Решение показательных уравнений и неравенств конспект

Урок-семинар на тему: «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Конспект открытого урока-семинара, проведенного в 10 классе, на тему: Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ». Предоставленный материал дает возможность систематизировать и обобщить знания по данной теме, ознакомить с заданиями разного уровня сложности, содержащими показательные уравнения и неравенства, из открытого банка подготовки к ЕГЭ, дать рекомендации учащимся для выполнения этих заданий на экзамене. Урок составлен с применением новых технологий. На нем предусмотрены выступления учеников по основным темам.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8»

г. Железногорск Курская область

Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»

Подготовила и провела

Кушнерева Светлана Федоровна

Тема: “Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ”.

Обучающие: познакомить с заданиями разного уровня сложности, содержащими показательные уравнения и неравенства и их системы, из открытого банка подготовки к ЕГЭ. Обобщить знания и умения учащихся по применению методов решения показательных уравнений и неравенств, закрепить знание свойств показательной функции в процессе решения показательных уравнений и неравенств. Дать рекомендации для выполнения данных заданий на экзамене.

Развивающие: развивать у учащихся умение решать показательные уравнения и неравенства разной сложности, анализировать условие задачи и выбирать нужный метод решения; умение применять теоретические знания на практике; активизировать познавательную деятельность учащихся посредством использования компьютерных технологий; развивать навыки самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

Воспитательные: формировать умение выступать перед аудиторией с заданной темой, четко излагать свои мысли, работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы. Воспитывать внимательность и упорство при решении задач, стремление к самообразованию и самосовершенствованию, осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме.

1.Проектор и презентации учителя и учащихся по теме “ Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ ”:

2.Схемы-кластеры для учащихся

I. Организационный момент. Сообщение темы, цели и задач урока.

Учитель: — Сегодня мы проведем урок-семинар.

Слайд 2 (Эпиграф)

Эпиграфом к уроку я взяла восточную мудрость: “Приобретать знания — храбрость, приумножать их — мудрость, а умело применять — великое искусство”. Вот и мы сегодня постараемся найти применение знаниям, полученным на уроках математики.

Чтобы определить, какие темы будут рассмотрены на уроке, вы должны ответить на вопросы и вставить слова в кружки схемы-кластера.

Слайд 3 (Кластер)

— Как называется икс в степени с основанием а? (Показатель)

— Какие математические понятия связаны с понятием «показатель»? (Показательная функция, показательные уравнения, показательные неравенства)

Слайд 4 (Тема урока)

Итак, тема нашего урока: “Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ”. Цель – рассмотреть задания разного уровня сложности и подготовиться к ЕГЭ по данной теме, связать изученный материал с тем, что ждет вас на экзамене. В течение урока я дам рекомендации, как лучше выполнять задания. Для повторения основного теоретического материала к семинару вам были предложены темы:

«Показательная функция, ее свойства и график».

«Показательные уравнения и неравенства и основные методы их решения»

На уроке мы прослушаем выступления по данным темам, рассмотрим примеры применения этого материала на экзамене. У каждого из вас на парте есть данная схема. К концу урока вы должны записать в нее методы решения показательных уравнений и неравенств.

II. Основная часть урока

Учитель: — А сейчас прослушаем первое выступление.

Тема: «Показательная функция, ее свойства и график»

«Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений»

Учитель: — Показательные уравнения, решаемые методом уравнивания показателей, встречаются в базовом уровне под № 7 , а в профильном уровне под №5. Под этими номерами могут также встретиться уравнения других видов: иррациональное, логарифмическое, рациональное, квадратное или линейное.

Вот примеры из демонстрационных вариантов 2017 года:

Как видите, уравнения мало чем отличаются. Их можно решить даже устно. Но на экзамене рекомендуется все же сделать краткую запись решения или проверку: 3 х-3 =81; 3 х-3 = 3 4 ; х-3=4; х=7. Проверка: 3 7-3 =3 4 =81.

Обратите внимание на то, что корень уравнения должен быть один! Если, например, вы решаете квадратное уравнение, получаете два корня, то в ответ идет только корень, удовлетворяющий условию задания.

На экзамене очень важно правильно распределить время. На первые, более простые задачи, отводится около 20 минут. Затем скорость лучше уменьшить. Внимание, как правило, ослабевает. Из-за этого допускается много ошибок.

Слайд 5(Самостоятельная работа. Задания)

Учитель: — Предлагаю вам небольшую самостоятельную работу на 5 минут

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе «Решение показательных уравнений и неравенств»

Просмотр содержимого документа
«Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе «Решение показательных уравнений и неравенств»»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1»

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе

«Решение показательных уравнений и неравенств»

Сулейманова Айшат Абакаровна

Тема урока: «Решение показательных уравнений и неравенств»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.

Оборудование: персональный компьютер (ПК) учителя, мультимедийный проектор, презентация к уроку, дидактические материалы (цветные карточки с заданиями, сигнальные карточки, карточки для самостоятельной работы, для домашнего задания), оценочные листы, карта «Рефлексия».

Формы организации труда: блиц-опрос, индивидуальная, работа в паре, рефлексия.

Форма проведения: урок-практикум.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический.

Пояснительная записка: при подготовке урока в 10 классе я руководство-валась возрастными особенностями учащихся и государственным стандартом по математике (алгебра).

Основные понятия урока: Показательная функция, график показательной функции, показательное уравнение, показательное неравенство, способы решения показательных уравнений и неравенств.

— создать условия для повторения свойств показательной функции; способы решения показательных уравнений и неравенств;

— систематизировать знания учащихся по теме, закрепить умение применять их, выявить «скрытые» проблемы и затруднения, определить степень усвоения материала;

— формирование заинтересованности учащихся в решении показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ;

— подготовиться к контрольной работе

— развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа её решения;

— способствовать развитию познавательного интереса, навыков самоконтроля и самооценки;

— развивать умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания по изученной теме;

— способствовать активности, организованности, умению общаться.

1. Организационный момент. Приветствует учащихся, определяет отсутствующих. Проверяет готовность к уроку.

2. Постановка целей и задач.

Через 1,5 года вы подойдёте к важной черте вашей жизни к итоговой аттестации. С какими заданиями вы уже можете справиться? Что вы изучали на последних уроках?

Сегодня у нас урок обобщения по теме «Решение показательных уравнений и неравенств» Откройте тетради и запишите число и тему урока. (слайд 2)

— Как вы считаете, что мы должны повторить на уроке?

-Давайте вместе сформулируем цели сегодняшнего урока.

( формулируют цели : повторить всё, что знаем о показательной функции, обобщить, закрепить и систематизировать знания методов решения показательных уравнений и неравенств)

— Все виды работ на уроке будут оценены и занесены в рабочие листы учёта знаний, которые есть у каждого из вас. В эти листы вы будете вносить, свои полученные баллы за каждый этап урока. Часть баллов поставит вам сосед по парте, а часть я — если сочту необходимым. Затем по общему количеству набранных баллов вы получите оценку за урок.

3. Актуализация опорных знаний. Блиц-опрос.

( в рабочем листе, ставите себе «плюс» за каждый верный ответ)

Вопросы к классу: В основе решения показательных уравнений и неравенств лежит знание свойств степени и свойств показательной функции, вспомним их.

(один человек работает у доски. Задание «Найти пару». Восстановите формулы, выражающие свойства степеней с рациональным показателем)

1. Какая функция называется показательной?

(функция вида у=а х , где а и а 1)

2. Какова область определения показательной функции у = 4 х ?

(множество R всех действительных чисел)

3. Какова область значения показательной функции у= 4 х ?

(множество всех положительных чисел)

4. При каком условии показательная функция является возрастающей?

(а

5. При каком условии функция является убывающей? (0 (слайд 5)

6. Что общего у графиков этих двух функций? (слайд 6)

7. Возрастает или убывает показательная функция:

а) у = б) у = 7 х в) у= 0,8 х

8. Для чего необходимо знать свойства возрастающей и убывающей функции? (для решения показательных неравенств)

9. Зная свойства возрастающей и убывающей показательной функции, решите неравенства: 2 3 2 х 3 х 81 (слайд 7)

10. Какое уравнение называется показательным? (уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени)

(уравнения вида , где а – положительное число, и отлично от 0, и уравнения, сводящиеся к этому виду)

11. Назовите методы решения показательных уравнений и неравенств:

а) метод уравнивания оснований

б) метод вынесения общего множителя за скобки

в) метод введения вспомогательной переменной

г) графический метод.

— Оцените свою работу, как поработали устно

(за каждый верный ответ 1 балл)

Хорошо, вспомнив основные теоретические вопросы, переходим к следующей работе.

4. Математический диктант (по вариантам) 6 мин.

У каждого ученика на парте приготовлен бланк для выполнения математического диктанта. В этих бланках ученик либо сразу записывает ответ, либо выполняет решение, если это требуется. Перед проведением математического диктанта можно повторить правила его проведения. (слайд 8)

1. Какие из указанных функций являются:

а) возрастающими; б) убывающими

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

а) у = 5 х б) у = а) у = б) у= 8 х

в) у = 49 -х г) у=1,4 х в) у = 4,9 х г) у=4 -х

2. Решите уравнение: а) 2 х =32 а) 5 х = 625

б) 5 х-2 =25 б ) 3 х-8 =27

в) 3 х-1 = в) 6 х+12 =

3. Решите неравенство:

а) 2 х 4 а) 5 х 125

б) 2 х -2 б) 5 х -5

в) 0,2 х 0,2 7 в) 0,4 х 0,4 3

Проверка выполнения математического диктанта осуществляется учениками. (взаимопроверка). Учитель с помощью проектора выводит правильные ответы к заданиям математического диктанта на экран. Также на доске записаны критерии выставления оценки. После как ученики выставили оценки они сдают работу учителю.

Ответы к математическому диктанту: (слайд 11)

Критерии проверки: 10 баллов (максимум)

За каждый правильный ответ выставляется 1 балл.

Диагностика уровня формирования практических навыков.

Продолжаем. (слайд 12)

Михаил Васильевич Ломоносов говорил: «Теория без практики мертва и бесплодна. Практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того и умения». И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений и неравенств. (слайд 13)

Задание: (в паре) Разбить уравнения и неравенства на группы по методу их решения и записать соответствующие номера в таблицу.

1) 2 2х-4 4 5) = 3-х

2) 6) 9 81 1-2х = 27 2-х

3) 27 1-х = 7) 5 х+1 + 5 х + 5 х-1 = 31

4) 3 х+2 -5 3 х = 36 8) 2 х 3-х

9) 10) 2 2х-1 +2 2х-2 +2 2х-3 448

Результаты занесите в таблицу:

Приведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за скобки

Замена переменного (приведение к квадратному)

Давайте проверим, что у вас получилось. (слайд 14)

Оцените свою работу. Укажите количество верно определённых способов.

5. Решение уравнений и неравенств по каждому способу у доски.

За каждое верно выполненное уравнение и неравенство получают по 2 балла.

8. Диагностика уровня освоения учащимся знания. После решения уравнений и неравенств рассматривается задание

« Найди ошибку в решении» . Для выполнения этого задания учащиеся пользуются бланком, который раздаёт учитель. Свои ответы можно сверить с правильными ответами на доске.

Оцените свою работу.

Все ошибки найдены и исправлены- 6 баллов;

исправлены в 1 задании – 4 балла; другие варианты -1 балл.

Приём «Верные и неверные утверждения»

Верно ли утверждение, что…. (каждый раз называю это словосочетание)

Обоснуйте свой ответ.

1. Уравнение вида называется показательным. (+)

2. — это показательное уравнение (-)

3. 4 является корнем уравнения (+)

4. Корень уравнения меньше корня уравнения (+)

5. — это показательное неравенство (+)

6. Корень уравнения принадлежит промежутку (-)

7. Корень уравнения является (+)

8. Показательное неравенство равносильно неравенству , если а1

Оценка: за каждое верное обоснование по 1 баллу.

Выставляем оценку за последнее задание и выводим общую за урок.

****Применение показательной функции в природе и технике Показательные уравнения необходимы в биологии, в медицине, при исследовании морей и океанов. Находит важнейшее применении при изучении природных явлений, при описании размножения живых организмов, в технике и во многих других областях.

9. Итог урока. Домашнее задание. Рефлексия

Сегодня мы повторили свойства показательной функции, способы решения показательных уравнений и неравенств. На дом вы получаете задание двух уровней из банка заданий ЕГЭ, выполните те, которые сможете, подготовьтесь к контрольной работе.

В ходе нашего урока в ваших рабочих листах появились баллы за работу на уроке. Посчитайте свой суммарный балл и согласно критериям, приведённым на доске поставьте себе оценку за усвоение темы «Показательная функция»

Критерии: выше 25 баллов- оценка «5»

от 19 до 25 баллов –оценка «4»

от 13 до 19 баллов –оценка «3»

ниже 13 –оценка «2»

Рефлексия. Отметьте точкой на графике функции уровень своих полученных знаний сегодня на уроке:

— на графике возрастающей функции, если на уроке у меня не было проблем, я доволен своей работой;

— на прямой параллельной оси ОХ, если всё шло ровно, гладко, я работал неплохо;

-на графике убывающей функции, если встретились затруднения, мне было трудно на уроке.

Конспект урока математики «Решение показательных уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Управление образования и науки Липецкой области

Государственное областное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение «Добринское техническое училище»

План-конспект открытого урока математики по теме:

« Решение показательных уравнений и неравенств ».

Добринка 2017 год

Тема урока: «Решение показательных уравнений и неравенств».

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить, что следуя этому методу, мы достигнем цели”.

Го́тфрид Ви́льгель Лейбниц

• обобщение знаний и умений учащихся по применению методов решения показательных уравнений и неравенств;
• закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств;
• формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений и неравенств при подготовке к экзамену.

• развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа её решения;
• развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения;
• активизация познавательной деятельности посредством использования компьютерных технологий;
• развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

• формирование умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы;
• воспитание устремленности к самообразованию и самосовершенствованию;
• осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме.

Тип урока: урок обобщения, систематизации и коррекции знаний.

Форма урока : урок – практикум.

Оборудование урока, средства обучения:

1. Технические средства: компьютер, видеопроектор, экран.

2. Презентация MicrosoftPowerPoint.

3. Раздаточный материал для самостоятельной работы.

Распределение урока по времени.

1) Организационный момент (2 мин.)

2) Сообщение о Г.В. Лейбнице (3мин)

3) Актуализация знаний (10 мин)

4) Решение уравнений и неравенств(15 мин)

5) Самостоятельная работа (7 мин)

6) Подведение итогов урока и информирование о домашнем задании (3 мин.)

1. Организационный момент.

Преподаватель сообщает тему урока. ( Слайд 1, 2)

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить, что следуя этому методу, мы достигнем цели”.-

Сказал Го́тфрид Ви́льгель Лейбниц.

1.Сообщение обучающегося о Г.В. Лейбнице.

Го́тфрид Ви́льгель Лейбниц – саксонский философ , логик , математик , механик , физик , юрист , историк , дипломат , изобретатель и языковед , создавший математический анализ, комбинаторику, заложил основы математической логики.

В 1673 году , после знакомства с Христианом Гюйгенсом , Лейбниц создал механический калькулятор (арифмометр), выполняющий сложение , вычитание , умножение и деление чисел, а также извлечение корней и возведение в степень .

Лейбниц подсказал Дени Папену конструкцию паровой машины (цилиндр и поршень ). Сам Готфрид Лейбниц с переменным успехом пытался создать паровой насос на рубеже XVII и XVIII веков .

Лейбниц мог за неделю предложить с полдюжины гениальных идей: от подводной лодки до абсолютно новой формы часов, от новаторской модели фонарика до повозки, которая могла двигаться с такой же скоростью, как и современные автомобили (даже во времена, когда дороги представляли собой колейные пути), однако ни одно из этих изобретений так и не было завершено.

Как инженер , Лейбниц работал над вычислительными машинами, часами и даже над оборудованием для горнодобывающей промышленности. Как библиотекарь, он более или менее изобрёл современное представление о каталогизации.

Среди изобретений Лейбница можно также отметить:

· в 1695 году Лейбниц ввёл показательную функцию в самом общем виде. <\displaystyle u^>

( Слайд 3) Преподаватель сообщает цели урока.

2. Актуализация знаний .

1) Дайте определение показательных уравнений. (Слайд 4)

(Определение: Показательным уравнением называется уравнение вида

a = b , где a > 0, a ≠ 1 и уравнения, сводящиеся к этому виду ).

2) Сколько решений может иметь показательное уравнение?

(Так как область значений функции у = a — множество положительных чисел, то при b b = 0 – корней нет, при b > 0 – один корень.)

3) Решите устно уравнения: (Слайд 5)

10 x = 1000000 (х=6)

4) Назовите методы решения показательных уравнений (слайд 6)

а) Метод уравнивания оснований.

б)Метод вынесения общего множителя за скобки.

в) Метод введения новой переменной

г)Графический метод, метод подбора

2. Самостоятельная работа. ( Слайд 7)

1) Решить уравнения .

Запишите решение уравнений в тетради. (3 мин)

5 x *2 x = 0,1 -4

0,3 x *3 x =

Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте и сделайте проверку.

— На каком свойстве функции y = a основано решение простейших показательных неравенств?

(Показательная функция y = a возрастает при a > 1 и убывает при 0 a

Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод, что неравенство при равносильно неравенству а при равносильно неравенству

2) Решить неравенства. Слайд 10.

Запишите решение неравенств в тетради. (3 мин)

( )

( )

Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте и сделайте проверку.

— Каким методом решения показательных уравнений и неравенств вы пользовались решая данные уравнения?

(Уравнивания оснований, или приведение к общему основанию)

3. Решение показательных уравнений и неравенств.

Какой метод будем использовать при решении этого уравнения? (Графический)

— В чем он заключается?

-Построим сначала график показательной функции у=4 х

Это будет возрастающая экспонента.

Затем построим график линейной функции у=5-х, получим прямую. Точка пересечения полученных графиков будет решением уравнения.

2. Решить уравнение: (Слайд 12)

5 2х-1 + 2 2х = 5 2х – 2 2х+2 .

Приведем все степени в данном уравнении к одному основанию, разделив обе части уравнения на 5 2х 0.

,

,

,

3. Решить неравенство 4 х – 10 2 х +16 0.

Заметим, что 4 х = 2 2х , тогда можно выполнить замену переменной.

Пусть 2 х = у, тогда получаем следующее неравенство: у 2 -10у +16 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию f ( y ) = у 2 -10у +16. Найдем нули данной функции, следовательно решим уравнение: у 2 -10у +16 = 0,

следовательно возвращаемся в замену, получаем:

2 х = 8 и 2 х = 2,

Наносим нули функции на числовую ось Х.+ ___ +

Определяем знак на каждом промежутке 1 3 х

Ответ: х ( 1 ; 3).

4. Решите неравенство -28 + 0 .

Найдем ОДЗ: х + 1 0,

х — 1, следовательно, х

Обозначим = у, где у 0.

Тогда исходное равенство примет вид

3у — 28 + 0. Решим неравенство методом интервалов, следовательно, решим уравнение

3 у-28 + =0.

Приведем к общему знаменателю.

Получаем 3у 2 -28у + 9 = 0 и у 0

у₁ = , у₂ = 9 .

Возвращаемся к замене, получаем

= , = 9 , 0,

= -1, =2,

Наносим х=3 на числовую ось Х. С учетом ОДЗ, определяем знаки на промежутках.

Ответ: .

Сначала выполняются задания на дыхательную гимнастику, затем упражнения зрительной гимнастики. В это время экран должен быть выключен.

5. Математический диктант ( по вариантам) 6- 7 мин .(Слайд 6)

У каждого студента на парте приготовлен бланк для выполнения математического диктанта. В этих бланках обучающийся либо сразу записывает ответ, либо выполняет решение, если это требуется. Перед проведением математического диктанта преподаватель напоминает правила проведения математического диктанта.

Задания математического диктанта:

1. Какие из указанных функций являются: 1) возрастающими; 2) убывающими?

Вариант1 Вариант 2

а) ; б) ; в) ; а) у = ; б) у= ; в) у =2 х ;

г) ; д) . г) у = ; д) у =

2. Приведите к основанию 2; 2. Приведите к основанию 4;

25 к основанию 5; 49 5 – х к основанию 7;

к основанию 2. к основанию 6.

3. Решите уравнение: 3. Решите уравнение:

а) ; б)5 х-2 = 25; в) ; а) 5 х = 625; б) 3 х – 8 = 27; в) 6 х + 12 = ;

г) ;д) 6 х- 4 = -6; е) 3 х + 2 + 3 х = 90. г) ; д) 56 х+23 = — 56 ; е) 2 х – 1 + 2 х = 6.

4. Решите неравенство: 4. Решите неравенство:

а) ; б) ; а) 5 х ≤ 125 ; б) 5 х > — 5 ; в) 3 х ≤ -3

в) ; г) 0,2 х ≤ . г) 0,25 х ≥ .

Проверка выполнения математического диктанта осуществляется обучающимися, которые сидят за одной партой обмениваются своими бланками с решениями. Преподаватель с помощью проектора выводит правильные ответы к заданиям математического диктанта на экран. Также на доске записаны критерии выставления оценки. После того как студенты выставили оценки, они сдают работу преподавателю.

Ответы к математическому диктанту: (Слайд 7)