Решение обыкновенного дифференциального уравнения n го порядка

Решение обыкновенного дифференциального уравнения n го порядка

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Высшая математика

Обыкновенным называется уравнение вида

F ( x , y ( x ), y ‘( x ), y »( x ), … , y ( n ) ( x )) = 0,

где F — известная функция ( n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала ( a , b ), y ( x ) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

Функция y ( x ) называется (или ) дифференциального уравнения на промежутке ( a , b ), если она n раз дифференцируема на ( a , b ) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в :

y ( n ) = f ( x , y , y ‘, y », … , y ( n − 1) ).

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.

Чтобы выделить единственное решение уравнения n –го порядка обычно задают n начальных условий y ( x ₀) = y ₀, y ‘( x ₀) = y ₁, y »( x ₀) = y ₂, … , y ( n − 1) ( x ₀) = y _{n − 1}.

(или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y ( x ) уравнения

F ( x , y ( x ), y ‘( x ), y »( x ), … , y ( n ) ( x )) = 0, x > x ₀ ,

Условия y ( x ₀) = y ₀, y ‘( x ₀) = y ₁, y »( x ₀) = y ₂, … , y ( n − 1) ( x ₀) = y _{n − 1} называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.

Любое конкретное решение y = φ( x ) уравнения n –го порядка F ( x , y ( x ), y ‘( x ), y »( x ), … , y ( n ) ( x )) = 0 , называется .

Общим решением дифференциального уравнения

F ( x , y ( x ), y ‘( x ), y »( x ), … , y ( n ) ( x )) = 0

содержащая некоторые постоянные (параметры) С₁, С₂, … , С_n, и обладающая следующими свойствами:

1. Ф( x , С ₁ , С ₂ , … , С _n ) является решением уравнения при любых допустимых значениях С₁, С₂, … , С_m;
2. для любых начальных данных y ( x ₀) = y ₀, y ‘( x ₀) = y ₁, y »( x ₀) = y ₂, … , y ( n − 1) ( x ₀) = y _{n − 1}, для которых задача Коши имеет единственное решение, существуют значения постоянных С ₁ = A ₁ , С ₂ = A ₂ , … , С _n = A _n , такие что решение y = Ф( x , A ₁ , A ₂ , …, A _n ) удовлетворяет заданным начальным условиям.

Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f ( x , y ) = 0 или G ( x , y , С₁, С₂, . С _n ) = 0.

Такие неявно заданные решения называются или уравнения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к алгебраическим операциям и к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, то уравнение называется интегрируемым в квадратурах . Класс таких уравнений относительно узок.

Для решения уравнений, которые не интегрируются в квадратурах, применяются приближенные или численные методы.

Задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений — исследование общих свойств решений, развитие точных, асимптотических и численных методов интегрирования уравнений.

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N — ГО ПОРЯДКА

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

(2.1)

Общим решением уравнения (2.1) называется непрерывно дифференцируемая n раз функция удовлетворяющая уравнению и содержащая n произвольных постоянных подходящим выбором которых можно получить любое решение.

Решение, получаемое из общего при конкретных значениях произвольных постоянных называется частным решением.

Конкретные значения произвольных постоянных могут быть найдены из n начальных или граничных условий, задаваемых, исходя из физических особенностей задачи. Соответственно этому различают начальную задачу ( задачу Коши ) или краевую граничную ) задачу.

Задача интегрирования дифференциального уравнения n-го порядка называется начальной задачей или задачей Коши , если значения искомой функции и ее производных до (n-1)-го порядка включительно задаются при одном и том же начальном значении независимой переменной ( при ):

Информация в лекции «13 — Гемодинамика» поможет Вам.

Задача интегрирования дифференциального уравнения n-го порядка называется краевой (или граничной) задачей , если значения искомой функции (а возможно ее производных) задаются не в одной, а в двух точках, а именно на концах фиксированного интервала изменения независимой переменной x.

Например, для уравнения второго порядка при граничные условия могут иметь вид: или

В отличие от задачи Коши, решение которой существует и единственно ( при некоторых весьма общих условиях, налагаемых на правую часть уравнения (2.1)), краевая задача может не иметь решения или решение может быть неединственным.