Решение первой краевой задачи для уравнения лапласа

Численные методы решения краевых задач

Постановка задачи и основные положения

Рассмотрим двухточечные краевые задачи, часто встречающиеся в приложениях, например, при решении задач вариационного исчисления, оптимального управления, механики жидкости и газа и др. Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение

и краевые условия

где [math]F \bigl(x,y,y’,\ldots,y^<(n)>\bigr);

j=\overline[/math] — функции указанных аргументов, заданные в некоторой области их изменения; [math]L[/math] и [math](n-L)[/math] — число условий на левом и правом концах отрезка [math][a,b][/math] соответственно. Общее количество условий равно порядку дифференциального уравнения. Требуется найти функцию [math]y=y(x)[/math] , которая на отрезке [math][a,b][/math] удовлетворяет уравнению (7.1), а на концах отрезка — краевым условиям (7.2).

Если уравнения (7.1),(7.2) линейны относительно искомой функции и ее производных, то краевая задача называется линейной.

Для простоты ограничимся частным случаем линейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка [math](n=2)[/math] , которая наиболее часто ставится в вычислительной практике и записывается в виде

(\Omega \equiv [a,b]),[/math]

где [math]p(x),\, q(x),\, f(x)\in C_2[a,b][/math] — заданные функции, а [math]\alpha_0,\,\alpha_1,\, \beta_0,\, \beta_1,\,A,\,B[/math] — заданные числа, 0,

j=0;1[/math] . Требуется найти функцию [math]y(x)[/math] , удовлетворяющую уравнению (7.3) и краевым условиям (7.4). Краевые условия при [math]\alpha_\ne0,

j=0;1[/math] , задают линейную связь между значениями искомого решения и его производной на концах отрезка [math][a,b][/math] .

В простейшем случае, когда [math]\beta_0=0,

\beta_1=0[/math] , краевые условия задают на концах отрезка [math][a,b][/math] только значения функции [math]y(a),\,y(b)[/math] . Такие функциональные условия называют краевыми условиями первого рода. В этом случае краевая задача называется первой краевой задачей.

В случае, когда [math]\alpha_0=0,

\alpha_1=0[/math] , т.е. на концах отрезка заданы только значения производных, краевые условия являются дифференциальными. Такие краевые условия называют условиями второго рода или «мягкими». Последнее название обусловлено тем, что они определяют на концах отрезка [math][a,b][/math] всего лишь наклоны интегральных кривых, а не значения функции [math]y(x)[/math] . В этом случае задача (7.3),(7.4) называется второй краевой задачей.

В общем случае, когда [math]\alpha_0[/math] и (или) [math]\alpha_1;

\beta_0[/math] и (или) [math]\beta_1[/math] не равны нулю, краевые условия носят функционально-дифференциальный характер и называются условиями третьего рода. Тогда задача (7.3),(7.4) называется третьей краевой задачей.

Например, условия [math]y(a)=A,

y(b)=B[/math] являются условиями первого рода. Геометрически это означает, что при решении первой краевой задачи требуется найти интегральную кривую уравнения (7.3), проходящую через данные точки [math](a,A),\, (b,B)[/math] (рис. 7.1,а). Условия [math]y'(a)=A,\, y'(b)=B[/math] являются условиями второго рода. Геометрически вторая краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, пересекающей прямые [math]x=a,

x=b[/math] под заданными углами [math]\alpha,\,\beta[/math] , где [math]\operatorname\alpha=A,

\operatorname\beta=B[/math] (рис. 7.1,6). Условия [math]y'(a)=A,

y(b)=B[/math] являются частным случаем краевых условий третьего рода, так как [math]\alpha_0=0,

\beta_1=0[/math] . Геометрически данная краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, проходящей через точку [math](b,B)[/math] и пересекающей прямую [math]x=a[/math] под данным углом [math]\alpha[/math] , где [math]\operatorname\alpha= A[/math] (рис. 7.1,в).

В общем случае краевая задача может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь несколько или бесконечно много решений.

Утверждение 7.1 (о существовании и единственности решения краевой задачи (7.3),(7.4)). Для того чтобы существовало единственное решение краевой задачи (7.3),(7.4), необходимо и достаточно, чтобы однородная краевая задача

имела только тривиальное решение [math]y(x)\equiv0[/math] .

Пример 7.1. Найти аналитическое решение следующих краевых задач:

0 \leqslant x \leqslant \frac<\pi><2>,

y\! \left(\frac<\pi><2>\right)-y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)=2[/math] (третья краевая задача);

0 \leqslant x \leqslant 1,

y(1)=0[/math] (первая краевая задача).

Воспользуемся известной методикой отыскания общих решений дифференциальных уравнений. Подставив в них заданные краевые условия, получим аналитические решения данных краевых задач.

1. Найдем общее решение однородного уравнения [math]y»+y=0[/math] , одинакового для обеих рассматриваемых задач. Так как характеристическое уравнение [math]\lambda^2+1=0[/math] имеет комплексные сопряженные корни [math]\lambda_<1,2>=\pm i= \alpha\pm \beta i[/math] [math](\alpha=0,

\beta=1)[/math] , то общее решение будет

2. Частные решения неоднородных уравнений находятся методом подбора. Подставляя [math]y_<\text>(x)=C[/math] в уравнение [math]y»+y=1[/math] , а [math]y_<\text>(x)=Dx[/math] в уравнение [math]y»+y=-x[/math] , получаем [math]C=1,

D=-1[/math] . Поэтому [math]y_<\text>(x)=1[/math] в случае «а», [math]y_<\text>(x)=-x[/math] в случае «б».

3. Найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

а) [math]y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+1[/math] ; б) [math]y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-x[/math] .

4. Определим значения произвольных постоянных из краевых условий третьего рода (случай «а») и первого рода (случай «б»):

а) найдем [math]y'(x)=-C_1\sin x+C_2\cos x[/math] . Тогда

Отсюда [math]C_1=1[/math] и [math]y(x)=1+\cos x[/math] — решение краевой задачи «а»;

б) общее решение [math]y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-x[/math] и, следовательно, [math]y(0)=C_1=0,

y(1)=C_1\cos1+ C_2\sin1-1=0[/math] , отсюда [math]C_2= \frac<1><\sin1>[/math] и [math]y(x)=\frac<\sin x><\sin1>-x[/math] — решение краевой задачи «б». Таким образом, решение краевой задачи представляет собой такое частное решение, которое удовлетворяет краевым условиям.

Рассмотренный метод нахождения аналитического решения краевых задач применим для ограниченного класса задач. Поэтому в вычислительной практике используются численные и приближенно-аналитические методы, позволяющие найти приближенное решение краевых задач, точные аналитические решения которых не могут быть найдены.

Метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу с краевыми условиями первого рода (первую краевую задачу):

где [math]p(x),q(x),f(x)\in C_2[a,b][/math] — заданные функции; [math]A,\,B[/math] — заданные числа.

Очевидно, любой отрезок [math][a,b][/math] , на котором ищется решение краевой задачи, можно привести к отрезку [math][0;1][/math] с помощью линейного преобразования [math]\widetilde= \frac[/math] . Действительно, тогда новая переменная [math]\widetilde\in [0;1][/math] . В результате без ограничения общности краевая задача (7.5) может быть решена сначала на отрезке [math][0;1][/math] , а затем это решение с помощью преобразования [math]x=a+(b-a)\cdot \widetilde[/math] может быть записано на отрезке [math][a,b][/math] . То же относится и к исследованию свойств полученного решения.

Утверждение 7.2 (о единственности решения краевой задачи (7.5)). Если функции [math]p(x),q(x),f(x)[/math] принадлежат классу [math]C_2[a,b],

q(x) \geqslant 0[/math] на [math][0;1][/math] , то краевая задача (7.5) имеет единственное решение [math]y(x)\in C_4[0;1][/math] .

Для решения задачи (7.5) применим метод сеток, получаемый путем аппроксимации первой и второй производных. Введем равномерную сетку (где [math]n[/math] — число отрезков разбиения)

Функции [math]p(x),q(x),f(x)[/math] заменяются их проекциями на сетку [math]\Omega_n[/math] , то есть [math]p(x)\to p(x_)=p_i,[/math] [math]q(x)\to q(x_)=q_i,[/math] [math]f(x)\to f(x_)= f_i,[/math] . Вместо точного решения [math]y(x)[/math] отыскивается некоторое приближение [math]\widehat_= \widehat(x_)\approx y(x_),

i=\overline<0,n>[/math] . Первая и вторая производные аппроксимируются на трехточечном шаблоне [math](x_,x_,x_)[/math] по формулам второго порядка (5.10),(5.14):

Краевые условия для этой задачи аппроксимируются точно, т.е. [math]y(a)[/math] и [math]y(b)[/math] заменяются на [math]\widehat_<0>[/math] и [math]\widehat_[/math] . После замены от дифференциальной задачи (7.5) переходим к разностной схеме:

представляющей собой систему алгебраических уравнений трехдиагонального вида:

\delta_=f_[/math] . Здесь система (7.6) записана для внутренних узлов сетки [math]\Omega_n[/math] . Она является трехдиагональной системой линейных алгебраических уравнений и решается методом прогонки.

1. Изложенный метод сеток допускает обобщение. Например, его можно применять для решения нелинейной краевой задачи:

где [math]F(x,y)[/math] — нелинейная по [math]y[/math] функция (в общем случае, который здесь не рассматривается, функция [math]F[/math] зависит также и от [math]y'[/math] ).

Рассуждая аналогично рассмотренному выше способу, перейдем к разностной задаче:

В силу нелинейности правой части полученная алгебраическая система является нелинейной и для ее решения нельзя использовать метод прогонки в том виде, в каком он изложен для линейной задачи. Поэтому для ее решения используем метод простых итераций, с помощью которого при фиксированном [math]k[/math] (номер итерации) система алгебраических уравнений (7.8) превращается в линейную, так как величины, входящие в правую часть системы, известны из предыдущей итерации. Действительно, для k-й итерации получается система (которая решается на каждой итерации методом прогонки)

Можно показать, что итерации сходятся при выполнении условия [math]q=\frac<1><8>(x_n-x_0)^2M_1 [math]M_1=\max_<[a,b]>\left|\frac<\partial F><\partial y>\right|[/math] с линейной скоростью.

2. Краевые условия второго и третьего рода в задаче, аналогичной (7.5), могут быть аппроксимированы несколькими способами.

Первый способ. Использование аппроксимационных формул (5.4) первого порядка

В силу первого порядка этих аппроксимаций метод сеток в этом случае также будет иметь первый порядок аппроксимации.

Второй способ. Применение формулы Тейлора и ее преобразование с использованием дифференциального уравнения. Таким способом может быть достигнут второй порядок аппроксимации.

Третий способ. Применение левосторонней (5.8) и правосторонней (5.9) формул, аппроксимирующих производные со вторым порядком:

3. Порядок аппроксимации схемы определяется минимальным порядком аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий.

Алгоритм применения метода сеток

1. Задать сетку [math]\Omega_n[/math] на отрезке [math][a,b][/math] или сформировать ее из условий достижения требуемой точности.

2. Используя аппроксимационные формулы (5.10),(5.14) и один из трех способов аппроксимации краевых условий (в случае, если они второго или третьего рода), перейти от исходной дифференциальной задачи к системе алгебраических уравнений (разностной схеме), неизвестными в которой являются величины, «близкие» к решению краевой задачи в узлах сетки.

3. Найти решение разностной задачи путем решения трехдиагональной системы уравнений и таким образом определить приближенное решение краевой задачи.

Пример 7.2. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+y=1,

0 \leqslant x \leqslant \frac<\pi><2>,[/math] [math]y'(0)=0,[/math] [math]y\! \left(\frac<\pi><2>\right)-y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)=2[/math] при [math]n=3[/math] , используя первый способ аппроксимации краевых условий. Записать разностные схемы для второго и третьего способов при произвольном [math]n[/math] .

В поставленной задаче

Для решения задачи воспользуемся методикой.

1. Так как [math]n=3[/math] , то сетка имеет вид [math]\Omega_3=\[/math] , где [math]x_=ih,

y\! \left(\frac<\pi><6>\right)=y_1,[/math] [math]y\! \left(\frac<\pi><3>\right)=y_2,[/math] [math]y\! \left(\frac<\pi><2>\right)=y_3[/math] . Будем искать приближенные значения [math]\widehat_0,\widehat_1, \widehat_2, \widehat_3[/math] . Проекции функций [math]p(x), q(x), f(x)[/math] на сетку имеют вид [math]p_=0,

2. Составим разностную схему. Согласно (7.6), для внутренних узлов сетки получаем

i=1;2[/math] или [math]\widehat_-(2-h^2)\widehat_+ \widehat_=h^2,

Применим первый способ аппроксимации краевых условий. По формуле (5.4) с учетом условия [math]y'(0)=0[/math] на левом конце имеем

На правом конце [math]y\! \left(\frac<\pi><2>\right)=y_3,

y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)=y’_3[/math] , и по второй из формул (7.9) [math]\widehat\,’_<3>= \frac<\widehat_<3>-\widehat_<2>>[/math] . Тогда краевое условие [math]y\! \left(\frac<\pi><2>\right)-y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)=2[/math] аппроксимируется выражением

В результате получаем разностную схему первого порядка аппроксимации (трехдиагональную систему линейных алгебраических уравнений)

Сравнивая первое уравнение этой системы с рекуррентным соотношением [math]\widehat_= P_\cdot \widehat_+ Q_[/math] метода прогонки, характеризующим обратный ход, получаем [math]P_0=1,

После этого вычисляются все последующие прогоночные коэффициенты по формулам:

Здесь [math]\alpha_,\beta_,\gamma_[/math] соответствуют коэффициентам левой части полученной алгебраической системы, а [math]\delta_[/math] — правой части.

Далее выполняется обратный ход: [math]\widehat_<3>=Q_3,

\widehat_<2>= P_2\widehat_<3>+ Q_2,

\widehat_<1>= P_1\widehat_<2>+ Q_1[/math] .

Результаты решения краевой задачи приведены в табл. 7.1, в которой последний столбец соответствует точному решению [math]y(x)=1+\cos x[/math] , найденному в примере 7.1.

7.1>>\\\hline i& \alpha_& \beta_& \gamma_& \delta_& P_& Q_& \widehat_& y(x) \\\hline 0& 0&-1,\!0000&-1& 0,\!00000& 1,\!00000& 0& 1,\!8648& 2,\!0000\\\hline 1& 1& 1,\!72584& 1& 0,\!27415& 1,\!37771&-0,\!37770& 1,\!8648& 1,\!8666\\\hline 2& 1& 1,\!72584& 1& 0,\!27415& 2,\!87240&-1,\!87242& 1,\!6277& 1,\!5000\\\hline 3& 1& 0,\!47640&-& 1,\!04200&-& 1,\!21853& 1,\!21853& 1,\!0000\\\hline \end[/math]

В силу того, что краевые условия аппроксимированы с первым порядком относительно [math]h[/math] , в данном случае получена разностная схема первого порядка, так как порядок аппроксимации схемы определяется минимальным порядком аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий.

Воспользуемся вторым способом аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка аппроксимации. Разложим [math]y(x)[/math] в точке [math]x=x_1[/math] относительно точки [math]x_0[/math] по формуле Тейлора:

Выразим из этого соотношения [math]y'(x_0)[/math] и подставим в него вместо [math]y»(x_0)[/math] выражение [math]y»(x_0)=1-y(x_0)=1-y_0[/math] , определяемое исходным дифференциальным уравнением:

Как показывает это соотношение, дифференциальное условие на левой границе аппроксимируется на двухточечном шаблоне [math](x_0,x_1)[/math] со вторым порядком аппроксимации двухточечным алгебраическим уравнением:

Аналогично получается двухточечное алгебраическое уравнение при / [math]i=n-1[/math] и [math]i=n[/math] . Разложение [math]y(x)[/math] в точке [math]x=x_[/math] относительно точки [math]x_n[/math] по формуле Тейлора имеет вид

Выражая отсюда [math]y'(x_n)[/math] с учетом связи [math]y»(x_n)=1-y(x_n)=1-y_n[/math] , следующей из исходного дифференциального уравнения, получаем

Подставим это выражение в граничное условие:

Таким образом, система линейных алгебраических уравнений в окончательном виде записывается следующим образом:

Эта трехдиагональная система, отличающаяся от полученной первым способом только первым и последним уравнениями, решается численно методом прогонки.

Применим третий способ аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка. Так, для крайней левой точки используется левосторонняя формула (5.8):

Тогда получается трехточечное алгебраическое уравнение:

Аппроксимация производной [math]y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)[/math] в крайней правой точке по правосторонней формуле [math]\widehat\,’_= \frac<1> <2h>\bigl(\widehat_-4\widehat_+ 3\widehat_\bigr)[/math] приводит к трехточечному алгебраическому уравнению:

Тогда в этом случае получается следующая система линейных алгебраических уравнений:

Здесь [math]\widehat_<2>[/math] в первом уравнении и [math]\widehat_[/math] в последнем нарушают ее трехдиагональный характер. В этом случае система приводится к трехдиагональному виду путем исключения [math]\widehat_<2>[/math] и [math]\widehat_[/math] из первых двух и последних двух уравнений системы и после этого решается методом прогонки.

Методы минимизации невязки

Описываемые здесь методы относятся к приближенно-аналитическим и могут применяться при решении достаточно широкого класса задач. На основе одного из приближенно-аналитических методов (метода Галеркина) строится метод конечных элементов, излагаемый в разд. 7.5.

Рассмотрим линейную краевую задачу (7.3),(7.4). Ее решение будем искать в виде

где [math]\varphi_0(x), \varphi_1(x), \ldots, \varphi_m(x)[/math] — элементы заданной системы функций; [math]a_1,\ldots,a_m[/math] — неопределенные коэффициенты. Заданная система функций называется базисной, и ее элементы должны удовлетворять условиям:

а) [math]\varphi_(x)\in C_2[a,b],

б) при любом конечном [math]m[/math] функции [math]\varphi_1(x), \ldots, \varphi_m(x)[/math] линейно независимы на отрезке [math][a,b][/math] ;

в) [math]\varphi_0(x)[/math] удовлетворяет краевым условиям (7.4)

г) [math]\varphi_1(x), \ldots, \varphi_m(x)[/math] удовлетворяют условиям

называется невязкой . Она равна разности левой и правой частей уравнения (7.3), образующейся при подстановке [math]\widehat_(x)[/math] вместо [math]y(x)[/math] в дифференциальное уравнение, и характеризует степень отклонения функции [math]\widehat_(x)[/math] от точного решения краевой задачи. Если при некоторых значениях коэффициентов [math]a_1,\ldots,a_m[/math] невязка тождественно равна нулю на отрезке [math][a,b][/math] , а именно

то функция [math]\widehat_(x)[/math] совпадает с точным решением краевой задачи (7.3),(7.4), так как удовлетворяются и уравнение, и краевые условия.

Однако при решении краевых задач, как правило, не удается получить невязку тождественно равной нулю. Поэтому ставится задача: вычислить коэффициенты [math]a_1,\ldots,a_m[/math] таким образом, чтобы невязка в каком-либо смысле стала меньшей. Полученные в результате коэффициенты определяют приближенное решение (7.11).

Выражение для невязки [math]\varepsilon(x; a_1,\ldots, a_m)[/math] с учетом (7.11) удобно записывать в следующей эквивалентной форме:

где [math]L\widehat_\equiv \widehat\,»_(x)+ p(x)\widehat\,’_(x)-q(x) \widehat_(x),

L[/math] — линейный оператор задачи (7.3),(7.4) (выполняются равенства [math]L(y+z)= Ly+Lz,[/math] [math]L(Cy)=C\cdot Ly[/math] для любых [math]y,\,z[/math] и постоянной [math]C[/math] ).

Рассмотрим различные методы, минимизирующие невязку .

А. Метод коллокации. На интервале [math](a,b)[/math] задаются т точек [math]x_1,\ldots, x_n[/math] (точек коллокации) и требуется, чтобы в каждой из них невязка (7.14) обращалась в нуль:

С учетом (7.16) эта система принимает вид

Если полученная система [math]m[/math] линейных уравнений совместна, то из нее определяются коэффициенты [math]a_1,\ldots, a_m[/math] , которые затем подставляются в (7.11).

Б. Метод наименьших квадратов (непрерывный вариант). Неизвестные коэффициенты [math]a_1,\ldots, a_m[/math] должны обеспечивать минимум интеграла от квадрата невязки:

Для решения задачи применяются необходимые условия безусловного экстремум:

Подставляя (7.16) в (7.19), получаем систему [math]m[/math] линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов [math]a_1,\ldots, a_m\colon[/math]

В. Метод наименьших квадратов (дискретный вариант). Неизвестные коэффициенты [math]a_1,\ldots,a_m[/math] должны обеспечивать минимум суммы квадратов значений невязки в заданном наборе точек [math]x_1,\ldots,x_n;

n \geqslant m[/math] , то есть [math]x_\in (a,b),

Для решения задачи применяются необходимые условия безусловного экстремума

Отсюда следует система [math]m[/math] линейных уравнений для нахождения коэффициентов [math]a_1,\ldots,a_m[/math] , которая по форме записи совпадает с (7.20), но скалярное произведение определяется по формуле [math]\textstyle<(f,g)= \sum\limits_^ f(x_)g(x_)>[/math] .

Замечание. При [math]n=m[/math] результаты, полученные точечным методом наименьших квадратов и методом коллокации, совпадают. В этом случае точки [math]x_1,\ldots, x_n[/math] являются точками коллокации.

Г. Метод моментов (взвешенных невязок). Неизвестные коэффициенты ах. ат находятся из условия равенства нулю /и моментов невязки:

j=\overline<1,m>[/math] — функции, удовлетворяющие условиям:

б) функции [math]\psi_(x)[/math] являются элементами системы степеней [math]x[/math] или системы тригонометрических функций.

j=\overline<1,m>[/math] называются весовыми, а условие (7.22) является условием ортогональности невязки к весовым функциям.

Д. Метод Галсркина. Он является частным случаем метода моментов, когда в качестве весовых функций используются базисные. Коэффициенты [math]a_1,\ldots,a_m[/math] находятся из условия ортогональности функций базисной системы [math]\varphi_1(x),\ldots, \varphi_(x)[/math] к невязке:

Отсюда следует система [math]m[/math] линейных уравнений для нахождения коэффициентов:

Известно, что при достаточно большом [math]m[/math] условие (7.23) обеспечивает малость невязки в среднем.

Алгоритм применения методов минимизации невязки

1. В выражении (7.11) выбрать систему базисных функций, задать число [math]m[/math] в зависимости от требуемой точности.

2. Найти коэффициенты [math]a_1,\ldots,a_m[/math] путем решения одной из систем алгебраических уравнений (7.18),(7.20),(7.24) в зависимости от выбранного метода.

3. Выписать приближенное решение краевой задачи по формуле (7.11).

Пример 7.3. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+y=-x,

0 \leqslant x \leqslant 1,[/math] [math]y(0)=0,

y(1)=0[/math] методом коллокации, интегральным методом наименьших квадратов, методом Галеркина

В поставленной задаче

Точное решение найдено в примере 7.1.

Воспользуемся сначала методом коллокации.

1. Зададим [math]m=2[/math] и будем искать решение в виде

где [math]\varphi_0(x)\equiv0[/math] (эта функция удовлетворяет каждому из краевых условий, т.е. [math]\varphi_0(0)=0,

\varphi_0(1)=0[/math] ), функции [math]\varphi_1(x)= x(1-x),

\varphi_2(x)= x^2(1-x)[/math] . Функции [math]\varphi_1(x),\, \varphi_2(x)[/math] линейно независимые, дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяют условию (7.13). Действительно,

Таким образом, решение краевой задачи ищется в форме

2. Так как [math]m=2[/math] и [math]\varphi_0(x)\equiv 0[/math] , то система (7.18) имеет вид

Выберем узлы коллокации: [math]x_1=1\!\!\not<\phantom<|>>\,4,

Таким образом, имеем линейную систему относительно [math]a_1[/math] и [math]a_2\colon[/math]

3. Приближенное решение задачи: [math]\widehat_2(x)= \frac<217>(42+40x)[/math] .

Решим теперь задачу методом наименьших квадратов (см. непрерывный вариант).

1. Решение краевой задачи ищется в форме [math]\widehat_2(x)= a_1\cdot x(1-x)+ a_2\cdot x^2(1-x)[/math] .

2. Так как [math]f(x)=-x,

\varphi_0(x)\equiv 0[/math] , то система (7.20) имеет вид

Итак, имеем линейную систему относительно [math]a_1[/math] и [math]a_2\colon[/math]

Приближенное решение задачи: [math]\widehat_2(x)=0,\!1875419x(1-x)+ 0,\!1694707x^2(1-x).[/math] .

Решим задачу методом Галеркина.

1. Пусть сначала [math]m=1[/math] . Решение ищется в форме [math]\widehat_1(x)= a_1\cdot x(1-x)[/math] .

2. Тогда система (7.24) преобразуется к виду

Так как [math]\varphi_1(x)= x(1-x),

L\varphi_1(x)= \varphi»_1(x)+ \varphi_1(x)=-2+x(1-x)[/math] , получаем

После вычисления интегралов имеем уравнение [math]-\frac<3><10>\,a_1=-\frac<1><12>[/math] , откуда [math]a_1=\frac<5><18>[/math] .

3. Приближенное решение краевой задачи: [math]\widehat_1(x)=\frac<5><18>\,x(1-x)[/math] . Пусть теперь [math]m=2[/math] .

1. Решение краевой задачи ищется в форме [math]\widehat_2(x)=a_1\cdot x(1-x)+ a_2\cdot x^2(1-x)[/math] .

2. Тогда система (7.24) имеет вид

Вычисляя интегралы, находим

3. Приближенное решение краевой задачи: [math]\widehat_2(x)= x(1-x)\! \left(\frac<71><369>+ \frac<7><41>\,x\right)[/math] .

Сопоставим полученные решения с точным (табл. 7.2).

7.2>>\\\hline x& y_<\text>& y_<\text>& y_<\text>& \text \\\hline 0,\!25& 0,\!045& 0,\!04311& 0,\!0440& 0,\!044014 \\\hline 0,\!50& 0,\!071& 0,\!06807& 0,\!0698& 0,\!069747 \\\hline 0,\!75& 0,\!062& 0,\!05899& 0,\!0600& 0,\!060050 \\\hline \end[/math]

Очевидно, метод Галеркина дал более точный результат.

Пример 7.4. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+2xy’-2y=2x^2,

0 \leqslant x \leqslant 1,[/math] [math]y'(0)=-2,

y(1)+y'(1)=0[/math] методом Галеркина.

В поставленной задаче

1. Зададим [math]m=2[/math] и подберем функции [math]\varphi_0(x),\, \varphi_1(x),\, \varphi_2(x)[/math] , используя систему [math]1,x,x^2,\ldots[/math] . Функция [math]\varphi_0(x)[/math] должна удовлетворять условиям (7.12):

Пусть [math]\varphi_0(x)=b+cx[/math] , где [math]b,\,c[/math] — неопределенные коэффициенты. Тогда

Отсюда [math]b=4[/math] и [math]\varphi_0(x)=4-2x[/math] .

Функции [math]\varphi_1(x),\, \varphi_2(x)[/math] должны удовлетворять условиям (7.13):

Первое условие выполняется для функций вида [math]\varphi_= x^+b_[/math] . Значения [math]b_[/math] находятся из второго условия [math]1+b_+j+1=0[/math] , откуда [math]b_=-j-2[/math] . Тогда получаем [math]\varphi_1(x)=x^2-3,

Таким образом, решение краевой задачи ищется в форме

2. Тогда система (7.24) имеет вид

3. Приближенное решение краевой задачи [math]\widehat_2(x)= x^2-2x+1[/math] .

Методы сведения краевой задачи к задаче Коши

Метод стрельбы. Суть этого метода заключается в сведении решения краевой задачи к многократному решению задачи Коши. Принцип построения метода стрельбы рассмотрим на примере нелинейной краевой задачи:

где [math]f(x,y,y’)[/math] — нелинейная функция, обусловливающая нелинейность дифференциального уравнения (7.25).

При введении новой переменой [math]z=y'[/math] уравнение (7.25) записывается в нормальной форме Коши, а краевые условия видоизменяются:

где [math]\eta=y'(a)=\operatorname\alpha[/math] — параметр, равный тангенсу угла наклона интегральной кривой в точке [math]x=a[/math] . Угол [math]\alpha[/math] (параметр [math]\eta[/math] ) в процессе многократного решения краевой задачи должен принять такое значение, чтобы интегральная кривая «попала в цель», т.е. в точку [math](b,B)[/math] (рис.7.2 ,а). В общем случае полученное при некотором значении [math]\eta[/math] решение [math]y(x,\eta)[/math] не будет удовлетворять условию [math]y(b,\eta)=B[/math] на правом конце отрезка.

Следовательно, требуется найти такое значение параметра [math]\eta[/math] , чтобы оно было корнем нелинейного уравнения [math]\Phi(\eta)= y(b,n)-B=0[/math] . Для решения этого уравнения, как правило, используются методы половинного деления или секущих. В случае использования метода половинного деления сначала делают «пробные» выстрелы при выбранных наугад или в соответствии с некоторым алгоритмом значениях [math]\eta[/math] до тех пор, пока среди значений [math]\Phi(\eta)[/math] не окажется двух противоположных по знаку. Им соответствует начальный интервал неопределенности, который далее последовательно сокращается путем деления пополам. При применении метода секущих используется формула

где [math]\eta^<(0)>,\,\eta^<(1)>[/math] — начальные значения параметра, [math]k[/math] — номер итерации. Итерации прекращаются при выполнении условия окончания [math]\bigl|\Phi(\eta^<(k)>)\bigr| \leqslant \varepsilon[/math] или [math]\bigl|\eta^<(k+1)>-\eta^<(k)>\bigr| \leqslant \varepsilon[/math] с некоторым положительным [math]\varepsilon[/math] , характеризующим точность решения задачи.

Замечание. Точность решения краевой задачи зависит не только от точности определения параметра [math]\eta[/math] , но также и от точности решения соответствующей задачи Коши. Поэтому одновременно с уточнением параметра [math]\eta[/math] рекомендуется уменьшать шаг при решении задачи Коши, либо выбирать более точный метод.

Рассмотрим применение метода стрельбы для решения линейной краевой задачи (7.3),(7.4):

Краевые задачи для уравнения лапласа в круговом цилиндре

Краевые задачи для уравнения лапласа в круговом цилиндре

Настоящая книга является естественным дополнением пособия А. Г. Свешникова, А. Н. Боголюбова, В. В. Кравцова «Лекции по математической физике». Её основная цель — помочь студентам приобрести необходимые практические навыки исследования математических моделей физических явлений, являющихся краевыми или начально-краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С этой целью каждая глава пособия построена следующим образом. В начале каждого параграфа главы приводятся необходимые минимальные сведения теоретического характера, используемые для решения данного типа задач. Затем эти методы демонстрируются в работе, для чего даются примеры решения конкретных задач. В конце главы приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения.

Содержание пособия полностью соответствует курсу «Методы математической физики», читаемому на физическом факультете МГУ. Пособие написано на основе более чем двадцатилетнего опыта преподавания на физическом факультете Московского университета. Оно рассчитано в первую очередь на студентов физических специальностей университетов, но будет полезно и студентам инженерных специальностей и лицам, занимающимся математической физикой и прикладной математикой.

Авторы выражают свою глубокую благодарность заведующему кафедрой Московского государственного института электронной профессору А. С. Поспелову, профессорам А. В. Ефимову, А. С. Ильинскому и С. Я. Секерж-Зеньковичу, взявшим на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний.

Краевые задачи для уравнения лапласа в круговом цилиндре

3.3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению

внутри кольца.

(1)

Необходимо поставить краевые условия на каждой из границ:

(2)

где — заданные функции, — полярный угол.

Для простоты вычислений возьмем и

тогда краевые условия примут вид

(2*)

Запишем уравнение (1) в полярных координатах

Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать решение уравнения (1) вида

.

Тогда уравнение (1) примет вид

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения.

Необходимо определить знак . В уравнении Лапласа в круге мы выяснили, что и решения уравнений (3)-(4) имеет вид

и при получили

Удовлетворим краевым условиям (2*). Необходимо выяснить, какие из коэффициентов являются лишними.

Решения краевых задач для уравнения Лапласа в круге

Уравнением Лапласа описываются различные физические процессы и в каждой задаче искомое решение должно удовлетворять уравнению в некоторой области D, а также некоторому дополнительному условию на границе S этой области D.

В зависимости от вида граничного условия различают следующие основные виды граничных задач:

1) найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям первого рода: — первая краевая задача или задача Дирихле;

2) найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям второго рода: — вторая краевая задача или задача Неймана;

3) найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям третьего рода: — третья краевая задача,

где — определенные на поверхности S функции; Р – точка поверхности S; — внешняя нормаль к S; .

Краевые задачи могут быть внутренними или внешними. Они различаются в зависимости от того, в какой области внутренней или внешней относительно поверхности S ищется решение.

Внутренняя задача Дирихле формулируется следующим образом: Найти непрерывную в замкнутой области функцию и(М), которая удовлетворяла бы в области D уравнению Лапласа и принимала бы на поверхности S заданные значения F(P). Математически это можно записать следующим образом:

Внутренняя задача Неймана формулируется так: найти внутри области D решение и(М) уравнения Лапласа

непрерывное в замкнутой области и удовлетворяющее на поверхности S условию

Рассмотрим теперь краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его. Пусть существует область, представляющая собой круг радиуса R. Запишем двухмерное уравнение Лапласа в полярных координатах, полагая, что , а

или . (18.12)

Для нахождения частных решений уравнения (18.12) используем метод Фурье и представим эти решения в виде

(18.13)

После подстановки решения (18,13), первой и второй производной от этой функции по r, а также второй производной от нее по φ в исходное уравнение (18.12), получим

.

Разделим в этом уравнении переменные

(18.14)

Это равенство выполняется тогда и только тогда, если обе его части равны одной и той же постоянной, например, λ

Тогда для каждой функции и получим два уравнения

, (18.15)

. (18.16)

Рассмотрим сначала уравнение (18.15) для функции . Ясно, что при изменении угла φ на величину 2π однозначная функция должна вернуться к исходному значению, т.е. . Отсюда . Значит, , т.е. функция является периодической функцией с периодом 2π. Уравнение (18.15) является линейным однородным уравнением второго порядка и поэтому его решение будем искать в виде

,

После подстановки которого в уравнение (18.15) получим характеристическое уравнение

,

Корни характеристического уравнения являются исключительно мнимыми, поэтому общее решение уравнения (18.15) при будет иметь вид,

. (18.17)

и в силу периодичности функции должно быть выполнено равенство , где n ≥ 0 – целое число.

В самом деле, из равенства

,

,

,

, (18.18)

Следовательно, частные решения уравнения (18.15) при различных значениях n можно записать в виде

(18.19)

Исходя из (18.18) следует, что уравнение (18.16) можно записать в виде

(18.20)

Уравнение (18.20) в случае, когда представляет собой уравнение Эйлера с переменными коэффициентами, которое можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами используя замену переменной по правилу . Вычислим производные уравнения (18.20) в новых переменных

.

Следовательно, подставив эти производные в уравнение (18.19) получим обыкновенное линейное и однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

. (18.21)

Решение этого уравнения будем искать в виде

,

Вычислим от этой функции производные и подставим в уравнение (18.21)

,

следовательно общее решение уравнения (18.21) имеет вид

и возвращаясь к переменной r, получим

. (18.22)

Если в уравнении (18.20) , то это уравнение принимает вид

(18.23)

Это уравнение также является уравнением Эйлера, поэтому, производя замену , приходим к уравнению

,

решение которого будет иметь вид

,

и возвращаясь к переменной r, получим

. (18.24)

решение уравнения (18.20) при , а при любых значениях n частные решения уравнения (18.20) запишем в виде

. (18.25)

Подставляя (18.19) и (18.25) в решение (18.13) получим набор частных решений

,

используя принцип суперпозиции, а также вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа можно утверждать, что сумма частных решений также будет его решением, следовательно, общее решение уравнения Лапласа будет иметь вид

(18.26)

Пользуясь этой формулой и задавая граничные условия первого, второго и третьего рода можно решать как внутренние, таки внешние граничные задачи – Дирихле, Неймана и смешанную задачу.

I.Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса R

Для решения этой задачи используем формулу (18.26), учитывая при этом, что функция должна быть ограничена, поэтом мы должны принять, что все коэффициенты , поскольку в противном случае функция имела бы разрыв в точке r = 0 и не была бы гармонической в круге. Исходя из этого, и полагая, что все коэффициенты , а также в формуле (18.26) выделяя члены при n = 0,

получим решение уравнения Лапласа

(18.27)

Удовлетворим в этом решении поставленным граничным условиям

Разложим функцию f(φ) в ряд Фурье на интервале от 0 до 2π

,

следовательно, можно записать

.

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства

,

найдем значения искомых коэффициентов A_n и B_n

Подставляя найденные коэффициенты в решение (18.27), получим окончательное решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

(18.28)

где c_n и d_n коэффициенты, заданные поставленными граничными условиями.

Решение задачи Дирихле также можно получить и используя формулу Пуассона

, (18.29)

которая при непрерывной функции дает классическое решение задачи Дирихле в круге.

II.Рассмотрим внешнюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса R

Для решения этой задачи используем формулу (18.26), учитывая при этом, что функция должна быть ограничена на бесконечности и неограниченна при r → 0, поэтом мы должны принять, что все коэффициенты . Исходя из этого, и полагая, что все коэффициенты , получим решение уравнения Лапласа

(18.30)

Удовлетворим в этом решении поставленным граничным условиям

, и разложим функцию f(φ) в ряд Фурье на интервале от 0 до 2π

.

Следовательно, можно записать

.

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства

,

найдем значения искомых коэффициентов A_n и B_n

Подставляя найденные коэффициенты в решение (18.30), получим окончательное решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

, (18.31)

где c_n и d_n коэффициенты, заданные поставленными граничными условиями.

III.Рассмотрим внутреннюю задачу Неймана:

(18.32)

Для решения этой задачи вычислим производную от решения (18.27)

. (18.33)

И запишем граничные условия

и разложим функцию f(φ) в ряд Фурье на интервале от 0 до 2π

.

Следовательно, можно записать

.

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства, найдем значения искомых коэффициентов A_n и B_n

Подставляя найденные коэффициенты в решение (18.33), получим окончательное решение внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге

, (18.31)

где С – произвольная постоянная.

Необходимо отметить, что решение задачи Неймана существует только при условии

(18.32)

и определяется с точностью до произвольной постоянной.

Смешанная граничная задача для уравнения Лапласа в круге радиуса R решается аналогично задачам рассмотренным выше.

Пример 18.1. Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части круга радиуса R, удовлетворяющее краевому условию

. (П18.1.1)

▲ Здесь задана задача Дирихле, где правая часть граничного условия (П18.1.1) . Решение ищется в круге , значит выписывать решение будем по (18.28). Найдем в этой формуле коэффициенты

Для этого подставим само решение (18.28) в левую часть граничного условия (П18.1.1) при , а правую часть, т.е. функцию разложим в ряд Фурье по синусам и косинусам

.(П18.1.2)

Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами и при свободном члене в левой и правой частях полученного равенства (П18.1.2)

(при ), т.к. справа нет слагаемых с ,

а также все остальные (кроме ). Подставим ненулевые в решение (18.28) и получим ответ, т.е. найдем функцию

▲

Пример 18.2. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга радиуса R , удовлетворяющее на границе условию Неймана

(П18.2.1)

▲ Здесь задана задача Неймана, где правая часть граничного условия (П18.2.1) (уже разложена в ряд Фурье), которую можно представить в виде двух функций

и для каждой из них найдем решение. Прежде чем решать поставленную задачу проверим выполнение условия (18.32)

,

так как условие (18.32) выполнено, то для решения поставленной задачи воспользуемся, описанном выше алгоритмом (III.)

Вычислим производную от решения (18.27)

.

и запишем граничные условия сначала для функции

(П18.2.2)

Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами в левой и правой частях полученного равенства (П18.2.2):

а все остальные и . Следовательно, решение, соответствующее функции имеет вид

.

Затем запишем граничные условия сначала для функции

(П18.2.3)

Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами в левой и правой частях полученного равенства (П18.2.3):

а все остальные .

Следовательно, решение, соответствующее функции имеет вид

.

Таким образом, решение исходной задачи будет определяться формулой

▲

Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полосе с трещиной (завесой) Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Холодовский Святослав Евгеньевич, Шадрина Наталья Николаевна

Выведены формулы, позволяющие по известному решению классической задачи Дирихле в полуплоскости, строить решения первой краевой задачи в кусочно-однородной полосе с трещиной ( завесой ), параллельной гра-ницам полосы.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Холодовский Святослав Евгеньевич, Шадрина Наталья Николаевна

Solution of the first boundary value problem for Laplas equation in the strip with a crack (screen)

There have been derived formulas that make it possible with the known solution of the Dirichle task in the semi-flatness to construct solutions of the first boundary value problem in the piece-homogeneous strip with a crack ( screen ) that is parallel to the boundaries of the strip.

Текст научной работы на тему «Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полосе с трещиной (завесой)»

ность полученной программы может превышать производительность эквивалентной программы на языках типа C/C++. Время же, затраченное на разработку и отладку, а также качество и читабельность кода просто несопоставимы.

Функциональное программирование — раздел дискретной математики и парадигма программирования, в которой процесс выгчисления трактуется как выгчисление значений функций в математическом понимании последних (в отличие от функций как подпрограмм в процедурном программировании).

Императивные программы имеют склонность акцентировать последовательность шагов для выполнения какого-то действия, а функциональные программы к расположению и композиции функций, часто не обозначая точно последовательность шагов. В отличие от императивного стиля, описывающего шаги, ведущие к достижению цели, функциональный стиль описывает математические отношения между данными и целью.

В выборе средств обучения курсу «Численные методы» надо основываться на целях и задачах вуза. Но нельзя выбирать только одну ветвь направления (только изучение математических пакетов или только программирование и теория). Необходимо использовать все средства обучения, чтобы учащиеся могли сделать для себя выбор, чем пользоваться в дальнейшем.

Сегодня представляется целесообразным начинать обучение с применения численных методов и лишь после овладения каким-либо из стандартных пакетов переходить к программированию численных методов. Первыпй этап можно условно назвать уровнем пользователя, а второй — уровнем профессионала. На первом этапе студенты учатся применять стандартные численные методы, заложенные в пакет, а на втором — программировать численные методы и создавать интерфейс.

К сожалению, не все преподаватели данной дисциплины знают программирование и/ или математические пакеты на достаточном уровне, чтобы использовать на занятиях оба подхода. Таким образом, можно сделать вывод, что курс «Численные методы» можно и нужно изучать в два этапа, вначале с помощью любого математического пакета, а после того как студенты поймут суть методов, можно переходить к их программированию на функциональных языгках программирования.

1. Беликов В. В. Обучение численным методам в условиях информатизации образования. URL: http://cis.rudn.ru/document/show.action

2. Водолазская И. В. Об одном из вариантов использования компьютеров в процессе обучения в техническом университете / / Физическое образование в вузах. 2001. № 1, С. 98-106.

3. Ляхов А. Ф. Современные IT технологии и проблемы преподавания курса «Численные методы» на математических факультетах/ URL: http://www.it-education.ru/2008/reports/Lyakhov.htm

4. Ляхов А. Ф., Петрова О. С. Основы методов проектирования систем компьютерного назначения / / Мат. вестник пед. вузов и университетов Волго-Вятского региона. 2004. № 7. СЧ. 12.

5. Розина И. Н. Педагогическая коммуникация в электронной образовательной среде: исследовательские и образовательные подходы / / Педагогическая информатика. 2004. № 1.

УДК 517.956 ББК В 311

С. Е. Холодовский, Н. Н. Шадрина

Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полосе с трещиной (завесой)

Вытедены1 формулы, позволяющие по известному решению классической задачи Дирихле в полуплоскости, строить решения первой краевой задачи в кусочно-однородной полосе с трещиной (завесой), параллельной границам полосы.

Ключевые слова: краевые задачи, трещины, завесы, метод свертывания разложений Фурье.

S. Ye. Kholodovskiy, N. N. Shadrina

Solution of the first boundary value problem for Laplas equation in the strip with a crack (screen)

There have been derived formulas that make it possible with the known solution of the Dirichle task in the semiflatness to construct solutions of the first boundary value problem in the piece-homogeneous strip with a crack (screen) that is parallel to the boundaries of the strip.

Key words: boundary value problems, crack, screen, a method of convolution of Fourier expansions.

Пленочные включения моделируют естественные трещины и завесы, а также искусственные мембраны, дренажи, проводники, изоляторы и т. д., которые используются для управления потоками тепломассопереноса.

1. Случай трещины. Рассмотрим первую краевую задачу в полосе Ц(х є Я,-1 A)dA, где

g = f sin Ax + f2 cos Ax, (4)

f — коэффициенты Фурье функции F(x,0). Отсюда функция F(x,y) представима в виде

F(x,y) = jeAygdA, y 0. Умножая это равенство на в

рируя по ? е (0, да), находим (см. [1])

где g имеет вид (4). Отсюда с учетом формулы бинома Ньютона окончательно решение задачи (1), (2) получим в вице

к1 + к2 п =0 I к = 0

где Тпк = Скп+1(-2у)к, Скп+1 — биномиальные коэффициенты, у = у — 2п1, у =-у — 21(п +1),

Уз = у — 21(п + 1), у4 =-у — 2п1, Ф0(х, у) = Г(х, у),

Фк(х, у) = — |в“V 1Е(х,у — , к = 1>2,-,

Р(х,у) — решение задачи Дирихле (3) в полуплоскости, у имеет вид (9).

2. Случай завесы. Пусть в рассмотренной задаче (1) зоны д разделены слабопроницаемой завесой. Отсюда для функций и.(х> у) в д задача примет вид (1),

у = 0: и2 — Щ = Бк1дуы1,

где В — параметр завесы [1]. Представляя решение задачи (1) в виде (6), из условий (11) для параметров а получим систему алгебраических уравнений а1(8 + Вк1 Лс) + = 1, (а1к1 — а2к2)е = к2,

решение которой имеет вид

а =___к2(* +с)__________, а =_______(рЛ — к1)е + к** , р = ккВ, (12)

с[ рЛс + я(к> + к)] с[ рЛс + 8(к1 + к2)]

где £ и С определены в (7). С учетом очевидного равенства

с[ рЛс + 8(к + к )] с рЛс + 8(к + к)

параметры (12) примут вид

1 к + к Iс Лс + ув)) (к1 + к2)с (к1 + к2)(Лс + у8)

Отсюда с учетом разложений

решение задачи (1), (11) приведем к виду

— X Тпк[Фк(Х,У1) — Фк( X, у 2)]

+ к1 X Тл[Фк(х, у3) — Фк(х, у4)]\, (14)

где !ТП£ , у, Фк (х, у) определены в (10), у имеет вид (13).

Отметим, что формулы (10) и (14) проще соответствующих формул (6), (7) и (6), (12), полученных методом Фурье. Именно формулы (6), (7), (12) содержат две квадратуры: внешнюю и внутреннюю (в

коэффициентах Фурье £ (4)) от сильно осциллирующих подынтегральных функций), а формулы

(10), (14) содержат одну квадратуру без осцилляций и имеют вид быстросходящихся рядов со скоростью геометрических прогрессий.

1. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах / / Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.

2. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднородном пространстве / / Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 8. С. 1204-1208.