Решение показательных уравнений вынесение за скобку

Решение показательных уравнений

Презентация к уроку

Тип урока: урок изучения новой темы.

Продолжительность урока: 2 часа ( 90 минут).

Цели урока:

образовательные: формирование понятия показательного уравнения; ознакомление учащихся с типами показательных уравнений; формирование умений и навыков решения показательных уравнений;
• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

Задачи урока

• Повторить свойства показательной функции
• Отработать алгоритм решения показательных уравнений
• Научить учащихся различать типы показательных уравнений
• Научить учащихся решать показательные уравнения

1. Организационный этап.

“Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по–моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. И решать их нужно правильно”.
Альберт Энштейн

На предыдущих уроках мы познакомились с показательной функцией, изучили ее свойства. Сегодня нам предстоит повторить свойства показательной функции, уметь применять их при решении показательных уравнений, рассмотреть примеры уравнений, предлагаемых на экзамене базового уровня.

а) представить в виде степени с основанием 2: 32; 0,5; 1; ;

б) вычислить ; ( 10 ; .

в) сколько точек пересечения имеют графики функций у = 2 х и у=16; у= 5 -х и у= 0,2; у=3 х и у = 7 х .

2. Объяснение новой темы. Решение показательных уравнений

Определение. Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Теорема. Если а > 1, а 1, то уравнение а f( x ) = a g (x ) равносильно уравнению f( x ) = g (x ).

1. Если b 0, то уравнение а f( x ) = b решений не имеет.

Пример. 5 х + 1 = -5 решений нет; 5 х + 1 = 0 решений нет.

2. Уравнение а f( x ) = 1 равносильно уравнению f ( x ) = 0 ( а f( x ) = а 0 равносильно уравнению f ( x ) = 0 ).

Пример.

• 2 4х +1 = 1,
• 2 4х +1 = 2 0 ,
• 4х +1 = 0,
• х = — 1 : 4,
• х = — 0,25.

3. Уравнение а f( x ) = a n равносильно уравнению f ( x ) = n.

а) 7 х = 7 2 , х = 2.

б) 7 х = 49, 7 х = 7 2 , тогда х = 2

в) 7 3х – 2 = 7 – 2 , 3х – 2 = — 2, 3х = 0, тогда х= 0

г) 7 2х = , 7 2х = 7 — 2 , 2х = -2 , тогда х = -1

4. Уравнение а f( x ) = b f (x ) равносильно уравнению , значит f ( x ) = 0.

Пример. 3 2х-1 = 5 2х-1 , , 2х-1=0, тогда х = .

5. Показательные уравнения, приводящиеся к линейному.

Рассмотрим уравнение, сводящееся к линейному с помощью вынесения за скобки общего множителя.

3 х+1 + 3 х =108, т.к. 3 х+1 = 3 х * 3 , то уравнение можно записать в виде 3 * 3 х + 3 х = 108; вынесем за скобки общий множитель 3 х , получим

6 х + 1 +35 * 6 х -1 = 71, вынесем за скобки наименьший множитель 6 х -1 , т.к. 6 х + 1 = 6 х-1 * 6 2 , то получим 6 х -1 ( 6 2 + 35) = 71,

2 х+1 + 2 х-1 +2 х = 28, вынесем за скобки наименьший множитель 2 х -1 , получим 2 х-1 (2 2 + 1 +2 ) = 28,

5 1-х + + = 155 ,

5 1-х + + = 155, вынесем общий множитель 5 -х за скобки, получим

5 – х ( 5 + 5 2 +1) = 155,

5 – х ( 5 + 25 +1) = 155,

7 3-х — 7 2 –х = 2 5 –х – 2 3 –х ,

7 * 7 2-х — 7 2 –х = 8 * 2 2 –х – 2 * 2 2 –х ,

7 2-х (7 — 1) = 2 2 –х (8 – 2),

7 2-х * 6 = 2 2 –х * 6, 7 2-х = 2 2 –х ,

,

6. Показательные уравнения, приводящиеся к квадратному.

Рассмотрим уравнение в общем виде Аа 2х + Ва х + С =0

Пусть а х = t и а 2х = t 2 , тогда Аt 2 + Вt + С =0 – квадратное уравнение.

т.к. 4 х = 2 2х = (2 х ) 2 ; пусть 2 х = t и 2 2х = t 2 , тогда

если t₁=4, то 2 х = 4, х=2;

если t₂=1, то 2 х = 1, х=0. Ответ: 0; 2.

,

,

пусть , тогда + 13t -12 = 0,

t₁=, t₂= 1,

= решения нет;

=,

7. Однородные показательные уравнения

Рассмотрим уравнение А.

Разделим почленно на . Получим уравнение , пусть , тогда уравнение принимает вид .

Пример. .

, разделим на , получим уравнение

, пусть , тогда

, t₁ = 1, t₂= ,

тогда , х=0 ;

и х = -1.

8. Задание. Определите, каким методом будем решать каждое уравнение

1)

2)

3) .

Вывод: Существуют методы решения показательных уравнений:

• Метод приведения степеней к одному основанию
• Вынесение общего множителя за скобки
• Метод замены переменной
• Метод почленного деления (однородные уравнения )

3. Подведение итогов урока.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.” Лейбниц.

4. Домашняя работа (задание на карточке уравнения п.8).

5. Рефлексия

• Сегодня на уроке я повторил .
• Сегодня на уроке я узнал .
• Сегодня на уроке я научился .

— Оцените свои знания и умения по данной теме.

Показательные уравнения (вынесение общего множителя за скобки)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тема: ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Тест ПРОВЕРКА 6 7 8 1 4 3 5 2

Решить уравнение ЗАДАНИЕ : ВОСПРОИЗВЕСТИ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕГО ПОКАЗАТЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

АЛГОРИТМ решения П.У. методом вынесения общего множителя за скобки

Практическая работа Указать способы решения показательных уравнений. Дома-шнее задание

Спасибо за урок!

Краткое описание документа:

Презентация на тему «Показательные уравнение»

В данной теме предоставлен тест «Свойства степеней» с проверкой и критериями оценивания. Повторение алгоритма решения простейших показательных уравнений. Детальный разбор примера на вынесение общего множителя за скобки. Не большая практическая работа, из которой три примера идут как домашнее задание.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 358 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

§ 12. Показательные уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 07.11.2018
• 696
• 3

• 04.11.2018
• 2445
• 52

• 03.11.2018
• 9423
• 309

• 01.11.2018
• 307
• 8

• 31.10.2018
• 1917
• 53

• 31.10.2018
• 1819
• 88

• 31.10.2018
• 729
• 2

• 31.10.2018
• 562
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 07.11.2018 5357
• PPTX 1.6 мбайт
• 33 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Боенко Елена Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 5 месяцев
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 6887
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение \(t\):

Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):

И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!