Решение показательных уравнений и неравенств реферат

Краевое государственное профессиональное образовательное автономное учреждение

«Камчатский политехнический техникум»

(КГПОАУ «Камчатский политехнический техникум»)

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дсциплине ________________________________

На тему: Показательные уравнения, неравенство и их системы.

Студента (ки) ________ курса, группы _________

Имя _____________ Отчество _________________

_______ ________________ 20 ___ г.

Петропавловск-Камчатский – 2020

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств .

При решении показательных уравнений и неравенств часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями:

— при решении показательных уравнений и неравенств, ученики производят преобразования, которые не равносильны исходным уравнениям и неравенствам;

— незнание четкого алгоритма решения показательных уравнений, неравенств и их систем;

— при решении показательного уравнения и неравенства введением новой переменной забывают возвращаться к обратной замене.

Вышесказанное определяет актуальность выбранной темы и полезность ее изучения для будущей педагогической практики.

Цель данной работы:

— изучить требования государственных стандартов по теме «Показательные уравнения и неравенства»;

— проанализировать материал по теме в учебниках алгебры;

— систематизировать методы решения показательных уравнений и неравенств.

Объектом исследования является процесс обучения математике в старшей школе.

Предметом исследования являются методические особенности изучения показательных уравнений, неравенств и их систем в старших классах средней школы. Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанные методические рекомендации по изучению показательных уравнений и неравенств могут быть использованы учителями и практикантами в школе, а также в ходе занятий по элементарной математике на педагогическом отделении университета. Весь теоретический материал по теме «Показательные уравнения, неравенства и их системы» сгруппирован, разобраны алгоритмы решения и приведены примеры.

Гипотеза исследования: учащиеся при решении различного рода задач получают первые навыки в исследовательской работе. У учащихся при этом развивается логическое мышление, повышается уровень математической культуры. А также развивают качества личности такие как: самостоятельность, целеустремленность, любознательность, интеллектуальное совершенствование.

Задачи работы:

1. Узнать, что такое показательные уравнение и принцип их решения.
2. Узнать, что такое показательные неравенства и принцип их решения.
3. Узнать, что такое системы показательных уравнений и неравенств.

Методы исследования: анализ и обобщение специальной литературы по теме; сравнение.

Теоретическая и практическая значимость исследования: данные материалы по показательным уравнениям, неравенствам и их систем, можно использовать, как в школе, так и для индивидуального обучения, при подготовке к сдаче ЕГЭ, а также для тех, кто хочет углубить свои знания по этой теме.

Структура работы: состоит из трех глав, введения, заключения и списка литературы, и содержит 18 страниц.

ГЛАВА 1 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени [2].

Например:

Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида:

1) ;

2) ;

3) .

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводиться к решению простейших показательных уравнений.

Методы решения показательных уравнений:

— метод уравнивания показателей;

— метод введения новой переменной;

— метод вынесения общего множителя за скобки;

— метод почленного деления;

— метод группировки.
1.1 Метод уравнивания показателей

Алгоритм решения уравнения методом уравнивания показателей [3].:

— представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

— на основании теоремы, если , где равносильно уравнению вида , приравнивнять показатели степеней;

— решить полученное уравнение, согласно его виду (линейное, квадратное и т.д.).

Задача. Решить уравнение:

Решение: Представим 27 как . Данное показательное уравнение имеет одинаковое основание 3.

Данное уравнение равносильно уравнению

Ответ:
1.2 Метод введения новой переменной

Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой переменной:

— определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;

— ввести новую переменную;

— решить уравнение относительно новой переменной [4]..

Задача. Решить уравнение:

Решение: Пусть , получим квадратное уравнение:

Найдем корни квадратного уравнения — не удовлетворяет условию .

1.3 Метод вынесения общего множителя за скобки

Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки [1].

Задача. Решить уравнение:

Т.к. равносильно , запишем как:

Вынесем :

27 представим, как , тогда получим . Следовательно,

Ответ: 3.
1.4 Функционально-графический метод

Алгоритм решения показательного уравнения методом функционально-графическим методом:

— левую и правую части уравнения представить в виде функций;

— построить графики обеих функций в одной системе координат;

— найти точки пересечения графиков, если они есть;

— указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения.

Задача: Решить уравнение:

Строим таблицы значений:

Таблица 1.

X	0	1	-1
y	1	9

Таблица 2.

Построив графики этих функций, найдем абсциссу точки пересечения, она и будет корнем уравнения: .

График 1. Функций и

1.5 Метод почленного деления

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Задача. Решить уравнение:

Решение:

Разделим обе части уравнения почленно на , получим равносильное ему уравнение:

Сделаем замену

Ответ:

1.6 Метод группировки

Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней [6].

Задача. Решить уравнение:

ГЛАВА 2 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Неравенства, содержащие переменные в показателе степени, называются показательными.

Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной функции. Известно, что o при основании, большем единицы, показательная функция возрастает, при положительном основании, меньшем единицы, показательная функция убывает [3].
Неравенства вида

Решение неравенств подобного вида основано на следующих утверждениях:

При то неравенство равносильно ;

При , то неравенство равносильно неравенству .

Заметим, что применяя какой-либо метод при решении неравенства, содержащего знак «>», можно этот же метод применять и при решении неравенств, содержащих знаки « 0, тогда при равносильно числовому неравенству 1 при
Неравенство вида

При решении неравенств подобного вида применяют логарифмирование обеих частей по основанию a или b. Учитывая свойства показательной функции, получаем:

При ;

При .

Чтобы пользоваться свойством монотонности показательной функции следует путем надлежащих преобразований добиться одинаковых оснований в левой и правой частях неравенства.

Методы решения показательных неравенств:

— Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

— Однородные показательные неравенства

— Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

— Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

— Неравенства, решаемые графическим методом
2.1 Метод приведение к простейшим

Задача. Решить неравенство :

Перепишем неравенство следующим образом:

А далее вот так:

Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

Ответ: .

2.2 Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций

Задание. Решить неравенство: .

Решение: Вынесем за скобку

Тогда переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

Ответ: .
2.3 Решение неравенств, сводящиеся к квадратным

Задание. Решить неравенство

Разделим обе части неравенства на 3:

Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.

Имеем:

или

или

Ответ:

2.4 Решение неравенств, сводящиеся к рациональным

Решить неравенство:

Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

Можно «отбросить» сумму в силу ее положительности:

Неравенство равносильно следующему:

Ответ:

2.5 Решение неравенств, решаемые графическим методом

Решить неравенство:

Рассмотрим функции и . Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения, мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .

Ответ: .
ГЛАВА 3 СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

3.1 Системы, содержащие одно или два показательных уравнений

При решении систем уравнений, содержащих показательные функции, чаще всего используют традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных [8].

Напомним, что систему двух уравнений с двумя переменными обозначают фигурными скобками и обычно записывают в виде:

Несколько уравнений с двумя (или более) переменными образуют систему уравнений, если ставиться задача найти множество общих решений этих уравнений .

Множество упорядоченных пар, точек (в случае систем с тремя переменными) и т.д. значений переменных, обращающих в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Система уравнений называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

3.2 Системы неравенств. Совокупность неравенств

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставиться задача об отыскании всех тех значений переменной, которые удовлетворяют одновременно каждому из этих неравенств (т.е. если отыскиваются все общие решения исходных неравенств).

Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.

Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам [7].

Очевидно, что решением системы неравенств является пересечение решений неравенств, образующих систему, а решением совокупности неравенств является объединение решений неравенств, образующих совокупность.

Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одному их этих неравенств.

Подводя итоги данного исследования, можно сделать следующие выводы:

1. Показательные уравнения и неравенства представляют интерес для учащихся. При решении показательных уравнений и неравенств развиваются навыки систематизации, логического мышления при выборе правильного метода решения, повышает творческие и умственные способности.

2. Для решения каждого вида уравнений и неравенств в работе представлен наиболее удобный способ. Трудности могут возникнуть при решении систем, содержащие одно или два показательных уравнения, т.к. нужно правильно определить метод решения.

В ходе исследования были решены следующие задачи:

— подробно рассмотрен теоретический материал;

— изучены различные методы решения показательных уравнений, неравенств и их систем (методы уравнивания показателей, введения новой переменной, функционально-графический, почленного деления, вынесения общего множителя за скобки, группировки).

Решение показательных уравнений и неравенств реферат

Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.

В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.

В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности, а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет­-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.

Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:

— осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.

— развитие логического мышления и алгоритмической культуры;

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения.
Томас Хилл

Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.

История Показательных уравнений

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид:

Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:

• метод приведения к одному основанию;
• метод введения новых переменных;
• метод вынесения общего множителя за скобки;
• метод почленного деления;
• метод группировки;
• метод оценки.

Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:

Представим правую часть в виде 3 log 3 7 x+1 3 2x-1 = 3 log 3 7 x+1 2x-1= log 3 7 x+1 2x-1=x log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> + log 3 7 x(2- log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> )= log 3 7 x= 1+ log 3 7 2- log 3 7 x= log 3 3+ log 3 7 log 3 3 2 — log 3 7 x= log 3 21 log 3 9 7 x= log 9 7 21 ≈12.1144 Ответ: 12.1144 4 x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.png» /> — 2 x 2 Обозначим t= 2 x 2 t 2 t 1 t 2 Так как -1 2 x 2 x 2

Из первого уравнения совокупности находим x1 = — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image019.png» /> ,x2= 1 2 x — 1= x — 3 +2 x — 3= x — 3 x — 3= x — 3, если x ≥3 x — 3=- x +3, если x 0∙ x =0, если x ≥3 2 x =6, x =3, если x Ответ: — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image025.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image027.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 3; +∞ 22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0 /52х≠ 0
2· 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> 2х– 7· 2 5 Пусть 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2= 5 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image030.png» />
2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х=1, 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х = 5 2 3·22х+ 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1– 6·4х+1= — 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1+ 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х·9+ 1 3 31,5= 21· 4 9 4 9 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image032.png» /> х= 3 2 2 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image034.png» /> 2х= 2 3 ( 5 ) 2+4+6+. +2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image035.png» /> = 5 45 1 2 Sn =n( a 1 + a n 2 x 1+ x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image038.png» /> =45 2 x — 3 ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image040.png» /> 4+ 1 6- 2 x — 3 Пусть 2 x — 3 t ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image043.png» /> 4+ 1 6- t 4+ 1 6- t 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image045.png» /> – t ≤ t 2 — 10 t +25 6- t ≤ (t-5) 2 6-t ≤ t=5, t > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image049.png» /> 6. Отсюда 2 x — 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image042.png» /> =5 и 2 x — 3 > Пусть 2 x Из уравнения a-3 a-3=5 a-3=-5 a=8 a=-2 Подставим вместо a= 2 x 2 x =8 2 x =-2 Модуль a — 3 Для решения неравенств a — 3 > a — 3 > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image056.png» /> 6 получаем a 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image057.png» /> -3 или a > 2 x 2 x >9 2 x > 2 log 2 9 x > log 2 9 Ответ: <3>∪ ( log 2 9 2 (3 2x + 2 x ∙ 3 x+1 + 3 0 ) > 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> log 2 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2)∙ log 2 3 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 +1 3 2x + 2 x ∙ 3 x > (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 Поделим каждое слагаемое неравенства на ( 2 x ∙ 3 x ) 3 2 x +1> 2 3 x — 3 ∙ log 2 3 Обозначим: 3 2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image069.png» /> =y, где y > y+1 > 1 y — 3 ∙ log 2 3 y 2 +y> 1-3y ∙ log 2 3 y 2 +y- 1-3y ∙ log 2 3 >0 y 2 +y — log 2 3+3y log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3=0 D = 3 log 2 3 +1 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image076.png» /> 2 + 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image077.png» /> 4 log 2 3= 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 D >0 y = — 3 log 2 3 +1 ± 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 В связи с тем, что log 2 3 >0 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image081.png» /> , то и D > 3 log 2 3 +1 y = — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 Отметим точку y на оси, y >0 y Î — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Из этого следует, что x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Ответ: x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 Прежде чем познакомить нас с методами решения показательных уравнений и неравенств автор знакомит нас с такими понятиями как, корень n -ой степени числа и его свойства. Далее мы знакомимся с функцией y , ее графиком и свойствами. После мы изучаем логарифмическую функцию, ее свойства. И уже потом переходим к показательной функции и затем, к решению показательных уравнений и неравенств.

Сначала вводится понятие показательного уравнения, как

показательным называют уравнения вида: , где –

положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к нему. Далее приведена теорема о решении показательного уравнения с одинаковыми основаниями. В учебнике предложены методы решения показательных уравнений: метод уравнивания показателей, функционально-графический метод и метод введения новой переменной.

В каждом параграфе представлено большое количества заданий. Упражнения сконцентрированы по двум блокам. Первый блок содержит задания базового и среднего уровня сложности, второй блок включает задания среднего и повышенного уровня.

По данной теме предлагаются задания:

· решить систему уравнений;

Следует отметить, что учебник «Алгебры и начала анализа10-11 классы» используется в обычном классе. Для профильных классов есть другой учебник этого автора.

Учебник «Алгебры и начала анализа» А.Н. Колмогорова является самым распространенным учебником алгебры в 10-11 классах.

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Задания для учащихся делаться на две части. Первая часть заданий обязательный минимум для учеников, который они должны уметь решать. В следующей части задания чуть сложнее. Также в конце каждой темы можно увидеть задания и вопросы на повторение, что помогает к подготовки к контрольной работе.

В учебники хорошо изложен дополнительный материал, интересные факты, биография ученных, происхождение терминов. Это позволяет развить интерес к предмету и окружающему миру.

Содержание учебника Колмогорова мы сначала изучаем главу функции, в которой изучаем показательную функцию. Затем в следующей главе, переходим к решению показательных уравнений и неравенств. Однако, четкого определения показательного уравнения и неравенства в учебнике нет.

В учебнике представлены следующие задания:

— решите систему уравнений;

Учебник «Алгебра и начала математического анализа» Ш.В. Алимова пользуется меньшей популярностью среди учебников алгебры. Изложение учебника уже близко подходит к математическому анализу. В учебнике очень много разобранных примеров, графических иллюстраций к решению задач.

Задания, предоставляемые в параграфе, разделены на два уровня: средний и высокий. В конце учебника к каждому параграфу есть дополнительные задачи, которые помогают подготовиться к контрольной работе.

Прежде чем перейти к решению показательных уравнений и неравенств автор предлагает сначала познакомиться с показательной функцией, ее графиком и свойствами. В учебнике представлены методы: метод уравнивания показателей, вынесения общего множителя за скобки, метод введения новой переменной. При решении показательных неравенств, также автор предлагает обратить внимание на возрастание и убывание функции. В учебнике предлагается пример решения показательного неравенства графическим методом. После изучения методов решения показательных уравнений и неравенств, сразу дается решение систем, содержащих показательные уравнения и неравенств.

Задания, представленные в учебнике:

— доказать, что уравнение имеет один корень при фиксированном значении ;

— решить графически уравнения;

— найти целые значения неравенства на отрезке;

— решить графически неравенства;

Проанализировав учебники, можно сделать вывод о том, что во всех трех учебниках почти одинаковый порядок изучения темы, но методы решения показательных уравнений представлены по-разному. Теоретическое изложение этой темы, задания представленные в учебнике алгебры и начал анализа изложены лучше под редакцией А.Г. Мордковича.

1.2 Показательные уравнения и методы их решения

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени. Например:

Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида: .

Пример показательных уравнений:

1.

2.

3.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводиться к решению простейших показательных уравнений.

Методы решения показательных уравнений:

· Ме т од уравнивания показателей;

· Метод введения новой переменной;

· метод вынесения общего множителя за скобки;

· метод почленного деления ;

Метод уравнивания показателей

Алгоритм решения уравнения методом уравнивания показателей:

· представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

· на основании теоремы, если где , равносильно уравнению вида ,приравниваем показатели степеней;

· решаем полученное уравнение, согласно его виду(линейное, квадратное и т.д.);

· записываем ответ. [ 1 c.105]

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Представим 27 как . Наше показательное уравнение имеет одинаковое основание 3: . Данное уравнение равносильно уравнению .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Упростим показательное уравнение , т.к. в показательном уравнении основания одинаковы, следует, что оно равносильно уравнению: . Решаем это линейное уравнение и получаем: .

Ответ: .

Метод введения новой переменно

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем. Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой переменной:

· определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;

· решаем уравнение относительно новой переменной;

· записываем ответ. [1 c.109]

Пример1. Решить уравнение:

Решение. Упростим показательное уравнение . Применим метод введения новой переменной, пусть . Данное уравнение можно записать в виде . Решая это квадратное уравнение, получаем . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений ⇒

Ответ:

Метод вынесения общего множителя за скобки

Вынесение множителя за скобки применяется для разложения многочлена на множители. Для этого нужно сначала каждое слагаемое многочлена заменить произведением двух множителей. Например, в многочлене у каждого слагаемого есть общий множитель . Поэтому этот многочлен можно представить так: .

Теперь это выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых общий множитель , а второй — сумма , которая заключается в скобки: .

Таким образом, общий множитель был вынесен за скобки и в результате этого тождественного преобразования первоначальное выражение представлено в виде другого, тождественного ему: .

Вынесение общего множителя за скобки применяется, например, при тождественных преобразованиях дробей (сокращение дробей, приведение к общему знаменателю), при решении уравнений и в других задачах. [3 c .170]

Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки

Пример1. Решить уравнение: .

Решение: , т.к. равносильно , запишем как . Вынесем за скобку: . Отсюда

. Представим 27 как .Тогда получимуравнение . Следовательно, .

Ответ: .

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

· левую и правую части уравнения представить в виде функций;

· построить графики обеих функций в одной системе координат;

· найти точки пересечения графиков, если они есть;

· указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения[3 c . 118]

Пример 1. Решить уравнение: .