Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Содержание:
Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:
Уравнения такого вида принято называть показательными.
Решении показательных уравнений
При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.
Пусть
Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.
Пример:
Решение:
Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению
Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:
Решив это уравнение, получим
Ответ:
При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно уравнению
Решая его, получаем:
Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим
б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим
Ответ:
При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Обозначим тогда
Таким образом, из данного уравнения получаем
откуда находим:
Итак, с учетом обозначения имеем:
При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Пример:
При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?
Решение:
Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство
Решив это уравнение, найдем
Ответ: при
Показательные уравнения и их системы
Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:
Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.
1 Приведение к одному основанию.
Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда
Пример №1
Решите уравнение
Решение:
Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде
Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.
Пример №2
Решить уравнение
Решение:
Переходя к основанию степени 2, получим:
Согласно тождеству (2), имеем
Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.
2 Введение новой переменной.
Пример №3
Решить уравнение
Решение:
Применив тождество 2, перепишем уравнение как
Введем новую переменную: Получим уравнение
которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,
Пример №4
Решить уравнение
Решение:
Разделив обе части уравнения на получим:
последнее уравнение запишется так:
Решая уравнение, найдем
Значение не удовлетворяет условию Следовательно,
Пример №5
Решить уравнение
Решение:
Заметим что Значит
Перепишем уравнение в виде
Обозначим Получим
Получим
Корнями данного уравнения будут
Следовательно,
III Вынесение общего множителя за скобку.
Пример №6
Решить уравнение
Решение:
После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей
системе :Отсюда получим систему
Очевидно, что последняя система имеет решение
Пример №8
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:
Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим
Пример №9
Решите систему уравнений:
Решение:
Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:
Очевидно, что эта система уравнений имеет решение
Тогда получим уравнения
Приближенное решение уравнений
Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что
Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.
Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .
Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности
- вычисляется значение f(х) выражения
- отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
- вычисляется значение выражения f(х) в точке
- проверяется условие
- если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
- если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
- для нового отрезка проверяется условие
- если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:
Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения
Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству
Пример №10
Найдите интервал, содержащий корень уравнения
Решение:
Поделив обе части уравнения на 2 , получим,
Так как, для нового уравнения
Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,
выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия
Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу
ПустьЕсли приближенный
корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.
Пример №11
Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью
Решение:
Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале
(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).
Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если
Пусть
Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Показательные уравнения и неравенства
Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.
Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.
Показательная функция
Что такое показательная функция?
Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции y = a x :
Свойство | a > 1 | 0 только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему: Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями: 0,\, b>0: \\ a^0 = 1, 1^x = 1; \\ a^<\frac Пример 1. Решите уравнение: Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку: Уравнение тогда принимает вид: Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен: 0. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их: Переходя к обратной подстановке, получаем: Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе: С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию. Ответ: x = 3. Пример 2. Решите уравнение: Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю). Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней: Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1. Пример 3. Решите уравнение: Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид: Ответ: x = 0. Пример 4. Решите уравнение: Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней: Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x. Ответ: x = 0. Пример 5. Решите уравнение: Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет. Ответ: x = -1. Пример 6. Решите уравнение: Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи: Ответ: x = 2. Решение показательных неравенствПоказательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f(x) > a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 f(x) > a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится: Тогда неравенство примет вид: Итак, решением неравенства является промежуток: переходя к обратной подстановке, получаем: Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству: Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству: Итак, окончательно получаем ответ: Пример 8. Решите неравенство: Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде: Введем новую переменную: С учетом этой подстановки неравенство принимает вид: Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство: Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t: Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем: Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству: Окончательно получаем ответ: Пример 9. Решите неравенство: Решение: Делим обе части неравенства на выражение: Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем: Воспользуемся заменой переменной: Исходное уравнение тогда принимает вид: Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке: Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая: Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе: Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству: Итак, окончательный ответ: Пример 10. Решите неравенство: Решение: Ветви параболы y = 2x+2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине: Ветви параболы y = x 2 -2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине: Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x+2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1. Ответ: x = 1. Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене. P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно. Конспект урока по математике в 11 классе «Решение показательных уравнений и неравенств»Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. Конспект урока по математике «Решение показательных уравнений и неравенств» Открытый урок в 11 классе. Тема урока: «Решение показательных уравнений и неравенств». образовательные: формирование умений и навыков решать показательные уравнения и неравенства; формирование заинтересованности учащихся в решении показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ. развивающие: активизация познавательной деятельности; развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности. воспитательные: формирование умений работать самостоятельно; принимать решение и делать выводы; воспитание устремлённости к самообразованию и самосовершенствованию; осознание учащимися социальной практической значимости учебного материала по изучаемой теме. Тип урока: урок закрепление знаний. Форма урока: урок-практикум I Организационный момент. Сообщение учителем целей, задач и структуры урока, его основных моментов. II Повторение. Актуализация знаний. Французский писатель 19 века Анатоль Франс однажды заметил. «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Совсем скоро вам предстоит сдавать экзамены в форме ЕГЭ. И тема, которую мы изучаем, присутствует в заданиях ЕГЭ. Итак, тема нашего урока «Решение показательных уравнений и неравенств». Сегодня мы с вами должны обобщить и закрепить умения и навыки решения показательных уравнений и неравенств. Прежде, чем перейти к устному счету, пойти к доске, решить уравнение. 1)3•16 х +2•81 х =5•36 х . Ответ: х=0,5; х=0. 2) На доске записаны пары уравнений. Устно решить их, из корней составить координаты точки, затем эту точку отметить на координатной плоскости и последовательно соединить получившиеся точки. 1) 5 х =625; 2 у =32. 2) 5 х-2 =1; 6 у-3 =36. 3) 3 х-4 =1/9; 3 у =27. 4) 5 х-2 =25; 5 -у =1/125. 5) 3 х-1 =27; 2 -у =1/2. 6) 14 х =196; 5 у+2 =125. Пока ребята выполняют задания у доски, мы с вами вспомним теоретический материал, необходимый при решении показательных уравнений и неравенств. Устный счёт дифференцированный, предлагаю задания разного уровня сложности и оцениваться они будут по-разному. Лёгкие вопросы оцениваются жетонами зелёного цвета в 1 балл. Посложнее вопросы оцениваются жёлтыми жетонами в 2 балла. «Интересные» вопросы оцениваются красными жетонами в 3 балла. На прошлом уроке мы с вами решали показательные уравнения и неравенства. Итак, первый вопрос в 1 балл. Какое уравнение называют показательным? — Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называют показательным. Какое из предложенных уравнений является показательным? 1) х 3 =27; 2) 3•х=27; 3) 3 х =27. Как называются уравнения 1) и 2)? Исключите лишнее уравнение. 1)3 х 2-х =1; 2) √3 х =9; 3) х 3 = . Почему вы исключили 3)? Как называются уравнения 1) и 2)? Какие методы решения показательных уравнений вы знаете? Введение новой переменной Вынесение общего множителя Вопросы, оцениваемые в 2 балла: Указать метод решения показательного уравнения: Указать метод решения показательного уравнения: Решить уравнение: 2 х-2 =-2. Каким правилом вы пользовались при решении неравенств? Вопросы, оцениваемые в 3 балла: Сколько корней имеет уравнение? Подсчет баллов по жетонам. Проверка работ у доски. Определить лучшего из «Считалочкиных» и задать домашнее задание. Домашнее задание: стр.299, № 171(а, б), №172 (в,г) + карточка с заданием ЕГЭ. Приобретать знания — храбрость Приумножать их – мудрость А умело применять – великое искусство. Ребята, вы смогли выполнить задания устно, а теперь свои знания необходимо применить при выполнении письменной работы в группах. Групповая работа. Работаем по группам в парах, как сидите. При выполнении заданий вы можете общаться в группе. Карточки для групповой работы трех уровней сложности: на «3», на «4», на «5». После выполнения групповой работы каждый учащийся выбирает карточку для индивидуальной работы. Карточки для индивидуальной работы также трех уровней сложности: на «3», на «4», на «5». 5. Решить систему уравнений: Решить систему уравнений: 5. 7•49 х +5•14 х =2•4 х 4 х -14•2 х -32 = 0; Решить систему уравнений: Решить систему уравнений: 5. 3•9 х = 2•15 х + 5•25 х . Задания на карточках ЕГЭ: Найдите наибольшее целое решение неравенства: Найдите область значений функции: Решить систему уравнений: Найдите значение выражения: 3 х ( 3 х -3), если 3 х + 3 –х =3. IV Итог урока: выставить отметки, оценить работу каждого. Какие уравнения вы сегодня решали? Какие методы решения показательных уравнений вы знаете? Чему вы научились сегодня на уроке? Пригодятся ли вам в будущем умения решать показательные уравнения и неравенства? Чувствовали ли вы себя комфортно на уроке? Понравился ли вам сегодня урок? Какую я себе поставил оценку за урок? Что я знаю очень хорошо? Что мне надо подучить? Спасибо за урок! Список использованной литературы Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса/ Б.И. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2004. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика/ авторы-составители: И.Р. Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И. Захаров и другие; под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель,2010. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2005. Фарков А.В. Готовимся к олимпиадам по математике. Учебно- методическое пособие. – М.Издательство «Экзамен», 2006. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 класса средней школы./А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и другие: под редакцией А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2006. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. «Математика ЕГЭ – 2013 (типовые задания С – 3) . Методы решения неравенств с одной переменной» Шестаков С. А., Захаров П. И. «Математика задача С – 1,3». Курс повышения квалификации Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Ищем педагогов в команду «Инфоурок» Дистанционные курсы для педагогов«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни» Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:5 585 692 материала в базе Самые массовые международные дистанционные Школьные Инфоконкурсы 2022 33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок» «Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников» Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:Оставьте свой комментарийАвторизуйтесь, чтобы задавать вопросы. Добавить в избранное
Настоящий материал опубликован пользователем Шихмагомедов Асланбек Исабекович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал. Автор материала
Московский институт профессиональной Дистанционные курсы |