Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств презентация

Решение тригонометрических уравнений и неравенств(подготовка к ЕГЭ)
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Рассмотрены способы решения тригонометрических уравнений и неравенств

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

№ Уравнения № метода Методы 1 Sin x/3 — cos 6x = 2 4(б) 1.Разложение на множители. 2.Введение новой переменной: а) сведение к квадратному; б) универсальная подстановка; в) введение вспомогательного аргумента. 3. Сведение к однородному уравнению. 4. Использование свойств функций, входящих в уравнение: а) обращение к условию равенства тригонометрических функций; б) использование свойства ограниченности функции. 2 3 4 5 sinx – 2 cosx = 1 3, 2(б,в) 5 sin3x cos2x = 1 4(б) 6 cos2x = (cos x – sin x ) 1,2(б,в),3 7 1 – sin2x = cos x – sin x 1,2(б,в)3 8 cos3x = sin x 4(а) 9 4 – cos 2 x = 4 sin x 2(а) 10 sin3x – sin5x = 0 4(б) 11 tg 3x tg(5x +  /3) = 1 4(а) 12 2 tg x/2 — cos x = 2 1,2(а,б,в),3,4(а)

1. Какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете? 2. Определите и ответьте, какими методами нужно решать данные тригонометрические уравнения? а ) sin 2x – cos x = 0 б ) 2sin²x — 5sinx = -3 в ) cos²x – sin²x = sinx – cosx г ) sin2 x – 3sinx cosx + 2cos²x = 0 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения:

Некоторые типы тригонометрических уравнений . Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно cos х = t , sin х = t . A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0 Решаются методом введения новой переменной. 2.Однородные уравнения первой и второй степени. I степени . A sinx + B cosx = 0 : cosx A tg x + B = 0 II степени . A sin 2 x + B sinx cosx + A cos 2 x = 0 : cos 2 x A tg 2 x + B tgx + C = 0 Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной . 3. Уравнение вида: А sinx + B cosx = C . А, В, С  0 Применимы все методы.

4. Понижение степени. А cos 2 x + В = C . A cos2x + B = C. Решаются методом разложения на множители. A sin2x + B = C. A sin2x + B = C. Сводятся к однородным уравнениям С = С( ).

Формулы . a cosx + b sinx заменим на C sin ( x +  ), где sin  = cos  =  — вспомогательный аргумент. Универсальная подстановка. х   + 2  n ; Проверка обязательна! Понижение степени. = (1 + cos2x ) : 2 = (1 – cos 2x) : 2 Метод вспомогательного аргумента.

Сведение к однородному. sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. Пример. 5 sin 2 x + Разложение на множители. Пример. — 2 cosx = 4 sinx — sin 2 x A sin2x + B sin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C. Уравнения вида

1.Потеря корней: делим на g (х). опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями мы сужаем область определения. 2. Лишние корни: возводим в четную степень. умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями мы расширяем область определения. Проблемы ,возникающие при решении тригонометрических уравнений

Уравнение . Уравнение . Поделив уравнение на , получим , , При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на . Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения следует, что . Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством . Следовательно, при делении уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.

, x = y + . Решить уравнение cos²x + sinx cosx = 0 1) Делить на cosx нельзя, так как в условии не указано , что cosx не равен нулю. Но можно утверждать, что sinx не равен нулю, так как в противном случае cosx равен 0, что невозможно , так как sin²x-cos²x =1. Значит можно разделить на sin²x . 2) Решим уравнение разложением на множители: cos²x + sinx cosx = 0 , с osx ( cosx + sinx ) = 0 , с osx = 0 или cosx + sinx = 0, tg x=-1,

Уравнения, линейные относительно sin x и cos x а sin x + в cos x = с. Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл; Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество. Рассмотрим случаи, когда а , в , с не равны 0. Примеры: 3 sin 5x — 4 cos 5x = 2 2 sin 3x + 5 cos 3x = 8. Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7. Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tg х ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими. Решение этих уравнений существует при

Данное уравнение является уравнением вида , (1) где , , , которое можно решить другим способом. Разделим обе части этого уравнения на : . (2) Введем вспомогательный аргумент , такой, что . Такое число существует, так как . Таким образом, уравнение можно записать в виде . Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.

Уравнение . Используя формулы sin x = 2 sin cos , cos x = cos 2 — sin 2 и записывая правую часть уравнения в виде , получаем Поделив это уравнение на , получим равносильное уравнение Обозначая , получаем , откуда . 1) 2) Ответ: . 0 2 cos 2 cos 2 sin 4 2 sin 3 2 2    x x x x

4 sin ²x – 4sinx – 3 = 0 2cos²x – sinx – 1 = 0

4 sin ²x — 4 sinx – 3 = 0 ( -1) n+1 П /6 + П n, n Z. 2 с os²x – sin x – 1 = 0 ± П /6 + П n ; -П /2+2 П n, n Z.

Решить уравнение Здесь Поделим обе части уравнения на 5: Введем вспомогательный аргумент , такой, что , . Исходное уравнение можно записать в виде , , откуда Ответ:

1 ctg x 1 tg x cos x sin x = 60 ° =45 ° =30 °

— 0 — 0 — ctg x 0 — 0 — 0 tg x 1 0 -1 0 1 cos x 0 -1 0 1 0 sin x =360 ° =270 ° =180 ° = 90 ° 0 ° А

Решение простейших тригонометрических неравенств. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемНикита Грызлов

Похожие презентации

Презентация на тему: » Решение простейших тригонометрических неравенств.» — Транскрипт:

1 Решение простейших тригонометрических неравенств

2 Все сложные тригонометрические неравенства решаются с помощью тех же алгоритмов, что и тригонометрические уравнения, но в самом конце приходится решать простейшие тригонометрические неравенства. Все простейшие тригонометрические неравенства решаются одним и тем же способом: 1. Выделяем на единичной окружности дугу, координаты точек которой удовлетворяют нашему неравенству. 2. Определяем начальную точку движения по этой дуге, исходя из того, что мы «умеем» двигаться только в положительном направлении, то есть против часовой стрелки (от меньшего числа к большему) 3. Двигаясь по выделенной дуге в положительном направлении, определяем конечную точку движения. 4. После того, как мы определили начальную и конечную точку движения по дуге, записываем решение неравенства и ответ.

3 x y 1 1 π 6 π 4 π 3 π 2 2π2π 3 3π3π 4 5π5π 6 π 0 5π5π 4 7π7π 6 4π4π 3 3π3π 2 7π7π 4 5π5π 3 11π 6 ̶ 3π 2 ̶ 5π 3 ̶ 7π 4 ̶ 11π 6 ̶ 2π ̶ π 6 ̶ π 4 ̶ π 3 ̶ π 2 ̶ 2π 3 ̶ 3π 4 ̶ 5π 6 ̶ π ̶ 7π 6 ̶ 5π 4 ̶ 4π 3 2π2π ̶ + Числа на единичной окружности, которые могут участвовать в записи решения неравенства

a a Выделить дугу окружности, соответствующую знаку сравнения (обход — строго против часовой с» title=»Алгоритм решения неравенства sin x a Изобразить единичную окружность, отметить число у = a (sinα = y) y х 0 a Провести прямую у = a y х 0 sin x a a Выделить дугу окружности, соответствующую знаку сравнения (обход — строго против часовой с» > 4 Алгоритм решения неравенства sin x a Изобразить единичную окружность, отметить число у = a (sinα = y) y х 0 a Провести прямую у = a y х 0 sin x a a Выделить дугу окружности, соответствующую знаку сравнения (обход — строго против часовой стрелки). Записать числовые значения граничных точек дуги. Учитывая, что начало дуги – меньшее значение. х 2 х 1 х 2 Записать решение неравенства х 1 + 2πn a a Выделить дугу окружности, соответствующую знаку сравнения (обход — строго против часовой с»> a a Выделить дугу окружности, соответствующую знаку сравнения (обход — строго против часовой стрелки). Записать числовые значения граничных точек дуги. Учитывая, что начало дуги – меньшее значение. х 2 х 1 х 2 Записать решение неравенства х 1 + 2πn a a Выделить дугу окружности, соответствующую знаку сравнения (обход — строго против часовой с» title=»Алгоритм решения неравенства sin x a Изобразить единичную окружность, отметить число у = a (sinα = y) y х 0 a Провести прямую у = a y х 0 sin x a a Выделить дугу окружности, соответствующую знаку сравнения (обход — строго против часовой с»>

5 1. На оси Оу отмечаем значение 2. Выделяем нижнюю часть окружности (обход — строго против часовой стрелки). 3. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение 4. Записываем решение: О и проводим прямую у = sin x 0,7

0,5 0,5 π ̸ 6 5π ̸ 6 1 x y 0″ title=»sin x > 0,5 0,5 π ̸ 6 5π ̸ 6 1 x y 0″ > 6 sin x > 0,5 0,5 π ̸ 6 5π ̸ 6 1 x y 0 0,5 0,5 π ̸ 6 5π ̸ 6 1 x y 0″> 0,5 0,5 π ̸ 6 5π ̸ 6 1 x y 0″> 0,5 0,5 π ̸ 6 5π ̸ 6 1 x y 0″ title=»sin x > 0,5 0,5 π ̸ 6 5π ̸ 6 1 x y 0″>

7 1. На Оу отмечаем значение и проводим прямую у = 2. Выделяем верхнюю часть окружности (обход — строго против часовой стрелки). 3. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. 4. Записываем решение: О sin x — 0,8

— 1,3 x y 1 — 1,3 0″ title=»sin x > — 1,3 x y 1 — 1,3 0″ > 8 sin x > — 1,3 x y 1 — 1,3 0 — 1,3 x y 1 — 1,3 0″> — 1,3 x y 1 — 1,3 0″> — 1,3 x y 1 — 1,3 0″ title=»sin x > — 1,3 x y 1 — 1,3 0″>

9 sinx 0,4 0 x y x 1 = π ̶ arcsin 0,4 0,4 x2x2 x1x1 1 x 2 = 2 π + arcsin 0,4 x [ π ̶ arcsin 0,4 + 2πk; 2 π + arcsin 0,4 +2πk], kZ t 0 = arcsin 0,4 π 2π2π sin x 0,4 x 1 + 2πk x x 2 + 2πk, kZ

a или cos x a cos x a или cos x a cos x 10 Алгоритм решения неравенства cos x > a или cos x a cos x a или cos x a cos x a или cos x a cos x a или cos x a cos x a или cos x a cos x

11 1. На Ох отмечаем значение и проводим прямую х = 2. Выделяем правую часть окружности (обход — строго против часовой стрелки). 3. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. 4. Записываем решение: О cos x — 0,7

12 1. На Оx отмечаем значение и проводим прямую х = 2. Выделяем левую часть окружности (обход — строго против часовой стрелки). 3. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. 4. Записываем решение: О cos x 0,5

14 cos x 0 x y 1 0

15 а x y 1 0 Алгоритм решения неравенства tg x a Изобразить единичную окружность и провести линию тангенсов Показать точки, в которых не определён тангенс На линии тангенсов отметить число a и провести луч через эту точку и центр окружности Выделить нижнюю часть линии тангенсов, поскольку решаем неравенство со знаком Выделить соответствующие дуги окружности (обход совершаем против часовой стрелки) Подписать полученные точки на одной из дуг (вторая получается из неё: к концам +π). Учесть, что начало дуги – меньшее значение х 1 х 2 Записать решение неравенства х 1 + πn

16 tg x 1 x 1 y 1 0

17 5. Записываем решение: 1. На линии тангенсов отмечаем 2. Выделяем нижнюю часть линии тангенсов, поскольку решаем неравенство со знаком. 3. Выделяем соответствующую часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). 4. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение проводим луч через эту точку и центр окружности О tg x 1,7

18 5. Записываем решение: 1. На линии тангенсов отмечаем значение 1 2. Выделяем верхнюю часть линии тангенсов, поскольку решаем неравенство со знаком. 3. Выделяем соответствующую часть окружности (обход — строго против часовой стрелки). 4. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение 1 проводим луч через эту точку и центр окружности О tg x 1

Презентация по алгебре и началам математического анализа в 10 классе на тему «Решение простейших тригонометрических неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение простейших тригонометрических неравенств

Решение простейших тригонометрических неравенств. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в аргументе тригонометрической функции.

Решение простейших тригонометрических неравенств. 0 sin x cos x a

Решение простейших тригонометрических неравенств. 0 sin x cos x a

1. На Оу отмечаем значение и соответствующие точки на окружности 2. Выделяем нижнюю часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). 3. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. 4. Ответ: kZ Пример

Решение простейших тригонометрических неравенств. 0 sin x cos x a

Решение простейших тригонометрических неравенств. 0 sin x cos x a

Пример * 1. На Оу отмечаем значение и соответствующие точки на окружности 2. Выделяем верхнюю часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). 3. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. 4. Ответ: kZ

Пример 1. На Ох отмечаем значение и соответствующие точки на окружности 2. Выделяем правую часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). 3. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. 4. Ответ: kZ

Пример kZ 1. На Ох отмечаем значение и соответствующие точки на окружности 2. Выделяем левую часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). 3. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. 4. Ответ:

Решение простейших тригонометрических неравенств. 0 sin x cos x a tg x

Решение простейших тригонометрических неравенств. 0 sin x cos x a tg x

kZ 5. Ответ: 1. На линии тангенсов отмечаем значение 2. Выделяем нижнюю часть линии тангенсов, поскольку решаем неравенство со знаком ≤ 3. Выделяем соответствующую часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). 4. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. Пример

Пример kZ 5. Ответ: 1. На линии тангенсов отмечаем значение 2. Выделяем верхнюю часть линии тангенсов, поскольку решаем неравенство со знаком ≥ 3. Выделяем соответствующую часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). 4. Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение.

Решение простейших тригонометрических неравенств. 0 sin x cos x a сtg x

Решение простейших тригонометрических неравенств. 0 sin x cos x a сtg x

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 595 048 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 13.04.2020
• 166
• 3

• 13.04.2020
• 340
• 15

• 13.04.2020
• 127
• 0

• 13.04.2020
• 110
• 1

• 13.04.2020
• 467
• 15

• 13.04.2020
• 149
• 4

• 13.04.2020
• 300
• 10

• 13.04.2020
• 117
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.04.2020 4106
• PPTX 686.5 кбайт
• 1008 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Филиппова Татьяна Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 143742
• Всего материалов: 293

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.