Решение одного тригонометрического уравнения разными способами

Решение одного тригонометрического уравнения разными способами

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Решение одного тригонометрического уравнения разными способами

Разделы: Математика

Урок систематизации и обобщения знаний учащихся по теме: “Преобразование тригонометрических выражений” на примере решения одного тригонометрического уравнения разными способами проводится по методу проектов с использованием сервисов Web 2.0.(https://sites.google.com/site/mediacenternn/setevye-servisy-veb-2-0) Эти сервисы позволяют пользователям совместно работать над одним проектом не только в классе, но и дома дистанционно, размещать в сети текстовую и медиа информацию. Урок “Решение одного тригонометрического уравнения разными способами” является заключительным этапом в учебном проекте: “Нахождение способов решения одного тригонометрического уравнения”, который рассчитан на 10 учебных занятий и 4-ре внеурочных занятия.

Подготовительный этап к уроку. Класс делится на четыре группы, которые самостоятельно готовят к заключительному уроку мини-проект – это домашняя работа. Каждая группа собирает “копилку” тригонометрических уравнений (не менее 10), решает их различными способами.

Совместно с группами разрабатывается маршрут, группы делят обязанности внутри группы и назначают лидера группы, определяют вид защиты проекта, придумывают рекламу способа — синквейн, работу оформляют в виртуальной тетради.

Обязанности внутри группы:

— Один ученик подбирает весь теоретический материал по данным заданиям. Его задача : объединить теоретический материал по данному модулю в единую презентацию и выложить ее в совместный доступ, с помощью презентации Google.

— Один ученик подбирает ЦОР и средства Intel, которые наиболее эффективны. Его задача: создать базу данных сайтов, ресурсов, которые максимально смогут помочь в подготовке к защите проекта (“Аналитик группы”);

— Два ученика решают задания на один из способов каждый. Затем обучают каждого члена группы. (“Практики группы”).

После этого группам дается отработать на их “копилке” два способа.

• 1 группа: “Универсальная подстановка. Графический метод”;
• 2 группа: “Разложение левой части уравнения на множители. Возведение обеих частей уравнения в квадрат”;
• 3 группа: “Введение вспомогательного угла. Приведение к квадратному”;
• 4 группа: “Преобразование разности или суммы тригонометрических функций в произведение. Приведение уравнения к однородному”.

Тип урока: обобщение и систематизация материала.

Обобщение, систематизация и контроль знаний учащихся по теме: “Преобразование тригонометрических выражений” с использованием мультимедийных, сетевых компьютерных технологий, а также сервисов Web 2.0 и системы управления классом Classroom Management (Приложение 1)

Развивающая:

• Развитие логического и аналитического мышления, интеллектуальных способностей: умение анализировать, обобщать, систематизировать, сравнивать и делать выводы.

Задачи урока:

1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы при решении тригонометрических уравнений.
2. Продолжить формирование самоконтроля, взаимоконтроля, самоанализа.
3. Продолжить учиться работать в команде, используя общения в блогах и чатах.
4. Продолжить учиться самостоятельной работе с разными источниками информации, отбору необходимого, сравнению и установлению связей между известными фактами и явлениями, используя сервисы Web 2.0.
5. Продолжить формирование навыков анализа полученной информации.
6. Продолжить работу с электронными таблицами, программами обработки изображений, программами разработки веб-сайтов, различных социальных сервисов Intel.
7. Подготовиться к тесту по теме “Тригонометрические уравнения”.

Время проведения: два урока по 40 минут.

Оборудование:

• Компьютер, принтер, сканер.
• видеопроектор, документ камера, интерактивная доска;
• у каждого учащегося на классмейтах (Ноутбук школьника на базе процессора Inte), оценочные листы; листы взаимопроверки;
• карточки с уравнениями (рассылаются при помощи системы управления классом Classroom Management каждому ученику группы)
• варианты самостоятельной работы;
• презентация урока.
• Оценочные листы

1. Организационный момент (3 мин.)

1). Решение ситуативной задачи

2. Актуализация знаний (32 мин.)

1). Постановка целей и задач.

2). Решение уравнений.

3). Проверка домашнего задания (защита проектов).

3. Закрепление знаний, умений и навыков (30 мин.)

1). Обобщение методов решения тригонометрических уравнений.

2). Размещение способов решения тригонометрических уравнений в общую презентацию.

4. Контроль знаний (10 мин.)

1). Самостоятельная работа.

2). Самопроверка ответов.

5. Домашнее задание (2 мин).

6. Итог урока (рефлексия) (3 мин.).

1. Организационный момент

Тема нашего урока: “Решение одного тригонометрического уравнения разными способами”.

Начать хочу урок старой притчей:

Притча о рыбаке

Когда сели уже за стол, во дворе замаячила фигура. Это нищий топтался у ворот, не решаясь войти. Бабушка вышла к нему и позвала во двор. Нищий был худой и какой-то изможденный. Его накормили жаренной рыбой и налили большую кружку молока. Нищий ел и благодарно посматривал на хозяина.

– Благодарствую, дай вам Бог здоровья, – нищий поклонился в пояс и спрятал недоеденную корку хлеба в рукав.

– На здоровье, – ответил хозяин.

– Может, дадите мне еще хлеба, – нищий с надеждой посмотрел на старика.

– Мы дадим тебе кое-что получше. Вот. – и хозяин протянул нищему свою удочку.

– Спасибо, – нищий взял удочку и, бережно прижимая, пошел со двора.

Мальчик непонимающе посмотрел на деда:

– Дедушка, зачем ты отдал ему свою удочку? Тебе что хлеба жалко было?

Старик посмотрел на уже высоко поднявшееся солнце и сказал:

– Да нет, мне не жалко. Но понимаешь, если я дам ему буханку хлеба, он будет сыт сегодня. А, если он научится ловить рыбу, он будет сыт всегда.

— В чем смысл этой притчи? Какое отношение она имеет к нашему уроку?

2. Актуализация знаний.

— Прежде чем приступить к работе, каждый из вас должен поставить перед собой цель сегодняшнего урока, обсудить ее с членами вашей группы, выбрать общую цель и разместить ее на web- доске Lino.

— Сформулируйте общую цель урока.

Итак, у нас сегодня обобщающий урок по теме: “Преобразование тригонометрических выражений”. Тригонометрические уравнения есть в заданиях ЕГЭ, как в первой части, так и во второй, и оказываются вполне решаемыми, тригонометрическое уравнение во второй части. Поэтому вы должны иметь четкое представление о том, что тригонометрические уравнения решаются часто стандартными методами. Их немного, если их освоить, то решение тригонометрического уравнения из второй части становится вполне посильной задачей для вас. Работать мы будем сегодня и индивидуально, и в группах.

Наша общая задача состоит в том, чтобы составить таблицу классификации способов решения одного тригонометрического уравнения.

Эпиграфом к уроку я взяла слова Конфуция, зашифрованные в ребусе. Для этого надо решить упражнения и по ответам найти слова этого крылатого выражения. Работа группы должна быть быстрой, четкой. Карточки с заданиями находятся на рабочих столах ваших классмейтов. (Приложение 2). Посмотрим, чья группа справится первой. Окончание вашей работы оповестите кнопкой “Статус мгновенных сообщений”

Итак, эпиграфом нашего урока будут слова Конфуция:

“Три пути ведут к знанию: путь РАЗМЫШЛЕНИЯ – это путь самый благородный, путь ПОДРАЖАНИЯ – это путь самый легкий и путь ОПЫТА – это путь самый горький!”.

На дом было дано задание по группам: исследовать тригонометрические уравнения из ваших копилок, и решить их определенными способами, в каждой группе таких способов было два. Решения тригонометрических уравнений своими способами вы исследовали дома, свою работу оформляли в виртуальных тетрадях, капитаны проконсультировались со мной перед уроком по поводу их решения и сейчас каждая группа покажет, что у них получилось, а все ваши недочеты и ошибки вы откорректируете дома (презентация исследований).

Вы прослушали отчет каждой группы. Узнали другие способы решения тригонометрических уравнений, нашли и исправили ошибки, теперь пройдите по ссылке https://docs.google.com/spreadsheets/d/1NyMRwijuk6GhFqOnZMi-hx8lFUquGCGt3X2DQLxbfUQ/edit#gid=0 и оцените свою работу и работу микро групп. https://docs.google.com/document/d/1XqZCKfP3AaR1wb_T-xSyjgM2cHOFs9zQavxIg7xNhGc/edit

3. Закрепление знаний, умений и навыков.

Теперь нам предстоит решить одно уравнение всеми известными нам способами, каждая группа будет решать его своими способами, после этого надо дописать в группах таблицу классификации способов решения одного тригонометрического уравнения. Сравните полученный результат с моим.

Для получения общего продукта нашего труда вам необходимо разместить решения в общую презентацию, для этого воспользуйтесь ссылкой на онлайн-офис Google. https://docs.google.com/presentation/d/1fRekbKTq8etuwMxr-xfqwm4ZShDjbJrK59b5-Lxu-CA/edit#slide=id.ga825dc26e_72

Обратите внимание, что у каждого из этих способов есть преимущества и недостатки, о которых нам рассказали представители каждой из групп.

— Какие же проблемы могут возникнуть при решении тригонометрических уравнений?

Потеря корня.

• Операции, сужающие область определения:
• Деление на g(х)
• Опасные формулы (универсальная подстановка)

Лишние корни.

• Операции, расширяющие область определения:
• Возведение в четную степень
• Умножение на g(х) (освобождение от знаменателя)

— Есть ли универсальный способ решения тригонометрических уравнений?

4. Контроль знаний.

Для того, чтобы выяснить на сколько вы усвоили способы решения тригонометрических уравнений, каждому из вас будет предложена самостоятельная работа в виде двух уравнений, ваша задача решить их разными способами, способы решения вы выбираете самостоятельно, пользуясь таблицей “Классификация способов решения тригонометрических уравнений”. Работу выполните на листочках. Ответы запишите в тетрадь. После того, как сдали листочки, проверьте (ответы на обратной стороне доски) и оцените себя.

Вариант 1	Вариант 2
1.

Вариант 1	Вариант 2
	1.
	2.

5. Домашнее задание. Составить онлайн-тест по теме: “Преобразование тригонометрических выражений. 3 задания с выбором ответа, 2 задания с коротким ответом и 3 задания высокого уровня сложности, можно воспользоваться материалами сайта http://www.uztest.ru/

— Достигли вы поставленных для себя целей?

• Заполните Оценочные листы.
• Оцените уровень сложности урока. (Приложение 3)
• Фотографии с урока (Приложение 4)

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Краевая научно-практическая конференция «Эврика» Малой академии наук учащихся Кубани Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения Выполнен ученицей 11 «А» класса МОУ гимназии №40 Скопинцевой М. Г. Краснодара Научный руководитель- учитель математики МОУ гимназии№40 Шмитько И.А. Научный консультант-преподаватель ИНСПО Куб ГУ, канд. пед. наук Печкуренко Е.Н. 2008г.

Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер /английский математик и педагог XX века/

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения. 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение.

Задача. Решите уравнение различными способами: sin x – cos x = 1. ?

Способ первый. Приведение уравнения к однородному. sin x – cos x = 1 Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на т.к., если что противоречит тождеству Получим: sin x = 2 sin x/2 cos x/2, cos x = cos 2 x/2 +sin 2 x/2, 1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2. , .

Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1 Далее так, как в первом способе.

Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1 В левой части вынесем — корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х. = sin  /4 = cos  /4 sin cos — cos  sin  = sin (-)

Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cos x = 1? Покажем однозначность ответов. 1 –й способ x =  /2 + 2  n, n  Z x:  /2; 5  /2 ; 9 /2; -3  /2; -7  /2;… x =  + 2 n, b Z x =  ; 3  ; 5 ; —  ; -3 ;… 2-й способ x = /4 + ( -1)  /4 +  k, k  Z x:  /2; ; 5  /2 ; 3  ; 9/2; -; — 3/2; -3; -7/2…

Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в виде: Применим формулу разности двух синусов. Далее так, как в третьем способе. 1 cos x = sin ( / 2 – x )

Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x — cos x = 1 Возведем в квадрат: или

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Сделаем проверку. Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим: Левая часть: а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1 sin2x — 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1 1 – 2sin x cos x = 1, 2sin x cos x = 0, Ответ: x =  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z. или cos x =0 x=  /2 + n, n  Z sin x = 0 x =  n, n  Z

Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2). sin x – cos x =1 Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам: Sin x –cosx = 1 Умножим обе части уравнения на

Внимание! Могли потерять корни.Необходима проверка! Область допустимых значений первоначального уравнения — всё множество R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x =  +  n, где n  Z . Следует проверить , не является ли x =  + n, где n  Z решением данного уравнения. Левая часть sin(π — 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x =  +  n ,где n  Zявляется решением данного уравнения. Ответ: : x=  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z.

Способ восьмой. Графический способ решения. sin x – cos x = 1 На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х — график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх. sin x = cos x + 1

Проверь себя ! Решу, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: 1. sin2x + cosx = 0 ; 2. 3 sin x – cos x = 0 3. sin6x + sin3x = 0; 4. sin2x +cos2x = 1; 5.  3sin x + cos x = 1.

sin2x + cosx = 0 sin2x =2sinxcosx, тогда 2sinxcosx + cosx = 0, cosx( 2sinx + 1 ) = 0, cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0, х =  /2 +  n; n  Z; sinx = -1/2 x = ( -1)k+1  /6 + k, k  Z. Ответ: x =  /2 +  n, ; x = (-1)k+1  /6 +  k , где n Z , k  Z . Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2-й способ ).

sin2x + cosx = 0 cosx = sin ( /2 – x ), тогда : sin2x + sin ( /2 – x ) = 0, 2sin ( x/2 +  /4)cos (3x/2 —  /4 ) = 0. sin (x/2 +  /4) = 0 или cos (3x/2 —  /4 ) = 0, x/2 +  /4 =  n 3x/2 —  /4 =  /2 +  n x =-  /2 + 2  n x =  / 2+ 2  n/3 , n Z Ответ : x = —  /2 + 2  n , x =  / 2 + 2 n/3 , n Z . Способ : преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ) .

Сравним результаты двух способов решения уравнения sin2x + cosx = 0 2 –й способ: x =  /2 +  n; n Z, n =0, x =  /2 ( т. A ), n = 1, x = 3  /2 (т. В ), n =-1, x = —  /2 ( т. В ), n = 2, x =  /2 +2 (т.А) 2) x=(-1)k+1 /6 + k;k Z, k=0, x = —  /6 ( т.C ), k =1, x =  /6 +  (т.D ), k =-1, x =  /6 —  (т .D), k =2,x = —  /6+2  (т.C) 4-способ: 1) x = - /2 +  n, n Z , n =0, x= —  /2, (т .В ), n =1, x =-  /2 + 2 , (т .В ), n=-1, x= —  /2 –2  , (т. В ), n=2, x = —  / 2+ 4 ,(т .В ). 2) x =  / 2 + 2 n/3 , n Z . n =0, x=  /2 ( т.А ), n=1, x = 7  /6 ( т. D ), n= -1, x = —  /6 (т. А), n = 2, x = 11 / 6 (т.С ),…

Графическая иллюстрация этих решений на тригонометрическом круге Вывод : при обоих способах решений данного уравнения результаты одни и те же. 0 х у у А В С D

3 sin x – coos x = 0 cos x  0 в силу основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1. Разделим обе части уравнения на cos x. 3 tg x = 1, tg x = 1/ 3 , x =  /6 + n , n  Z. Ответ: x =  /6 +  n, n  Z. Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ).

3 sin x – cos x = 0 3sin x – cos x = 0, разделим обе части уравнения на 2. 3/2sin x – ½cos x = 0, sin x cos  /6 – cos x sin  /6 = 0, sin (x —  /6) = 0, x —  /6 =  n , n  Z, x =  /6 +  n , n  Z. Ответ : x =  /6 +  n, n  Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ).

3 sin x – cos x = 0 3 sin x – cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат. 3 sin2x – 2 3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе части уравнения на cos2x  0. 3 tg2x – 23 tg x + 1 = 0 D = 0, tg x =  3/ 3; x =  /6 +  n, n  Z. Ответ 😡 =  /6 +  n, n  Z. Способ :возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6-й способ). уравнения в

3 sin x – cos x = 0  3 sin x – cos x = 0, 2 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 3 2 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 3 2 tg x/2 — 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2  0, tg 2 x/2 + 2 3 tg x/2 — 1 = 0, tg x/2 = m, m 2 + 2 3 m – 1 =0, D = 0, m1 = — 3 — 2, m2 = — 3 + 2, 1) tg x = — 3 — 2, 2(- 3 — 2 ) — 2(3 + 2 ) — 2(3 + 2 ) — 1 1 +( — 3 — 2)2 8-4 3 4( 2+ 3 ) 2 , sin x = — 1/2, x = ( -1 ) k +1 /6 +  k, k  Z; 2) tg x = — 3 + 2, 2(- 3 + 2 ) — 2(3 — 2 ) — 2(3 — 2 ) 1 1 +( — 3 + 2)2 8-4 3 4( 2- 3 ) 2 , sin x = 1/2, x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Ответ: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ). sin x = cos x= — = = 0, =0, sin x= sin x = = = = = = =

sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0, sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0, sin 3x =0 , 2 cos 3x + 1 = 0, 3x =  n, n  Z, cos 3x = -½, x =  n/3, n  Z , x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z. Ответ: x =  n/3, n  Z; x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z. Способ:разложение левой части уравнения на множители ( 2 способ ).

sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 , sin 9x/2=0 , cos 3x /2 = 0, 9x/2 =  n, n  Z, 3x /2 =  /2 +  n, n  Z, x = 2  n/9, n  Z; x =  /3 + 2  n/3, n  Z . Ответ: x = 2  n/9, n Z; x =  /3 + 2  n/3, n Z. Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ ).

Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0, полученные разными способами. Вывод: результаты решения данного уравнения разными способами совпадают

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1 2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x =  n, n  Z, tg x = 1, x =  /4 + n, n  Z. Ответ:  n, n  Z, x =  /4 + n, n  Z. Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 1, 2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0, Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ). Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2x + sin ( /2 – 2x ) = 1, 2sin  /4 cos ( 2x —  /4 ) = 1, sin  /4 = 1/ 2 ,  2 cos ( 2x —  /4 )= 1 arksin (1 /  2 ) =  /4 . cos ( 2x —  /4 )= 1 /  2 , 2x —  /4 = arkcos (1 /  2 ) + 2  n, n  Z, 2x=  /4 arkcos( 1 /  2 ) + 2  n, n  Z, x=  /8  /8 +  n, n  Z. Ответ: x=  /8  /8 +  n, n  Z. Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на 2, 1/2 sin 2x + 1/ 2 cos 2x = 1/ 2 , cos /4 sin 2x + sin /4 cos 2x = 1/ 2, sin (2x + /4 ) = 1/ 2, 2x + /4 = (- 1)k  /4 +  k, kZ, 2x = — /4 + (- 1) k /4 +  k, kZ, x = —  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ. Ответ: x = —  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ. Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, Cos 2x =   ( 1 — sin 2 2x ) sin 2x   ( 1 — sin 2 2x ) = 1,   ( 1 — sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда 1 — sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x , 2 sin 2 2x — 2 sin 2x = 0, 2 sin 2x (sin 2x — 1 ) = 0, sin 2x = 0, sin 2x — 1 = 0, 2x =  n, sin 2x = 1, x =  n/2, n  Z ; 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n  Z. Ответ: x =  n/2, n  Z ; x =  /4 +  n, n  Z. Способ: приведение к квадратному уравнению относительно sin 2x ( 5 –й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1, 2sin 2x cos 2x + 1 = 1, 2sin 2x cos 2x = 0, sin 2x = 0, cos 2x = 0 , 2x =  n, n  Z ; 2x =  / 2 + 2  n , n  Z, x =  n/2, n  Z ; x =  / 4 +  n , n  Z. Ответ:  / 2 + 2  n , n  Z; x =  / 4 +  n , n  Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin2 x +cos 2x = 0, 2 tg x 1 — tg 2 x 1 + tg 2 x , 1 + tg 2 x , 2 tg x 1 — tg 2 x 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x 2 tg x +1 — tg 2 x –1 — tg 2 x — 0, 1 + tg 2 x/2  0, 2tg 2 x — 2 tg x = 0, 2tg x ( tg x – 1 ) = 0, tg x =0, tg x – 1 = 0, sin 2x = 0, sin 2x = 1, x =  n/2, n Z , 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n Z. Ответ: x =  n/2, n Z ; x =  /4 +  n, n Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ). sin 2x = cos2 x = + = 0

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1,  3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2, cos /6 sin x + sin  /6 cos x = 1/2 , Sin ( x +  /6 ) = 1 / 2 , x+  /6 = (- 1 ) k  /6 +  k, k Z, x = —  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z, Ответ 😡 = —  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3-й способ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 2 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2, 2 3 sin x/2 cos x/2 — 2sin 2x/2 =0, 2 sin x/2 ( 3 cos x/2 — sin x/2 ) =0, sin x/2 = 0,  3 cos x/2 — sin x/2 = 0, sin x/2 =  3 cos x/2 , x/2=  n, n  Z, tg x/2 =  3 , x = 2 n, n  Z , x/2 =  /3 +  n, n  Z, x = 2  /3 + 2  n, n  Z. Ответ: x = 2 n, n  Z , x = 2 n, n  Z . Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 2 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x, 1 – cos x = 2 cos 2 x/2 2 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2, 2 3 sin x/2cos x/2 — 2 cos 2 x/2 = 0, 2 cos x/2 ( 3 sin x/2 — cos x/2) = 0, Далее решать так как в первом способе. Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 –й способ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 3 sin2 x +2  3 sin x cos x +cos 2 x = 1, 2sin2 x +2  3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1, 2sin2 x +2  3 sin x cos x = 0, 2sinx ( sin x +  3 cos x) = 0, sinx = 0, sin x +  3 cos x = 0, x =  n , n Z, tg x = - 3 , x = —  /3 +  n, n  Z . Ответ : x =  n , n Z, x = —  /3 +  n, n  Z . Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x +cos x = 0, 2  3 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 2 3 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 23 tg x/2 + 1 — tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2  0, 2 tg 2 x/2 + 23 tg x/2 = 1, 2 tg x/2 (tg x/2 + 3 ) = 0, tg x/2 = 0 , , tg x/2 = - 3 , x/2 =  n , n Z, x/2 = —  /3 +  n , n Z, x = 2 n , n Z, x = — 2 /3 + 2 n , n Z. Ответ: x = 2 n , n Z, x = — 2 /3 + 2 n , n Z. Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ). sin x = cos x = + =1,

Подведем итоги 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение. 12345678 1 sin2x + cosx = 0 2 sin6x + sin3x = 0 3 sin6x + sin3x = 0 4 sin2x +cos2x = 1 5 3sin x + cos x = 1

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 966 материалов в базе

Другие материалы

• 09.09.2015
• 724
• 0

• 09.09.2015
• 518
• 0

• 09.09.2015
• 577
• 0

• 09.09.2015
• 545
• 0

• 09.09.2015
• 3220
• 5

• 09.09.2015
• 1310
• 10

• 09.09.2015
• 721
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 09.09.2015 5866
• PPTX 1.4 мбайт
• 30 скачиваний
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Шмитько Ирина Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 9584
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Египте нашли древние школьные «тетрадки»

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.