Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений презентация

Дифференциальные уравнения. Примеры задач приводимые к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемГеоргий Арапов

Похожие презентации

Презентация на тему: » Дифференциальные уравнения. Примеры задач приводимые к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.» — Транскрипт:

1 Дифференциальные уравнения. Примеры задач приводимые к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс

2 Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные(или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

3 Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

4 Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у=φ(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

5 Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у / = f(x,y) в области D называется функция y=φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1)При любых значениях С она является решением данного уравнения,2) для любого условия (х 0, у 0 ) существует единственное значение С 0. Всякое решение y=φ(x, C 0 ),получающееся из общего решения y=φ(x, C) при конкретном значении С=С 0, называется частным решением.

6 Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных уравнений: -Уравнения с разделяющимися переменными, -Однородные уравнения, -Линейные уравнения, -Уравнение в полных дифференциалах, -и т.д. Остановимся подробнее на каждом из этих типов уравнений.

7 Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию f(x)dx + g(y)dy = 0, Интегрируя, получим — общий интеграл (общее решение) этого уравнения. Пример: — общее решение

8 Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными: Записываем уравнение в форме: затем делим на g(y) и умножаем на dx:. Это уравнение — с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл:

9 Алгоритм решения уравнений с разделяющимися переменными 1. Выражают производную функции через дифференциалы dx,dy. 2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку. 3. Разделяют переменные. 4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение. 5. Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

10 Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее решение : Пример:

11 Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов: Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой: Подставляя в уравнение y = x·u, y = u + x·u, получим (это — уравнение с разделяющимися переменными), — это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u

12 Пример : — общее решение уравнения

13 Решение задач 1. Решить уравнение: у / =х+3 2. Найти решение у(х) дифференциального уравнения у / =cos(x), удовлетворяющее условию у(0)=1. 3. Найти уравнение линии, проходящей через точку М(1;3) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой равен 2 х-3.

14 Решение задач 4. Скорость тела, выходящего из состояния покоя, равна 5t 2 м/с по истечении t секунд. Определите путь, который пройдет тело за 3 секунды. 5. Решить уравнение: хdx+ydy=0. 6. Составить уравнение движения тела по оси ОХ, если оно начало движение от точки М(4;0) со скоростью v =2t+3t Решить уравнение: 2ydy=3 х 2 dx.

Презентация на тему «Дифференциальные уравнения Решение практических задач.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение практических задач с помощью дифференциальных
уравнений

Задача1. Необходимо определить динамику развития редкого биологического вида (например, зубров),считая, что этот вид живет в идеальных условиях (например, в заповеднике «Беловежская пуща»).
Состояние такой популяции (стада) можно характеризовать биомассой m (т.е.весом всего стада). Все мы набираем (или теряем) вес со временем. Не составляет исключения и это стадо. Следовательно, биомасса стада является функцией времени: m = m(t). Очевидно, что производная этой функции и характеризует эту динамику развития (или вымирания) стада, являясь его скоростью развития
(при ) или вымирания (при ). Считается, что прирост dm биомассы пропорционален промежутку времени dt и биомассе стада, т.е. dm = kmdt (1).

Задача 1.
Учитывая, что в равенстве 1 ,оно преобразуется в дифференциальное уравнение динамики популяции:
(2). Конечно, в общем случае коэффициент k
тоже зависит и от времени t и от m. Под «идеальными условиями» будем прежде всего понимать, что коэффициент k = constant (т.е.условия жизни изучаемой популяции не меняются).Тогда уравнение 2 является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Как решать подобные уравнения мы знаем.
Решение
Найдем сначала общее решение уравнения 2, учитывая, что по смыслу задачи :

Задача 1.
Решение
Для рассматриваемой задачи произвольная постоянная С имеет определенное значение. Его можно определить следующим образом: считаем, что в начале, при t = 0, у стада была какая-то начальная биомасса .
Подставив эти значения в формулу 3, получаем:

Таким образом, частное решение или решение Коши для данной задачи имеет вид:

Задача2. Необходимо определить динамику популяции c учетом среды обитания.
Из условия задачи 1 мы знаем, что состояние такой популяции можно характеризовать биомассой m, которая является функцией времени: m = m(t). Но среда обитания тоже влияет на динамику популяции, обеспечивая нормальное существование для ее биомассы: в условиях нашей задачи влияние среды обитания будем учитывать путем ввода в уравнение 2 характеристики среды обитания а (ареал обитания).Если биомасса популяции
m a, то условия жизни популяции плохие – популяция вымирает, потому . Внесем в уравнение 2 необходимые изменения с учетом отмеченных фактов:

Задача 2.
Решение
В общем случае коэффициент l > 0 и переменный. В нашем случае будем полагать l = constant . Тогда уравнение 4 является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:
Таким образом, частное решение или решение Коши для данной задачи имеет вид:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка.
презентация к уроку на тему

Презентация к занятию по дисциплине ЕН.02 Математика по теме «Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Дифференциальные уравнения первого порядка

Диф. уравнение первого порядка Уравнение вида F(x, y, y′) = 0 называется ДУ первого порядка, где х — независимая переменная y — неизвестная функция у ′ — ее производная

Если из уравнения можно выразить у ′ , то оно примет вид: Это уравнение называется ДУ первого порядка , решенным относительно первой производной Например:

Решением ДУ первого порядка у ‘=f( х, y ) называется функция у = φ ( х) , определенная на ( a,b) , которая при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.

Поле направлений Уравнение y′ = f (x, y) в каждой точке (x, y) плоскости Oxy задает направление интегральной кривой. Говорят, что задается поле направлений. Решить уравнение означает найти семейство кривых.

Постановка задачи Коши Задача нахождения решения дифференциального уравнения: y′ = f (x, y) удовлетворяющего начальному условию: y(x 0 ) = y 0, где х0 и у0 — заданные числа, называется задачей Коши для уравнения первого порядка.

Геометрический смысл Решить задачу Коши y′ = f (x, y) y( х0) = у0 означает найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через заданную точку M0 ( x0, y0).

Уравнение с разделяющимися переменными ДУ, в котором путем преобразований переменные могут быть разделены, называется ДУ с разделяющимися переменными. Его можно представить в виде: dy /dx = f (x) * g( y) или M(x)N( y)dx + P(x)Q( y)dy = 0

Однородные дифференциальные уравнения Уравнение называется однородным диф. уравнением первого порядка, если оно имеет вид: f(x , y )dx+g(x,y)dy= g(x) где f(x, y ) и g(x, y ) – однородные функции одного измерения

Функция f(x, y) называется однородной измерения m , если f(ux, uy)= u^m f(x, y)

Линейные дифференциальные уравнения Уравнение называется линейным диф. уравнением первого порядка, если оно имеет вид: y′ + f (x) ⋅ y = g(x) где f(x) и g(x) – некоторые непрерывные функции переменной x.

Если функция g(x) тождественно равна нулю, уравнение называется линейным однородным, в противном – линейным неоднородным. Линейные дифференциальные уравнения

Метод вариации постоянной 1. В методе вариации постоянной сначала находится решение однородного уравнения: y′ + f (x) ⋅ y = 0 2. Затем полагают постоянную C новой неизвестной функцией от x: C = C(x) и находят общее решение неоднородного уравнения: y′ + f (x) ⋅ y = g(x)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка практического занятия для студента «Дифференциальные уравнения»

Методическая разработка практического занятия для студента «Дифференциальные уравнения».

Учебно-методическое пособие для студентов первого курса средних профессиональных учебных заведений по теме «Решение показательных уравнений».

Данное методическое пособие охватывает материал по теме: «Решение показательных уравнений». При решении задач по предложенной теме студенту необходимо владеть комплексом умений, а также новыми знаниям.

Методическая разработка занятия по предмету Элементы высшей математики по теме: «Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными».

Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными.Тип занятия: комбинированный, с элементами игры.Формы занятия: индивидуальная, группо.

Контрольная работа «Решение дифференциальных уравнений»

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Методическая разработка.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Методическая разработка.

Лекция. Дифференциальные уравнения второго порядка

Лекция «Дифференциальные уравнения второго порядка» по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 2 курса специальности «Компьютерные системы и комплексы».