Решение пределов с кубическим уравнением

Решение пределов с кубическим уравнением

К примеру, если вы хотите ввести разность двух корней, то укажите следующее выражение:

sqrt(x^2 + 2*x) — sqrt(-3 + x^2)

Для этого примера вы получите подробное решение:

Для случая, когда корень находится в числителе или знаменателе дроби, то, к примеру, введите так:

(sqrt(x + 1) — sqrt(2*x — 2))/(x — 3)

Не забудьте указать к чему стремится переменная x.

Для указанного примера Вы также получите подробное решение, но с применением правила Лопиталя.

Ещё раз приводим ссылку на калькулятор:

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Примеры решения пределов с корнями с ответами

Простое объяснение принципов решения пределов с корнями и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Основные свойства пределов с корнями

Для нахождения предела функции необходимо подставить в предел вместо Х то значение переменной, к которому стремится Х.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Примеры решений пределов с корнями

Задание

Решение

Мы имеем неопределенность вида

Первый шаг – разделить числитель и знаменатель на ”х” в высшей степени. Старшая степень для числителя в данном случае равна двум.
Со знаменателем немного сложнее. Так как у нас корень, обращаем внимание только на самое ”старшее” слагаемое –

Число (4) – это константа, его тоже отбрасываем. Находим корень

Так как числитель и знаменатель оказываются одного порядка роста, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

Видим, что функции эквивалентны на бесконечности.

Ответ: 1

Задание

Найти предел с корнем

Решение

в подпредельную функцию:

Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к нему –

так как он содержит корень.
Далее, пользуясь формулой разности квадратов

и раскрывая скобки, упрощаем предел. Последний шаг – сокращение функции на

Ответ: -8

Задание

Решить предел с корнем

Решение

в предел и получаем неопределённость вида

Как и в предыдущих примерах, находим старшую степень для числителя и знаменателя, и выносим её за скобки.

И опять подставляем

в предел и решаем:

Ответ:

Задание

Вычислить предел корня:

Решение

Аналогично предыдущим примерам, подставляем

в предел и видим:

Находим сопряженное, в данном случае это

Как и в примере №2, пользуясь формулой разности квадратов

и раскрывая скобки, упрощаем предел:

Раскрываем скобки и упрощаем. Затем выносим х за скобки и сокращаем:

Как и в начале, подставляем в предел, получаем:

Ответ:

Задание

Вычислить предел функции

Решение

Если подставить х=1, видно, что и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Получаем неопределенность вида

Как и в предыдущих примерах, первым шагом находим сопряжённое –

и домножаем на него числитель и знаменатель.

Применяем правило разности квадратов

и преобразовываем предел:

Сокращаем числитель и знаменатель на (x-1) и приходим к конечному ответу:

Ответ: 6

Задание

Решение:

Первый шаг – подставить в предел выражение

и убедиться, что выходит неопределённость вида

Шаг второй – раскрываем нашу неопределенность путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, в данном случае –

Далее, пользуясь формулой разности квадратов раскладываем числитель:

Подставляем х=3 в предел и вычисляем:

Ответ:

Задание

Решение

Как и в предыдущих заданиях, подставляем

и убеждаемся, что имеем дело с неопределённостью вида

Порядок действий стандартный. Избавляемся от иррациональности в знаменателе с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. В данном примере сопряжённое выражение имеет вид –

Перемножаем знаменатель и сокращаем в числителе и знаменателе

Подставляем, как и ранее, х=3 и находим ответ:

Ответ: 17,8

Задание

Определить предел функции

Решение

Смотрим на функцию, подставляем

мы имеем дело с неопределённостью вида:

Начинаем работать с функциями, содержащими корень. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и упрощаем предел:

После преобразований получаем ответ:

Ответ: -2

Задание

Решение:

в выражение лимита, подтверждаем догадки, что перед нами неопределённость вида

Как и раньше, первый шаг – избавиться от иррациональности с помощью домножения числителя и знаменателя на соответствующее сопряженное выражение.

Раскрываем скобки и сокращаем выражения на

больше нет и ничего нам не мешает вычислить пример:

Ответ:

Задание

Решение

Оба лимита числителя и знаменателя равны нулю, значит опять неопределённость вида

Находим сопряжённое к числителю и знаменателю число:

Домножаем на полученное выражение числитель и знаменатель, раскрываем скобки и упрощаем:

Пределы с иррациональностями. Вторая часть.

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

Так как $\lim_\left(\sqrt[3]<5x-12>-\sqrt[3]\right)=0$ и $\lim_(16-x^2)=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac<0><0>$. Чтобы избавиться от иррациональности, вызвавшей эту неопределенность, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. Формула №1 здесь уже не поможет, ибо домножение на $\sqrt[3]<5x-12>+\sqrt[3]$ приведёт к такому результату:

Как видите, такое домножение не избавит нас от разности корней, вызывающей неопределённость $\frac<0><0>$. Нужно домножить на иное выражение. Это выражение должно быть таким, чтобы после домножения на него исчезла разность кубических корней. А кубический корень может «убрать» только третья степень, посему нужно использовать формулу №2. Подставив в правую часть этой формулы $a=\sqrt[3]<5x-12>$, $b=\sqrt[3]$, получим:

Итак, после домножения на

разность кубических корней исчезла. Именно это выражение будет сопряжённым к выражению $\sqrt[3]<5x-12>-\sqrt[3]$. Вернемся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое числителю $\sqrt[3]<5x-12>-\sqrt[3]$:

Задача практически решена. Осталось лишь учесть, что $16-x^2==-(x-4)(x+4)$ (см. формулу №1). Кроме того $4x-16=4(x-4)$, поэтому последний предел перепишем в такой форме:

Рассмотрим ещё один пример (пример №5) в данной части, где применим формулу №4. Принципиально схема решения ничем не отличается от предыдущих примеров, – разве что сопряжённое выражение будет иметь иную структуру. Кстати, стоит отметить, что в типовых расчётах и контрольных работах часто встречаются задачи, когда, например, в числителе размещены выражения с кубическим корнем, а в знаменателе – с корнем квадратным. В этом случае приходится домножать и числитель и знаменатель на различные сопряжённые выражения. Например, для при вычислении предела $\lim_\frac<\sqrt[3]-2><\sqrt-3>$, содержащего неопределённость вида $\frac<0><0>$, домножение будет иметь вид:

Все преобразования, применённые выше, уже были рассмотрены ранее, поэтому полагаю, особых неясностей здесь нет. Впрочем, если решение вашего аналогичного примера вызывает вопросы, прошу отписать об этом на форум.

Так как $\lim_(\sqrt[4]<5x+6>-2)=0$ и $\lim_(x^3-8)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac<0><0>$. Для раскрытия оной неопределённости используем формулу №4. Сопряжённое выражение к числителю имеет вид

Домножая числитель и знаменатель дроби $\frac<\sqrt[4]<5x+6>-2>$ на указанное выше сопряжённое выражение будем иметь:

Так как $5x-10=5\cdot(x-2)$ и $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ (см. формулу №2), то:

Так как $\lim_(\sqrt[5]<3x-5>-1)=0$ и $\lim_(\sqrt[3]<3x-5>-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac<0><0>$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $\frac<\sqrt[5]-1><\sqrt[3]-1>$. Иррациональность никуда не исчезла, – лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.

Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой – третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$. Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них – число $15$. Его называют наименьшим общим кратным чисел $3$ и $5$. И замена должна быть такой: $t^<15>=3x-5$. Посмотрите, что такая замена сделает с корнями:

Корни исчезли, остались лишь степени. И дробь $\frac<\sqrt[5]<3x-5>-1><\sqrt[3]<3x-5>-1>$ станет такой:

Однако это ещё не всё. Переменная $x\to 2$, но к чему стремится переменная $t$? Рассудим так: если $t^<15>=3x-5$, то $t=\sqrt[15]<3x-5>$. Так как $x\to 2$, то $<(3x-5)>\to 1$, $\sqrt[15]<3x-5>\to 1$, посему $t\to 1$. Теперь можем вернуться к нашему пределу:

Корни исчезли, – но неопределённость $\frac<0><0>$ осталась. Чтобы убрать её, нужно учесть, что при $t=1$ имеем $t^3-1=1^3-1=0$ и $t^5-1=1^5-1=0$. Из сказанного следует, что $t=1$ — корень многочленов $t^3-1$ и $t^5-1$. Следовательно, оные многочлены делятся на $t-1$. Разделим многочлен $t^5-1$ на $t-1$ с помощью схемы Горнера:

Результаты применения схемы Горнера можно записать так: $t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$. К многочлену $t^3-1$ можно также применить схему Горнера, но лучше использовать формулу №2: $t^3-1=t^3-1^3=(t-1)(t^2+t+1)$. Вернёмся к рассматриваемому пределу: