Решение полиномиальных уравнений состоит из этапов

Полиномиальные уравнения (с решенными упражнениями)

полиномиальные уравнения являются утверждением, которое поднимает равенство двух выражений или членов, где хотя бы один из членов, составляющих каждую сторону равенства, является полиномом P (x). Эти уравнения названы в соответствии со степенью их переменных.

В общем, уравнение — это утверждение, которое устанавливает равенство двух выражений, где хотя бы в одном из них есть неизвестные величины, которые называются переменными или неизвестными. Хотя существует много типов уравнений, они обычно подразделяются на два типа: алгебраические и трансцендентные..

Полиномиальные уравнения содержат только алгебраические выражения, в которых может быть одно или несколько неизвестных, участвующих в уравнении. В соответствии с показателем степени (степени) они могут быть классифицированы на: первую степень (линейную), вторую степень (квадратичную), третью степень (кубическую), четвертую степень (квартальную), большую или равную пяти и иррациональную.

• 1 Характеристики
• 2 типа
  • 2.1 Первый класс
  • 2.2 Вторая степень
  • 2.3 Резолвер
  • 2.4 Высшая оценка
• 3 упражнения выполнены
  • 3.1 Первое упражнение
  • 3.2 Второе упражнение
• 4 Ссылки

черты

Полиномиальные уравнения — это выражения, которые образованы равенством двух полиномов; то есть с помощью конечных сумм умножений между неизвестными значениями (переменными) и фиксированными числами (коэффициентами), где переменные могут иметь показатели степени, а их значение может быть положительным целым числом, включая ноль.

Показатели степени определяют степень или тип уравнения. Тот член выражения, который имеет наивысший показатель степени, будет представлять абсолютную степень многочлена.

Полиномиальные уравнения также известны как алгебраические уравнения, их коэффициенты могут быть действительными или комплексными числами, а переменные представляют собой неизвестные числа, представленные буквой, например: «x».

Если подставить значение для переменной «x» в P (x), результат будет равен нулю (0), то говорят, что это значение удовлетворяет уравнению (это решение) и обычно называется корнем многочлена..

Когда разработано полиномиальное уравнение, вы хотите найти все корни или решения.

тип

Существует несколько типов полиномиальных уравнений, которые дифференцируются по количеству переменных, а также по степени их степени..

Таким образом, полиномиальные уравнения, где первый член является полиномом с единственным неизвестным, учитывая, что его степень может быть любым натуральным числом (n), а второй член равен нулю, можно выразить следующим образом:

— в_N, в_н-1 и₀, они действительные коэффициенты (числа).

— в_N это отличается от нуля.

— Показатель n представляет собой положительное целое число, которое представляет степень уравнения.

— х — это переменная или неизвестная, которую нужно искать.

Абсолютная или большая степень полиномиального уравнения — это показатель большей ценности среди всех тех, которые образуют полином; таким образом, уравнения классифицируются как:

Первый класс

Уравнения полиномов первой степени, также известные как линейные уравнения, — это уравнения, в которых степень (наибольший показатель степени) равна 1, а полином имеет форму P (x) = 0; и он состоит из линейного члена и независимого члена. Это написано следующим образом:

— a и b — действительные числа и a ≠ 0.

— ax — линейный член.

— б независимый термин.

Например, уравнение 13x — 18 = 4x.

Чтобы решить линейные уравнения, все члены, содержащие неизвестный x, должны быть переданы в одну сторону равенства, а те, которые не имеют, перемещены в другую сторону, чтобы очистить его и получить решение:

Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение или корень, который равен x = 2.

Второй класс

Полиномиальные уравнения второй степени, также известные как квадратные уравнения, — это те, в которых степень (наибольший показатель степени) равна 2, полином имеет форму P (x) = 0 и состоит из квадратичного члена один линейный и один независимый. Это выражается следующим образом:

топор 2 + bx + c = 0.

— a, b и c — действительные числа и a ≠ 0.

— топор 2 является квадратичным членом, а «a» является коэффициентом квадратичного члена.

— bx — линейный член, а «b» — коэффициент линейного члена..

— с является независимым термином.

resolvente

Как правило, решение этого типа уравнений дается путем очистки х из уравнения, и оно оставляется следующим образом, который называется резольвер:

Там, (б 2 — 4ac) называется дискриминантом уравнения, и это выражение определяет количество решений, которые может иметь уравнение:

— Да (б 2 — 4ac) = 0, уравнение будет иметь одно решение, которое является двойным; то есть у вас будет два равных решения.

— Да (б 2 — 4ac)> 0, уравнение будет иметь два разных реальных решения.

— Да (б 2 — 4ac) 2 + 10x — 6 = 0, чтобы разрешить его, сначала определите термины a, b и c, а затем замените его в формуле:

Существуют случаи, когда полиномиальные уравнения второй степени не имеют трех членов, и поэтому они решаются по-разному:

— В случае, если квадратные уравнения не имеют линейного члена (то есть b = 0), уравнение будет выражено как ось 2 + с = 0. Чтобы решить это, очищается х 2 и квадратные корни применяются в каждом члене, помня, что рассматриваются два возможных признака, которые может иметь неизвестное:

Например, 5 х 2 — 20 = 0.

— Если квадратное уравнение не имеет независимого члена (т. Е. С = 0), уравнение будет выражено как ось 2 + bx = 0. Чтобы решить его, мы должны извлечь общий множитель неизвестного x в первом члене; поскольку уравнение равно нулю, верно, что хотя бы один из факторов будет равен 0:

Таким образом, вы должны:

Например: у вас есть уравнение 5x 2 + 30x = 0. Первый фактор:

Генерируются два фактора: х и (5х + 30). Считается, что одно из них будет равно нулю, а другое решение будет дано:

Степень магистра

Полиномиальные уравнения большей степени — это те, которые идут от третьей степени и далее, которые могут быть выражены или разрешены с помощью общего полиномиального уравнения для любой степени:

Это используется потому, что уравнение со степенью больше двух является результатом факторизации полинома; то есть оно выражается как умножение многочленов степени один или больше, но без реальных корней.

Решение этого типа уравнений является прямым, потому что умножение двух факторов будет равно нулю, если любой из факторов равен нулю (0); следовательно, каждое из найденных полиномиальных уравнений должно быть разрешено, сопоставляя каждый из его факторов с нулем.

Например, у вас есть уравнение третьей степени (куб) х 3 + х 2 +4x + 4 = 0. Чтобы решить эту проблему, необходимо выполнить следующие шаги:

х 3 + х 2 +4x + 4 = 0

(х 3 + х 2 ) + (4x + 4) = 0.

— Конечности разбиты, чтобы получить общий фактор неизвестного:

х 2 (х + 1) + 4 (х + 1) = 0

— Таким образом, получаются два фактора, которые должны быть равны нулю:

— Видно, что коэффициент (х 2 + 4) = 0 не будет иметь реального решения, а коэффициент (x + 1) = 0 да. Таким образом, решение является:

Решенные упражнения

Решите следующие уравнения:

Первое упражнение

решение

В этом случае уравнение выражается в виде умножения полиномов; то есть это факторизовано. Для ее решения каждый фактор должен быть равен нулю:

— 2x 2 + 5 = 0, не имеет решения.

Таким образом, данное уравнение имеет два решения: x = 3 и x = -1.

Второе упражнение

решение

Ему был дан полином, который можно переписать как разность квадратов, чтобы прийти к более быстрому решению. Таким образом, уравнение остается:

Чтобы найти решение уравнений, оба фактора равны нулю:

(х 2 + 6) = 0, не имеет решения.

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения:

Решение полиномиальных уравнений состоит из этапов

Цель работы: Получить навыки решения алгебраических уравнений средствами системы Mathcad .

Справочный материал и примеры

Система Mathcad обладает широкими возможностями численного решения уравнений.

Функция root, блоки Given…Find, Given…Minerr

В ходе численного решения обычно выделяют два этапа:

· отделение корней − определение интервала нахождения каждого корня или определение приблизительного значения корня. В системе Mathcad наиболее наглядным будет отделение корней уравнения графическим способом;

· уточнение корней − нахождение численного значения корня с указанной точностью.

Точность нахождения корня устанавливается с помощью системной переменной TOL ( Convergence Tolerance − Допуск сходимости), которая по умолчанию равна 10 -3 . Чем меньше значение TOL , тем точнее, вообще говоря, находится корень уравнения. Однако оптимальным является TOL = 10 -5 . Переопределить значение TOL можно в окне математических свойств документа Math Options на вкладке Build — In Variables ( Встроенные переменные) или присваиванием, например, .

Для решения одного уравнения с одной неизвестной предназначена встроенная функция root , которая в общем виде задается

и возвращает значение переменной x , при котором функция f ( x ) обращается в ноль. Аргументы функции root :

· f ( x ) – функция левой части уравнения f ( x ) = 0;

· x – переменная, относительно которой требуется решить уравнение;

· a , b (необязательные) – действительные числа, такие что a b , причем на интервале [ a, b] находится только один корень.

Если функция root не может найти корни уравнения, то рекомендуется уточнить начальное приближение по графику, изменить границы интервала [ a , b ] нахождения корня или увеличить значение системной переменной TOL .

Для решения уравнений используются функции Find или Minerr . Они входят в состав вычислительного блока, который включает в себя ключевое слово Given , набор уравнений и неравенств и завершается одной из указанных вычисляющих функций в составе какого-нибудь выражения.

возвращает значения неизвестных x 1 , x 2 , … , обращающих уравнения в верные тождества, т. е. возвращает точное решение системы уравнений или одного уравнения в частном случае.

Если в результате поиска не может быть получено решение с заданной точностью, то функция F ind выдает сообщение об ошибке. В этом случае можно использовать функцию

возвращающую приближенное решение одного уравнения. При использовании m iner r необходимо производить дополнительную проверку достоверности результатов решения.

Порядок применения блоков Given … Find , Given … Minerr для численного решения уравнений:

1 Всем неизвестным, входящим в систему, задается начальное приближение.

2 При необходимости присваиваются требуемые значения системным переменным TOL и CTOL ( Constraint Tolerance − Допуск ограничения).

3 Печатается ключевое слово Given , которое указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

4 Задаются уравнения и ограничения на поиск решения в виде неравенств (если они имеются) в любом порядке, каждое в отдельном формульном блоке, причем для записи используются операторы отношения палитры Boolean ( Логические). Допускается использование двусторонних неравенств вида a ≤ x ≤ b .

5 Применяется функция Find или Minerr в составе какого-нибудь выражения. В качестве аргументов через запятую перечисляются имена входящих в систему переменных в том порядке, в котором должны быть расположены в ответе соответствующие им корни.

6 В случае использования функции Minerr выполняется проверка.

Внутри блока решения недопустимы следующие операции и выражения:

· выражения, содержащие знак ≠;

· локальное (:=) или глобальное (≡) определение переменных и функций, за исключением выражения, в состав которого входит функция Find или Minerr ;

· другой блок решения. Каждый блок должен содержать только одно слово Given и одну решающую функцию.

В случае появления ошибки, означающей, что решение не было найдено, рекомендуется изменить начальное приближение или значения системных переменных TOL и CTOL .

Пример к заданию 1

Пример 1. Решить уравнение .

Решение данного уравнения будем проводить в два этапа: отделение корней уравнения графически, уточнение корней уравнения.

Определим функцию f ( x ) , равную левой части данного уравнения, когда правая равна нулю:

Зададим ранжированную переменную x на некотором диапазоне с мелким шагом, например:

Вставим в документ графическую область. Для этого выберем дважды пиктограмму с изображением графика сначала на панели Math ( Математика), затем на палитре графиков Graph или выполним из главного меню последовательность команд Insert / Graph / X — Y Plot ( Вставка / График / X — Y Зависимость).

Снизу по оси абсцисс наберем x , а сбоку по оси ординат введем f ( x ).

Для появления графика щелкнем левой клавишей мыши вне графической области.

Отформатируем график функции f ( x ). Для этого щелкнем правой клавишей мыши в области графика и выберем в контекстном меню команду Format ( Формат). Установим пересечение осей графика ( Crossed − Т олько оси), добавим вспомогательные линии по координатным осям ( Grid Lines − Вспомогательные линии). Отменим при этом автосетку ( Autogrid − Автосетка) и установим количество линий сетки, равное 10.

Для подтверждения внесенных изменений нажмем последовательно кнопки Apply ( Применить) и ОК.

После указанных преобразований график функции f ( x ) будет выглядеть следующим образом:

Из графика функции f ( x ) видно, что уравнение имеет три корня, которые приблизительно равны: x ₁ » -1; x ₂ » 1; x ₃ » 2,5.

Этап отделения корней завершен.

Уточним теперь корни уравнения различными способами.

1-й способ. Присвоим начальное приближение переменной x и укажем точность поиска корня:

Уточним заданное приближение к значению корня с помощью функции root :

Выполним проверку, подтверждающую, что первый корень найден с заявленной точностью:

Начальное приближение можно не задавать при использовании в качестве аргументов root границ отрезка нахождения корня, например, второй корень можно уточнить:

2-й способ. Присвоим начальное приближение переменой x для уточнения третьего корня:

Напечатаем служебное слово Given . Ниже наберем f ( x ) = 0, используя логический знак равенства с панели Boolean ( Логические) − комбинация клавиш Ctrl + =. Еще ниже напечатаем выражение x 3 = Find ( x ) и вывод значения третьего корня x 3 =.

Уточнение корня уравнения с помощью блока Given … Find выглядит следующим образом:

3-й способ. Уточнение корня уравнения с помощью блока Given … Minerr осуществляется аналогично предыдущему случаю:

Примечание − Д ля уточнения корня в данном примере установлена точность 0,0001. Поэтому целесообразно изменить формат вывода результатов (4 знака после десятичного разделителя) в окне форматирования результатов на вкладке Number Format .

Решение полиномиальных уравнений. Функция polyroots

Для решения полиномиальных уравнений вида

или нахождения всех корней полинома степени n, используют функцию

возвращающую вектор-столбец длины n, состоящий из корней полинома, как действительных, так и комплексных. Аргументом функции polyroots является вектор v длины n + 1

1) задать полином;

2) выделить переменную синим управляющим курсором;

3) создать вектор коэффициентов полинома, выполнив последовательность команд главного меню Symbolics / Polynomial Coefficients ( Символика / Коэффициенты полинома);

4) вырезать вектор коэффициентов полинома в буфер обмена;

5) задать переменную v и присвоить ей значение вектора коэффициентов полинома, вставив его непосредственно из буфера обмена;

6) применить функцию polyroots ( v ) в каком-нибудь выражении, например , ;

7) получить вектор корней полинома: X =.

Доступ к каждому отдельному корню − элементу вектора X − осуществляется с помощью индекса, например, X_i =.

Пример к заданию 2

Пример 2. Решить уравнение .

Напечатаем левую часть уравнения, не приравнивая выражение к 0, и выделим синим курсором переменную x:

Выберем из главного меню Symbolics / Polynomial Coefficients ( Символика / Коэффициенты полинома). Появившийся вектор коэффициентов полинома выделим целиком синим курсором и вырежем в буфер обмена, используя кнопку В ырезать на панели инструментов Formatting ( Форматирование) или комбинацию клавиш Ctrl + X .

Напечатаем v := и вставим вектор из буфера обмена, используя кнопку В ставить на панели инструментов или комбинацию клавиш Ctrl + V .

Для получения результата напечатаем polyroots ( v ) =:

Порядок выполнения лабораторной работы

1 Загрузить Mathcad.

2 Сохранить в личной папке на диске z :\ в папке Mathcad \ LAB 4 новый документ с именем ФИО_4, лучше использовать латинские буквы. Производить сохранение регулярно в процессе работы ( Ctrl + S ).

3 Вставить текстовую область и ввести в поле документа текст:

Лабораторная работа № 4

Решение уравнений в Math cad .

4 В новой текстовой области ввести фамилию, имя, отчество и номер варианта.

5 Задание 1. Решить уравнение (таблица 1) с точностью 10 -5 : отделить корень графически и уточнить с помощью функции root ; блока Given … Find ; блока Given … Minerr .

Таблица 1 − Нелинейные уравнения

6 Задание 2. Решить полиномиальное уравнение (таблица 2).

Таблица 2 − Полиномиальное уравнение

Контрольные вопросы

1 Как найти начальное приближение корней уравнений?

2 Какие функции для решения одного уравнения известны в Mathcad? В чем их отличие?

3 Как системная переменная TOL влияет на решение уравнения?

4 Что такое вычислительный блок и какова его структура?

5 Какой знак равенства используется в блоке решения? Какой комбинацией клавиш вставляется в документ?

6 Какие выражения недопустимы внутри блока решения уравнения?

Лабораторная работа №5. Mathcad.
Решение систем уравнений

Цель работы: Получить навыки решения систем линейных и нелинейных уравнений средствами системы Mathcad .

Справочный материал и примеры

Система Mathcad обладает широкими возможностями численного решения систем уравнений.

Блоки Given … Find , Given … Minerr

Для решения систем нескольких уравнений и неравенств используются функции Find или Minerr . Они входят в состав вычислительного блока, который включает в себя ключевое слово Given , набор уравнений и неравенств и завершается одной из указанных вычисляющих функций в составе какого-нибудь выражения.

возвращает значения неизвестных x 1 , x 2 , … , обращающих уравнения в верные тождества, т. е. возвращает точное решение системы уравнений. Для системы из n уравнений с n неизвестными решение возвращается в виде вектора, состоящего из n элементов.

Если в результате поиска не может быть получено решение с заданной точностью, то функция F ind выдает сообщение об ошибке. В этом случае можно использовать функцию

возвращающую приближенное решение системы уравнений (число уравнений должно быть равно числу неизвестных). При использовании m iner r необходимо производить дополнительную проверку достоверности результатов решения системы.

Порядок применения блоков Given … Find , Given … Minerr для численного решения систем уравнений:

7 Всем неизвестным, входящим в систему, задается начальное приближение.

8 При необходимости присваиваются требуемые значения системным переменным TOL и CTOL ( Constraint Tolerance − Допуск ограничения).

9 Печатается ключевое слово Given , которое указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

10 Задаются уравнения и ограничения на поиск решения в виде неравенств (если они имеются) в любом порядке, каждое в отдельном формульном блоке, причем для записи используются операторы отношения палитры Boolean ( Логические). Допускается использование двусторонних неравенств вида a ≤ x ≤ b .

11 Применяется функция Find или Minerr в составе какого-нибудь выражения. В качестве аргументов через запятую перечисляются имена входящих в систему переменных в том порядке, в котором должны быть расположены в ответе соответствующие им корни.

12 В случае использования функции Minerr выполняется проверка.

Внутри блока решения недопустимы следующие операции и выражения:

· выражения, содержащие знак ≠;

· локальное (:=) или глобальное (≡) определение переменных и функций, за исключением выражения, в состав которого входит функция Find или Minerr ;

· другой блок решения. Каждый блок должен содержать только одно слово Given и одну решающую функцию.

В случае появления ошибки, означающей, что решение не было найдено, рекомендуется изменить начальное приближение или значения системных переменных TOL и CTOL .

Пример к заданию 1

Пример 1. Решить систему уравнений

Отделим решения системы графически. Определим две функции аргументов х и y соответственно, выразив для этого из первого уравнения системы у , а из второго − х. Для более детального построения графика создадим ряды значений каждой из этих ранжированных переменных:

Вставим графическую область. Аргументы по оси абсцисс и ординат введем через запятую. После форматирования график выглядит так:

Точка пересечения линий графиков функций является решением системы. Укажем приблизительное значение абсциссы и ординаты точки пересечения в качестве начального приближения:

Напечатаем ключевое слово Given , затем уравнения системы, каждое в отдельном блоке с использованием логического знака равенства ( CTRL + =). Решение уточним с помощью функции Minerr :

Так как Minerr находит приближенное решение системы, то необходимо сделать проверку. Для этого зададим значение системной переменной ORIGIN :=1. Первый элемент вектора X − это значение переменной x , а второй − значение переменной y . Подставим их в левую часть системы и вычислим, чему равна правая, используя обычный знак «=» вывода результата:

Полученные значения совпадают с заданными. Значит, система решена правильно.

Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

В матричном виде ее можно записать Ax = b , где

– матрица коэффициентов при неизвестных системы (матрица левой части системы);

− столбец свободных членов.

Как известно, система линейных алгебраических уравнений имеет решение, если ее определитель отличен от 0: .

Умножим обе части матричного уравнения Ax = b на обратную матрицу коэффициентов при неизвестных системы A -1 слева: . Учитывая, что , вектор-столбец решений системы можно искать в виде

.

Этот прием используется в Mathcad так:

1) задается матрица коэффициентов при неизвестных системы A ;

2) задается столбец свободных членов b ;

3) вводится формула для нахождения решения системы ;

4) выводится вектор решений системы .

Кроме того, пакет Mathcad имеет встроенную функцию

возвращающую вектор-столбец решений системы линейных алгебраических уравнений. Аргументами функции lsolve являются матрица коэффициентов при неизвестных системы и столбец свободных членов. Порядок решения аналогичен рассмотренному , но вместо формулы используется .

Реализовать метод Гаусса решения систем линейных уравнений позволяет встроенная функция rref ( M ), возвращающая ступенчатый вид матрицы M . Если в качестве аргумента взять расширенную матрицу системы, то в результате применения rref получится матрица, на диагонали которой – единицы, а последний столбец представляет собой столбец решений системы.

Решение системы линейных уравнений можно осуществить с помощью блоков Given … Find , Given … Minerr . При этом неизвестным системы задается произвольное начальное приближение, а проверка необязательна.

Пример к заданию 2

Пример 2. Решить систему линейных уравнений С делать проверку.

1-й способ. Использование блока Given … Find .

Зададим всем неизвестным, входящим в систему уравнений, произвольные начальные приближения, например:

Напечатаем слово Given . Установим визир (курсор) ниже и наберем уравнения системы, каждое в своем блоке. Используем при этом логический знак равенства ( Ctrl + =).

После ввода уравнений системы напечатаем X : = Find ( x , y , z ) и получим решение системы в виде вектора, состоящего из трех элементов:

Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в уравнения системы, например, следующим образом

После набора знака «=» в каждой строке должен быть получен результат, равный или приблизительно равный правой части системы. В данном примере системная переменная ORIGIN = 1.

2-й способ. Использование блока Given … Minerr .

Порядок решения системы этим способом аналогичен порядку использования блока Given … Find и представлен ниже вместе с проверкой.

3-й способ. Решение системы линейных уравнений матричным способом.

Создадим матрицу А , состоящую из коэффициентов при неизвестных системы. Для этого напечатаем A : = , вызовем окно создания массивов ( Ctrl + M ). Число строк ( Rows ) и столбцов ( Columns ) матрицы данной системы равно 3. Заполним пустые места шаблона матрицы коэффициентами при неизвестных системы, как показано ниже:

Зададим вектор b свободных членов системы. Сначала напечатаем b : =, затем вставим шаблон матрицы( Ctrl + M ), где количество строк ( Rows) равно 3, а количество столбцов ( Columns) равно 1. Заполним его:

Решим систему матричным способом по формуле

Решим систему с помощью функции lsolve :

Решение системы с помощью функции rref можно представить так:

В последнем случае матрица AR , полученная путем объединения матрицы при неизвестных системы и столбца свободных членов, является расширенной матрицей системы.

Для проверки правильности решения системы, полученного матричным способом, достаточно вычислить произведение , которое должно совпасть с вектором-столбцом свободных членов b :

Порядок выполнения лабораторной работы

7 Загрузить Mathcad.

8 Сохранить в личной папке на диске z :\ в папке Mathcad \ LAB 5 новый документ с именем ФИО_5, лучше использовать латинские буквы. Производить сохранение регулярно в процессе работы ( Ctrl + S ).

9 Вставить текстовую область и ввести в поле документа текст:

Лабораторная работа № 5

Решение систем уравнений в Math cad .

10 В новой текстовой области ввести фамилию, имя, отчество и номер варианта.

11 Задание 1. Решить систему уравнений (таблица 1), отделив решение графически и уточняя с помощью блока Given … Minerr . Сделать проверку.

Таблица 1 − Нелинейные системы уравнений

Полиномиальная формула

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Теорема 2. Для любых натуральных чисел пики любых чисы справедливо равенство Пояснение. Суммирование производится по всем решениям уравнения неотрицательных целых числах. Таким образом, в силу результатов § 3 число слагаемых в данной сумме равно СЦ. Запишем п-ю степень суммы как произведение п множителей, после чего раскроем скобки, не приводя подобных и не меняя порядка множителей:

Если каждое слагаемое рассматривать как n-буквенное «слово», то в полученной сумме присутствуют все «слова» из п букв, в которых каждая буква принимает одно из к значений: Х\, , причем каждое такое слово встречается ровно один раз. После приведения подобных коэффициент при хпк будет равен числу n-буквенных слов, в которых буква х\ встречается п\ раз, . числу перестановок с повторениями Полиномиальная формула Теорема доказана.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Замечание 1. Частным случаем полиномиальной формулы является формула бинома Ньютона Действительно, если в полиномиальной формуле положить Замечание 2. Другим широко известным частным случаем рассматриваемой формулы является формула квадрата суммы к слагаемых Полиномиальная формула Пример 1.

Полунить формулу куба суммы трех слагаемых.

Уравнение имеет решений в неотрицательных целых числах: а также тройки чисел, получающиеся из указанных перестановками элементов. Таким образом, в формуле три различных полиномиальных коэффициента: Искомая формула: Пример 2. В разложении многочлена найти коэффициент при х4 Применяя полиномиальную формулу, получаем: (О Для того чтобы определить, какие слагаемые в полученной сумме содержат х5, нужно решить в неотрицательных целых числах систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

Из второго уравнения следует нечетность т»2; в силу неотрицательности переменных п2 принимает значения: ], 3 или 5. Все решения системы удобно записать в виде табл. 2, к которой припишем столбец значений коэффициентов при г5 в отвечающих каждому решению слагаемых в (1). Таким образом, коэффициент при г5 равен

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.