Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cosx, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Если \(\cosx=0\), то \(\sinx=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).
Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cosx\)
Заметьте, что в этом примере перед тем, как делить на \(\cosx\), была сделана проверка — является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Нужно каждый раз проверять, является ли выражение, на которое вы хотите поделить, решением. Иначе вы рискуете потерять корни уравнения .
Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть \(x^2-3x\). Давайте сделаем их одинаковыми. Представим \(48\cdot 4^\) как \(12\cdot 4^1\cdot 4^\).
Получился классический вид однородного уравнения. Поделим уравнение на \(4^\) . Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.
Обратите внимание: \((\frac<3><2>)^2\) \(=\) \(\frac<9><4>\) . С учетом этого сделаем замену.
Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому \(t>0\). Отметим это в решении, чтобы не забыть.
Уравнение с одним неизвестным
Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.
Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.
Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .
Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.
Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.
Решение уравнений с одним неизвестным
Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:
освобождение от дробных членов;
раскрытие скобок;
перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
сделать приведение подобных членов;
разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.
Пример 1. Решить уравнение
Освобождаем уравнение от дробных членов:
20x — 28 — 24 = 9x + 36.
20x — 9x = 36 + 28 + 24.
Выполняем приведение подобных членов:
Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):
Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:
Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.
Пример 2. Решить уравнение
Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:
Выполняем приведение подобных членов:
Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:
5(11 — 2) = 45; 5 · 9 = 45; 45 = 45.
Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:
53. Однородные системы уравнений
Линейное уравнение называется Однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:
Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема.Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.
Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .
Следствие 1:Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
Доказательство: Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т. е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.
Следствие 2:Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Доказательство: Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т. е. .