Решение простейших тригонометрических уравнений 10 класс мордкович

Открытый урок по алгебре в 10 классе на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений.»
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме

Открытый урок по алгебре проводится после прохождения решения тригонометрических уравнений несколькими способами. На одном из этапов урока проводится «Математическое лото», на минут 7, не более. Лото можно изготовить самим на листах А4. Лотерея представляет из себя 2 листа формата А4, с одной стороны заклеивается таблица-исторические сведения или любой другой материал по истории терминов, или познавательный материал по математике С другой стороны-экспресс-задания по данной теме.такие игровые математические лотереи можно подготовить при прохождении больших тем,как обобщение и повторение, для повышения мотивации, а для слабых учащихся эта технология просто «спасение».Один готовый лист с заданиями раздается учащимся в комплекте с разрезанными ответами(с оборотной стороны в таблице размещена познавательная информация) . ребята обдумывают ираскладывают таблички в соответствии с правильными ответами на листы заданий А4. В конспекте имеется презентация, математическое лото, дополнительный лист-задания.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ »

Тип урока : урок закрепления и систематизации знаний.

Цель урока : закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов.

— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

— обобщение и систематизация материала;

— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

— воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке :

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации : компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема ( приложение 1 );

на партах учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы , листы учета знаний, лист бумаги для проведения теста , комплект «Математическая игра-лотерея», карточки заданий с уравнениями, карточки с домашними заданиями.

1. Организационный момент.(3 мин)

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

Учитель: «Сегодня у нас очередной урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».

2. Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель : «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, повторим основные формулы». На столах находится раздаточный материал –это приложения, справочный материал, карточки заданий и математическое информационное лото .

Ученики работают с опорным конспектом (приложение №1).

3. Выполнение устного теста.(3 мин)

Работа выполняется на листах

Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
а) (нет);
б) (да);
в) (нет);
г) (нет);
д) (да).
Ученики осуществляют контроль в ходе самопроверки (правильные ответы на слайде).

4. Математическая лотерея(5 мин). Работа парная, меняются листами и проверяют друг у друга правильность подбора ответов,(выставляются оценки на листах учета знаний)

Учитель: «Найдите правильные ответы к вопросам на листочках, т. е. разложите ответы под вопросами-заданиями и прочитайте историческую информацию».

( Приложение 2 . Математическое лото, 3 страницы).

Принцип действия лото: перед учащимися лист с вопросами-заданиями, и разрезанные информационные двусторонние прямоугольнички

Листок с ответами с обратной стороны заклеивается табличками с информацией, разрезаются на прямоугольнички, которые прикладываются под соответствующими вопросами. Учащимся предлагается вначале установить соответствие вопросов и ответов, а затем перевернуть таблички и прочитать «историческую» математическую информацию.

Лист с заданиями на математическом лото.

5. Работа в группах.(20 мин)

Учитель обращается к учащимся:

«Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений»

• Введение новой переменной.
• Разложение на множители.
• Деление обеих частей уравнения на cos(mx) для однородных уравнений первой степени.
• Деление обеих частей уравнения на cos 2 (mx) для однородных уравнений второй степени.
• Метод предварительного преобразования с помощью формул

Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает каким рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению. Время на решение 15-20 минут.

1 группа готовит решение уравнения а),

2 группа-уравнение б )

3 группа –уравнение в)

4 группа –уравнение г)

«А по пятому уравнению д) попрошу обратить внимание группе учащихся»( можно разделить 2 –м учащимся решить одним из прилагаемых способов, а второй группке-другим способом). Если не успевают на уроке –задать на дом, с последующим объяснением на уроках.

Математическая эстафета «Кто быстрее?»

Каждая группа получает карточки с уравнениями, они- находятся в файлах ,на столах. Решив уравнение, один из учащихся группы выходит, изначально записывает ответ на доске , а потом проверяет решение со слайда.

Карточка с уравнениями.( на столах- карточки без ответов)

Методы решения тригонометрических уравнений( алгебра 10 кл, к учебнику А.Г. Мордкович)

Данная презентация подготовлена к уроку «Тригонометрические уравнения» (п.18, учебник Алгебра и начала анализа, автор А.Г.Мордкович). В презентация: 1. актуализация знаний — решение простейших уравнения, 2. Методы решения тригонометрических уравнений( введение новой переменной, разложение на множители, решение однородных уравнений первой и второй степени)

Просмотр содержимого документа
«Методы решения тригонометрических уравнений( алгебра 10 кл, к учебнику А.Г. Мордкович) »

• Повторить решение простейших тригонометрических уравнений.
• Рассмотреть способы решения тригонометрических уравнений.

Решение простейших тригонометрических уравнений:

t = ± arccos a + 2πk, k Z

t = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n Z

t = arctg a + πn, n Z

t = arcctg a + πn, n Z

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Методы решения уравнений:

1. Введение новой переменной( №18.1-18.7)

2. Использование формул тригонометрии (18.5, 18.8)

3. Алгебраические способы:

-Вынесение множителя за скобку, группировка (18.11)

• Разложение на два уравнения (18.13).

4. Однородные линейные уравнения(деление на косинус) (18.10)

5. Однородные квадратные уравнения (деление на косинус в квадрате) (18.12)

ОДНОРОДНЫЕ И СВОДИМЫЕ К НИМ .

называется однородным уравнением I степени.

2. Уравнение вида

называется однородным уравнением II степени.

Множество значений x , удовлетворяющих уравнению

, не является решением данного уравнения. Поэтому можно обе части уравнения разделить на .

Множество значений x , удовлетворяющих уравнению , не является решением данного уравнения.

Разделим обе части уравнения на .

Уравнение примет вид:

Пример разложение на множители способом группировки:

Решение тригонометрических уравнений 10 класс апробация учебника Мордкович А. Г.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

УЧИТЕЛЬ: Азарова Ольга Геннадиевна, учитель математики ГБОУ СОШ № 32 им. Л.В.Бобковой г.Севастополя

ПРЕДМЕТ: алгебра и начала анализа

УЧЕБНИК: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждения (базовый уровень) — М.:БИНОМ. Лаборатория знаний,2019

ТЕМА УРОКА: решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Образовательные: повторить, обобщить, систематизировать знания и навыки изображения решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств на числовой окружности; напомнить основные действия с точками числовой окружности, связанные с формулами решений простейших тригонометрических уравнений. Актуализировать знания учащихся по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

Развивающие : развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически излагать мысли, делать выводы, расширять кругозор.

Воспитательные: воспитание ответственности, активности, побуждению интереса к математике, самостоятельности, умение работать в коллективе.

ТИП УРОКА : урок повторения и обобщения.

ОБОРУДОВАНИЕ : доска, проектор, экран, компьютер

1.Организационный момент (обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению)

2. Постановка целей .

Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: « Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно ».(слайд 2)

Сегодня на уроке повторяем, приводим в систему наши знания по решению простейших тригонометрических уравнений. И ваша задача – показать свои знания и умения по их решению, рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений и неравенств; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения и неравенства разными способами

В начале урока мы вспомним основные понятия числовой окружности, расположение точек на числовой окружности и значения этих точек в декартовых координатах.

Далее работа будет чередоваться: вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений, и на их основе посмотрим как происходит выборка корней при решении заданий ЕГЭ в 13 задании. Вспомним виды тригонометрических уравнений и неравенств. Учитывая свои знания, умения и навыки, проведём проверочные работы, задания которой вам предлагаются на листах (приложение). Решение заданий выполняются на листах, в которых предлагаются задания для самостоятельного решения. Задания Части №1выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой и подсчётом баллов(за каждое верное задание выставляется 1 балл).

Задания второй части решаются учащимися самостоятельно. При этом двое учащихся решают на закрытых досках. Учащихся проверяют свои решения с решением, которые проецируются на экране, и вы выставляют себе соответствующее количество баллов.

3. Актуализация опорных знаний

()учащиеся отвечают устно, при правильном ответе ставят балл в бланке ответов – приложение)

1 Продолжить определение (слайд 3)

1. Числовой прямой называется …

2. Числовой окружностью называется…

3. Синусом называется…,

4 Знаки тригонометрических функций.

5. Тригонометрические уравнения – это … ( Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции .)

6. Корнем тригонометрического уравнения называется . ( Корнем тригонометрического уравнения называется такое значение входящего в него неизвестного аргумента, которое удовлетворяет этому уравнению)

Расставьте числа (слайд 4)

1 вариант: в порядке убывания: ; 3 _;2,5 ;

2 вариант : в порядке возрастания:; — ; _; ;-

2 вариант: — ; — ; -2; -;- ; —

3. Найдите значения 1 вариант 2 вариант

(слайд 6) sin (-π/3) cos (-π/4)

sin 3 π /4 cos 5 π /6

Ответы 1 вариант Ответы 2 вариант (слайд 7)

4 . (слайд 8 ) Найдите все числа, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки 1 вариант 2 вариант

1 вариант: (слайд 9) 2 вариант:

t ₄ =-п/2+2пп, пеZ (3п/2+2пп, пеZ) t ₄ =7п/6+2пп, пеZ

Учащиеся подводят итоги работы 1 части: за 17-16 баллов оценка «5», за 15-12 баллов оценка «4», за 11-8 баллов оценка «3».

IV Обобщение знаний .

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа. Один из таких способов — геометрический. Он основан на использовании двух моделей: тригонометрической окружности и числовой прямой. Тригонометрическая окружность удобна в случае, когда речь идет об отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2π, или если требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения. В остальных случаях предпочтение отдается — числовой прямой.

Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности.

Рассмотрим следующие примеры:

1.Изобразить на числовой окружности множество решений уравнения

sin x =/2(слайд 10)

Ответ: (1 балл)

2.Найти наименьший положительный корень sin 𝜋𝑥/ 2= 2/2. (слайд 11)

Решение: Для определения наименьшего положительного корня выбираем меньшее положительное значение 𝜋/ 4, тогда получаем

Ответ: 0,5 (2 балла)

3.На тригонометрическом круге найти корни уравнения sin 3 x =1, удовлетворяющих неравенству cos x 0.(слайд 12)

Решение: Значение sin x =1 при х = П/2 + 2 п п , п е Z

Значит 3х = П/2 + 2п п , п е Z ,

х= П/6 + 2п п/ 3, п е Z или

х= 30 0 +120 0 п, пе Z

По условию cos x 0, значит х== П/6 + 2п п, п е Z х= 3П/2 + 2п п , п е Z

Ответ: П/6 + 2п п, п е Z ; 3П/2 + 2п п , п е Z (2 балла)

Решить уравнение cos x cos 5 x =0.(слайд 13)

Решение:

(3 балла)

Найти все корни уравнения (2sinx+1)(2sinx-√3) =0, удовлетворяющие неравенству cos x ≥0 .(слайд 14)

Решение: Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Составим совокупность двух уравнений, решения системы отметим на числовой окружности. Каждому уравнению соответствуют две точки тригонометрической окружности. В ответ запишем точки, лежащие на дуге окружности при значении cos x ≥0.

(4 балла)

6. а) Решите уравнение .(слайд 15)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Выделим полный квадрат:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим

Ответ: а) б) (4 балла)

Ребята, сегодня повторили и систематизировали решения тригонометрических уравнений, используя различные методы решения и нахождения корней уравнений на числовой окружности.

Подведение итогов. В бланке ответов учащиеся подсчитывают набранные количество баллов за выполнение работы 2 части.

Итоги работы 2 части: за 16-15 баллов оценка «5», за 14-12 баллов оценка «4»,
за 11-8 баллов оценка «3».

Итоговая оценка за урок — среднее арифметическое оценок 1 и 2 части работы.

Решить уравнение 2 cos x = -1. В ответе укажите корень, принадлежащий промежутку [ ]

Найдите наименьший положительный корень 2sin 2х=√3.

Решите уравнение

Всем спасибо. Урок окончен. До свидания!