелинейных уравнений состояния в форме баланса токов и в форме баланса мощностей. Использование метода Зейделя для решения систем нелинейных уравнений состояния. Метод Ньютона. Графическая интерпретация метода Ньютона для функции одной переменной. Алгоритм метода Ньютона для функции многих переменных([4]c.57-60,c.64-76).

№74 Расчет переходных процессов методом переменных состояния.

Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена.

В более узком смысле в математике уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производных (форма Коши). Система уравнений состояния в обобщенной форме имеет вид:

Та же система уравнений в матричной форме:

или в обобщённой матричной форме:

Система уравнений состояния формы Коши решается методом численного интегрирования (метод Эйлера или метод Рунге-Кутта) на ЭВМ по стандартной программе, которая должна быть в пакете стандартных программ. При отсутствии такой программы в пакете она легко может быть составлена по следующему алгоритму (метод Эйлера) для к-го шага:

Значения производных на к-ом шаге:

Значения переменных на к-ом шаге:

Для определения значений переменных и их производных на 1-м шаге ин¬тегрирова¬ния используются их значения на момент t=0, т.е. их начальные условия x1(0), x2(0). xn(0).

Уравнения состояния формы Коши для заданной схемы могут быть получены из системы уравнений Кирхгофа путем их преобразования. Для этой цели: а) из системы уравнений Кирхгофа методом подстановки исключаются »лишние» переменные, имеющие зависимые начальные условия, и оставляют переменные iL(t) и uC(t), которые не изменяются скачком и имеют независи-мые начальные условия iL(0) и uC(0); б) оставшиеся уравнения решаются относительно производных и приводятся их к форме Коши.

В случае сложных схем уравнения состояния формы Коши могут быть составлены топологическими методами с использованием матриц соединений [A] и [B].

Последовательность расчета переходного процесса методом переменных состояния выглядит так:

1. Производится расчет схемы в установившемся режиме до коммутации и определяются независимые начальные условия iL(0) и uC(0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации.

3. Методом исключения »лишних» переменных система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши, составляются матрицы коэффициентов.

4. Выбирается расчетное время (продолжительность переходного процесса) и число шагов интегрирования N.

5. Решение задачи выполняется на ЭВМ по стандартной программе. Выходную функцию получают в виде графической диаграммы x=f(t)или в виде таблицы координат функций для заданных моментов времени.

Пример. Для схемы рис. 74.1 с заданными параметрами элементов (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C) выполнить расчет переходного процесса и определить функцию uab(t).

1. Выполняется расчет схемы в установившемся режиме переменного тока до коммутации и определяются начальные условия i1(0), i2(0), uC(0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

3. Система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши.

Для этой цели из (1) выражаем

и делаем подстановку в (1) и (2), а из (4) делаем подстановку в (1). Тогда получим:

Подсчитаем значения отднльных коэфициэнтов:

Составляем матрицы коэффициентов:

В качества исследуемого промежутка времени выбираем период переменного тока

Число шагов интегрирования принимаем N = 1000,

Вводим исходные данные в ЭВМ и выполняем рассчет.

В качестве выходной функции принимаем:

Для выходной функции Uab(T) строим графическую диаграмму в интервале периода Т.

Введение

1.Программа курса с указанием используемой литературы.

Техническая постановка задачи расчета и анализа

установившихся режимов электрических систем.

Уравнения состояния электрических систем

1.3. Методы решения уравнений состояния электрических систем.

1.4.Анализ статической устойчивости электрических систем.

1.4.1.Понятие устойчивости применительно к электрической системе. Состояние устойчивого равновесия. Дифференциальные уравнения, описывающие изменение параметров системы во времени. Понятие свободной и вынужденной составляющих. Определение статической устойчивости как устойчивости в малом. Метод малых колебаний ([1]с.173-175,[2] c.39-41,[6]c.189-190).

1.4.2 Анализ статической устойчивости по корням характеристического уравнения. Характеристическое уравнение системы. Теорема Ляпунова. Графики изменения свободной составляющей в зависимости от корней характеристического уравнения. Пример анализа статической устойчивости системы «станция — шины бесконечной мощности» при подключении к узлу синхронного неявнополюсного генератора ([1]c.175-181, [2]c.41-44,[6]c.190-194).

1.4.3 Анализ статической устойчивости на основе алгебраических критериев. Понятие критерия устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости. Необходимые и достаточные условия устойчивости системы. Критерий устойчивости Гурвица. Алгоритм составления определителя Гурвица по характеристическому уравнению системы. Примеры использования критерия Гурвица для характеристических уравнений 1-го-4-го порядков ([1]с.181-188,[2]c.44-47,[6]c.195-198).

1.4.4 Анализ статической устойчивости на основе частотных критериев. Частотные критерии анализа устойчивости. Принцип аргумента. Понятие годографа характеристического уравнения. Критерий устойчивости Михайлова. Примеры типовых годографов для устойчивых, неустойчивых систем. Граница колебательной и апериодической устойчивости. Пример использования критерия Михайлова для характеристического уравнения 3-го порядка ([1] c.188-196, [2] c.47-49).

2.ОСНОВЫ РАСЧЕТА И АНАЛИЗА УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ

Техническая постановка задачи.

Расчет и анализ установившихся режимов электроэнергетических систем (ЭЭС) является одним из наиболее существенных этапов в процессе принятия оптимальных решений как при проектировании, так и управлении ЭЭС.

Постановка задачи расчета режима функционирования определяется особенностями ЭЭС как сложной технической системы, которая включает в себя большое количество элементов, вырабатывающих, преобразующих, передающих, распределяющих, потребляющих электроэнергию и образующих сложно-замкнутую разветвленную структуру. В процессе расчета и анализа режимов приходится учитывать также специфику функционирования ЭЭС, обусловленную такими факторами как непрерывность процесса производства, распределения и потребления электроэнергии; динамизм, т. е. постоянное изменение технологических характеристик; сложность структурных связей и наличие системных особенностей.

Режимом работы ЭЭС называется состояние системы в любой момент времени или на некотором интервале времени.

Под установившимся режимом понимается такое состояние ЭЭС, когда параметры системы на рассматриваемом интервале времени сохраняются неизменными или изменяются достаточно медленно.

В современных условиях расчет установившихся режимов ЭЭС является наиболее часто решаемой задачей. При проектировании ЭЭС расчет установившихся режимов производится с целью выбора и уточнения параметров проектируемой системы. В процессе эксплуатации подобные расчеты позволяют оперативно управлять и прогнозировать работу ЭЭС. При этом осуществляется оценка допустимости режима по техническим условиям оборудования и определение режимов, оптимальных по технико-экономическим критериям.

Задача расчета установившихся режимов ЭЭС сводится к определению совокупности параметров, характеризующих работу системы: напряжений в различных точках системы, токов в ее элементах, потоков и потерь мощности и т. д.

Проведение расчета связано с рядом основных этапов:

предварительное преобразование и переход к расчетной схеме электрической системы; формирование уравнения состояния по известным исходным данным с учетом структуры расчетной схемы; выбор метода расчета, составление алгоритма и программы на ЭВМ; проведение расчета установившегося режима на ЭВМ; анализ точности полученных результатов.

В основе решения задачи расчета режима лежит математическое моделирование реальных процессов, происходящих в ЭЭС. При этом могут быть использованы линейные модели (например, обобщенное уравнение состояния, уравнения узловых напряжений, уравнения контурных токов [1]) и нелинейные модели (например, уравнения узловых напряжений в форме баланса мощности и в форме баланса токов [2]).

Расчет установившегося режима с использованием

линейных математических моделей.

В качестве примера рассмотрим реальную схему электрической системы (рис.2.1), которая включает в себя тепловую электростанцию (ТЭС), линии электропередач различных номинальных напряжений (Л1-Л6), понизительные подстанции и обобщенные нагрузки (Н1-Н4).

Предварительным этапом перед проведением расчета установившегося режима является переход от принципиальной к схеме замещения, а затем к расчетной схеме, формируемой на основе теории графов.

Под схемой замещения ЭС понимается совокупность схем замещения отдельных элементов, соединенных в той же последовательности, что и в реальной схеме.

Теория формирования схем замещения рассматривается в специальных курсах. Ограничимся примером формирования схемы замещения простейшей электрической системы, в объеме необходимом для понимания структуры расчетной схемы.

Будем рассматривать симметричные установившиеся режимы, при которых используется схема замещения одной фазы.

Принципиальная схема любой ЭС включает в себя три группы элементов:

источники энергии, потребители или нагрузку электрические сети, соединяющие источники с потребителями.

Возможны следующие варианты схем замещения для источников энергии: источник напряжения с ЭДС и внутренним сопротивлением (рис.2.2,а); источник тока J, равный току установившегося режима (рис.2.2,б); задающий ток J, равный току источника тока (рис.2.2,в). Использование задающих токов J, как модели источника энергии, повышает наглядность схем замещения сложных электрических систем.

Потребители электроэнергии (нагрузка) моделируются с помощью следующих схем замещения : сопротивление нагрузки Z (рис.2.3,а); источник тока J, равный взятому с обратным знаком току нагрузки (рис.2.3,б); задающий ток J, равный току источника тока (рис.2.3,в);

Схемы замещения элементов электрической сети представляют собой сопротивления Z, причем схемы замещения трансформаторов подстанций объединяются со схемами замещения источников энергии и нагрузок.

С учетом рассмотренных схем замещения отдельных элементов, приведем вариант схемы замещения (рис.2.4) электрической системы, представленной на рис.2.1.

При этом произведем, известные из курса ТОЭ, преобразования: приведем схемы к одному номинальному напряжению, схемы замещения трансформаторов подстанций объединим со схемами замещения источников питания и нагрузок; смоделируем нагрузку и генерацию мощности с помощью задающих токов.

Введены обозначения полученных в ходе преобразования сопротивлений и узлов схемы замещения, из которых один узел генераторный и 4 узла — нагрузочных.

По такой схеме замещения может быть составлен топографический направленный граф, который используется как расчетная схема (рис.2.5).

Данная расчетная схема содержит четыре независимых узла (1, 2, 3, 4) и один балансирующий узел (Б). Задающие токи в узлах 1,2,3,4 моделируют нагрузку и имеют отрицательные значения. В качестве балансирующего выбран генераторный узел, в котором задано значение напряжения. Каждая ветвь схемы имеет произвольное направление.

Расчетная схема содержит два независимых контура (I, II), направление обхода каждого заданно произвольно.

Схемы замещения современных электрических систем имеют сотни узлов и ветвей, образующих сложно-замкнутую структуру. Расчет режимов функционирования подобных технических систем невозможен без использования вычислительной техники. Поэтому важное значение приобретает использование единого формализованного подхода, основанного на аппарате алгебры матриц и позволяющего дать описание схем любой сложности и конфигурации. Матричная форма представления обеспечивает компактность и наглядность представления большого количества исходной и результирующей информации при проведении расчета режимов сложных схем.

2.3 Уравнения состояния ЭС.

Основные формы уравнений состояния ЭЭС: обобщенное уравнение состояния, уравнения узловых напряжений, контурные уравнения подробно описаны в [1].

В качестве примера линейных математических моделей рассмотрим наиболее широко используемые на практике формы уравнений состояния — обобщенное уравнение состояния и уравнение узловых напряжений в матричной форме или в виде системы уравнений, которые описывают нормальный режим работы ЭЭС.

Обобщенное уравнение состояния в матричной форме имеет вид:

, (2.1)

где — объединенная матрица коэффициентов, которая включает в себя две матрицы , и имеет следующую структуру:

— матрица инцидениций 1-го рода, предназначена для описания структурных связей узлов и ветвей в расчетной схеме.

( — количество узлов, — количество ветвей);

Правило формирования: каждый элемент матрицы , располагается на пересечении строки (номер узла) и столбца (номер строки), его значение определяется следующим образом:

-1, если ветвь входит в узел

= 1, если ветвь выходит из узла

0, если ветвь не соединена с узлом .

— произведение двух матриц:

— структурная матрица инциденций второго рода, отражающая связь ветвей в независимые контуры .

-1, если направление ветки

противоположно направлению обхода контура

1, если направление ветки совпадает с

направлением обхода контура

0, если ветвь не входит в контур

— матрица сопротивлений ветвей.

— объединенная матрица свободных членов, включающая в себя:

— вектор задающих токов; — вектор ЭДС контуров.

При использовании обобщенного уравнения состояния расчет установившегося режима ЭЭС производится в следующем порядке: вначале определяются токи в ветвях схемы , а затем рассчитываются падения напряжения в ветвях , напряжения в узлах , потоки активной и реактивной мощностей и т. д. Пример расчета приведен ниже при описании реализации в среде Mathcad.

Общий вид уравнения узловых напряжений [1,2]:

, (2.2)

где — матрица узловых проводимостей;

— матрица проводимостей ветвей, обратная матрице сопротивлений ветвей ;

— матрица узловых напряжений;

— базисное напряжение балансирующего узла.

Для большинства реальных схем замещения нагрузка и генерация мощности моделируются с помощью задающих токов , поэтому ЭДС в ветвях отсутствует. Тогда (при ) уравнение узловых напряжений имеет вид:

, (2.3)

Матрица узловых проводимостей рассчитывается по формуле:

, (2.4)

— транспонированная матрица инциденций первого рода;

— матрица узловых проводимостей.

Структура определяется физическим смыслом ее элементов:

Матрица является симметричной и слабо заполненной, т. е. содержит большое число нулевых элементов. Эти свойства позволяют реализовать на ЭВМ эффективные алгоритмы расчета режимов с учетом слабой заполненности массивов.

Использование уравнений узловых напряжений приводит к следующему порядку расчета режима ЭС: в начале определяются значения напряжений в узлах схемы , затем рассчитываются токи и падения напряжения в ветвях схемы, потоки активной и реактивной мощности , потери мощности в электрической сети и т. д.

Условие задачи: Для расчетной схемы, представленной на рис. 2.5 записать матричное уравнение узловых напряжений и рассчитать значения узловых напряжений методом Гаусса.

— сопротивления

— задающие токи, моделирующие

Расчет начинается с формирования уравнения состояния по расчетной схеме:

Составим матрицу инциденций 1-го рода.

При правильном составлении матрицы М строка, соответствующая балансирующему узлу, дополняет каждый столбец до нуля.

2.Составим транспонированную матрицу

3.Определяем матрицу узловых проводимостей

В матричной форме уравнение узловых напряжений имеет вид:

(2.5)

5. Перейдем к системе уравнений:

(2.6)

Далее, используя уравнения узловых напряжений, можно провести расчет установившегося режима в следующем порядке:

1. Решая систему уравнений вида (1.12), определяются значения узловых напряжений . Произведем расчет с помощью метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса состоит из однотипных шагов, связанных с формированием из матрицы коэффициентов верхней треугольной матрицы.

Шаг 1. Получим первое ключевое уравнение, для чего разделим первое уравнение системы (2.5) на коэффициент при , а затем исключим из всех уравнений, расположенных ниже ключевого.

(2.7)

Шаг 2. Принимаем за ключевое второе уравнение (разделим все коэффициенты на и исключим из уравнений ниже ключевого.

Преобразованная система, начиная с ключевого уравнения имеет вид:

(2.8)

Шаг 3. Принимаем за ключевое третье уравнение и исключаем из всех уравнений ниже ключевого, преобразованная система, начиная с ключевого уравнения имеет вид:

(2.9)

Шаг 4. Выбираем четвертое ключевое уравнение:

(2.10)

Обратный ход Гаусса:

Анализ точности расчета: Производится расчет невязок по исходной системе уравнений:

(2.11)

2. Из уравнения связи параметров режима [ 1 ] находятся падения напряжений в ветвях

(2.12)

3. Из уравнения закона Ома (1.1) определяются токи в ветвях схемы

(2.13)

4.По известным значениям и определяются остальные параметры режима и т. д.

Задана расчетная схема электрической системы, представленная в виде направленного графа, который содержит 5 узлов, 7 ветвей и 2 независимых контура (по вариантам в приложении). Направление ветвей и независимых контуров может быть задано произвольно. Для указанной схемы ЭС необходимо рассчитать параметры установившегося режима. В связи с этим, требуется выполнить следующие пункты задания:

1.Составить обобщенное уравнение состояния на основе первого и второго законов Кирхгофа, записать этого уравнение в матричной форме и в виде системы уравнений;

2.Вычислить матрицу узловых проводимостей и записать уравнение узловых напряжений в матричной форме и в виде системы уравнений;

3. Рассчитать узловые напряжения и токи в ветвях с использованием метода Гаусса с обратным ходом. Оценить точность полученных результатов. Исходные данные, необходимые для проведения расчетов, приведены в таблице 1 приложения

источники:

http://toehelp.com.ua/lectures/074.html

http://pandia.ru/text/80/682/5378.php