Решение простейших тригонометрических уравнений и систем уравнений

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

учреждений. Базовый и

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Задача 1 . Решите систему уравнений

Из первого уравнения находим и подставляем во второе.

Получаем

Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случае имеем

Тогда, например, при n = 0 получаем

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:

Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.

Поэтому следует запомнить:

Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».

Задача 2 . Решите систему уравнений

Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Вопросы для контроля

1. Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
2. Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

Упражнения

Решите систему уравнений (1–8).

Решение простейших тригонометрических уравнений и систем уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Решение систем тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений бесконечно разнообразны. При их решении используются как общие методы: подстановки, сложения, замены переменной, так и частные, связанные с особенностями преобразований тригонометрических функций.
В этом параграфе мы рассмотрим только некоторые, наиболее характерные, подходы к решению таких систем.

п.1. Системы, в которых одно из уравнений является линейным

Если одно из уравнений системы является линейным, то система решается методом подстановки.

Например:
Решим систему \( \begin x+y=\frac\pi4\\ tgx+tgy=1 \end \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\frac\pi4-x\\ tgx+tg\left(\frac\pi4-x\right)=1 \end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin tgx+\frac<1+tg\frac\pi4\cdot tgx>=1\Rightarrow \frac<1-tgx><1+tgx>=1-tgx \end ОДЗ: \(tgx\ne -1\) \begin 1-tgx=(1-tgx)(1+tgx)\Rightarrow(1-tgx)(1-1-tgx)=0\\ -tgx(1-tgx)=0\\ \begin \left[ \begin tgx=0\\ tgx=1 \end \right. \\ tgx\ne -1 \end \Rightarrow \left[ \begin tgx=0\\ tgx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=\pi k\\ x_2=\frac\pi4+\pi k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x_1=\pi k\\ y_1=\frac\pi4-x=\frac\pi4-\pi k \end \\ \begin x_2=\frac\pi4+\pi k\\ y_2=\frac\pi4-\left(\frac\pi4+\pi k\right)=-\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\pi k;\ \frac\pi4-\pi k\right),\ \left(\frac\pi4+\pi k;\ -\pi k\right)\right\>\)

п.2. Системы с независимыми уравнениями

Если уравнения системы являются независимыми, то они решаются по отдельности. При этом счетчики периодов обязательно должны быть различными (например, \(k\) и \(n\), для двух независимых уравнений).

Например:
Решим систему \( \begin sin(x-y)=0\\ cox(x+y)=1 \end \)
Уравнения независимы, решаем каждое из них, а затем методом сложения находим \(x\) и \(y\): \begin \begin x-y=\pi k\\ x+y=2\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\pi k+2\pi n\\ 2y=2\pi n-\pi k \end \Rightarrow \begin x=\frac<\pi k><2>+\pi n=\frac\pi2(k+2n)=\frac\pi2(2n+k)\\ y=\pi n-\frac<\pi k><2>=\frac\pi2(2n-k) \end \end Ответ: \(\left(\frac\pi2(2n+k);\ \frac\pi2(2n-k)\right)\)

п.3. Системы с произведениями тригонометрических функций

Системы с произведениями тригонометрических функций и приводимые к ним решаются методом сложения.

Например:
Решим систему \( \begin sinx siny=\frac<\sqrt<3>><4>\\ cosx cosy=\frac<\sqrt<3>> <4>\end \)
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы косинуса суммы и разности: \begin \begin cosxcosy+sinxsiny=\frac<\sqrt<3>><2>\\ cosxcosy-sinxsiny=0 \end \Rightarrow \begin cos(x-y)=\frac<\sqrt<3>><2>\\ cos(x+y)=0 \end \end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin \begin x-y=\pm\frac\pi6+2\pi k\\ x+y=\frac\pi2+\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\pm\frac\pi6+\frac\pi2+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2\pm\frac\pi6+\pi(n-2k) \end \Rightarrow \begin x=\pm\frac<\pi><12>+\frac\pi4+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4\pm\frac<\pi><12>+\frac\pi2(n-2k) \end \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x_1=\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n)\\ y_1=\frac\pi3+\frac\pi2(n-2k) \end \\ \begin x_2=\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n)\\ y_2=\frac\pi6+\frac\pi2(n-2k) \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi3+\frac\pi2(n-2k)\right),\ \left(\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi6+\frac\pi2(n-2k)\right)\right\>\)

п.4. Замена переменных в системах тригонометрических уравнений

Системы двух уравнений с двумя тригонометрическими функциями легко решаются с помощью замены переменных.

Например:
Решим систему \( \begin tgx-siny=4\\ tg^2x+sin^2y=26 \end \)
Замена переменных: \(a=tgx,\ b=siny\) \begin \begin a-b=4\\ a^2+b^2=26 \end \Rightarrow \begin a=b+4\\ (b+4)^2+b^2=26 \end \Rightarrow \begin a=b+4\\ 2b^2+8b-10=0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin a=b+4\\ b^2+4b-5=0 \end \Rightarrow \begin a=b+4\\ (b+5)(b-1)=0 \end \Rightarrow \left[ \begin \begin a=-1\\ b=-5 \end \\ \begin a=5\\ b=1 \end \end \right. \end Переменная \(b=siny\) ограничена: \(-1\leq b\leq 1\).
\(b=-5\lt-1\) не подходит. Остается вторая пара решений: \(\begin a=5\\ b=1 \end \)
Возвращаемся к исходным переменным: \begin \begin tgx=5\\ siny=1 \end \Rightarrow \begin x=arctg5+\pi k\\ y=\frac\pi2+2\pi n \end \end Ответ: \(\left(arctg5+\pi k;\ \frac\pi2+2\pi n\right)\)

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений: a) \( \begin x+y=\pi\\ sinx+siny=\sqrt <3>\end \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\pi-x\\ sinx+sin(\pi-x)=\sqrt <3>\end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin sinx+sinx=\sqrt<3>\Rightarrow 2sinx=\sqrt<3>\Rightarrow sinx=\frac<\sqrt<3>><2>\Rightarrow\\ \Rightarrow x=(-1)^k\frac\pi3+\pi k= \left[ \begin \frac\pi3+2\pi k\\ \frac<2\pi><3>+2\pi k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x=\frac\pi3+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac\pi3-2\pi k=\frac<2\pi><3>-2\pi k \end \\ \begin x=\frac<2\pi><3>+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac<2\pi><3>-2\pi k=\frac\pi3-2\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac\pi3+2\pi k;\ \frac<2\pi><3>-2\pi k\right),\ \left(\frac<2\pi><3>+2\pi k;\ \frac\pi3-2\pi k\right)\right\>\)

б) \( \begin sinxcosy=\frac34\\ cosxsiny=\frac14 \end \)
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы синуса суммы и разности: \begin \begin sinxcosy+cosxsiny=1\\ sinxcosy-cosxsiny\frac12 \end \Rightarrow \begin sin(x+y)=1\\ sin(x-y)=\frac12 \end \end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin \begin x+y=\frac\pi2+2\pi k\\ x-y=(-1)^n\frac\pi6=\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\frac\pi2+(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2-(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k-n) \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x=\frac\pi4+(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4-(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k-n) \end \end Ответ: \(\left(\frac\pi4+(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi4-(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k-n)\right)\)

в) \( \begin cos\frac<2>cos\frac<2>=\frac12\\ cosxcosy=\frac14 \end \)
Используем формулу произведения косинусов: $$ cosxcosy=\frac12(cos(x+y)+cos(x-y)) $$ Получаем: \begin cos\frac<2>cos\frac<2>=\frac12\left(cos\left(\frac<2>+\frac<2>\right)+cos\left(\frac<2>-\frac<2>\right)\right)=\\ =\frac12(cosx+cosy)\\ \begin \frac12(cosx+cosy)=\frac12\\ cosxcosy=\frac14 \end \Rightarrow \begin cosx+cosy=1\\ cosxcosy=\frac14 \end \end Замена переменных: \(a=cosx,\ b=cosy\) \begin \begin a+b=1\\ ab=\frac14 \end \Rightarrow \begin a=1-b\\ (1-b)b=\frac14 \end \Rightarrow \begin a=1-b\\ b^2-b+\frac14=0 \end \Rightarrow \begin a=1-b\\ \left(b-\frac12\right)^2=0 \end \Rightarrow \begin a=\frac12\\ b=\frac12 \end \end Возвращаемся к исходным переменным: \begin \begin cosx=\frac12\\ cosy=\frac12 \end \Rightarrow \begin x=\pm\frac\pi3+2\pi k\\ y=\pm\frac\pi3+2\pi n \end \end Получаем четыре пары решений.
Ответ: \( \left\< \begin \left(-\frac\pi3+2\pi k;\ -\frac\pi3+2\pi n\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi k;\ \frac\pi3+2\pi n\right),\\ \left(-\frac\pi3+2\pi k;\ \frac\pi3+2\pi n\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi k;\ -\frac\pi3+2\pi n\right) \end \right\> \)

г) \( \begin x+y=\frac23\\ 2cos(\pi x)+4cos(\pi y)=3 \end \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\frac23-x\\ 2cos(\pi x)+4cos\left(\pi\left(\frac23-x\right)\right)=3 \end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin 2cos(\pi x)+4cos\left(\frac<2\pi><3>-\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)+4\left(cos\frac<2\pi><3>cos\pi x+sin\frac<2\pi><3>sin\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)+\left(\left(-\frac12\right)cos\pi x+\frac<\sqrt<3>><2>sin\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)-2cos(\pi x)+2\sqrt<3>sin\pi x=3\\ sin\pi x=\frac<\sqrt<3>><2>\Rightarrow \pi x= \left[ \begin \frac\pi3+2\pi k\\ \frac<2\pi><3>+2\pi k \end \right. \Rightarrow x= \left[ \begin \frac13+2k\\ \frac23+2k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x=\frac13+2k\\ y=\frac23-x=\frac13-2k \end \\ \begin x=\frac23+2k\\ y=-2k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac13+2k;\ \frac13-2k\right),\ \left(\frac23+2k;\ -2k\right)\right\>\)

Пример 2*. Решите систему уравнений:
a) \( \begin \sqrtcosx=0\\ 2sin^2x-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0 \end \)
Первое уравнение является независимым. Решаем его, чтобы найти \(x\): \begin \begin \left[ \begin cos2x=0\\ cosx=0 \end \right.\\ cos2x\geq 0 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin 2x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right.\\ -\frac\pi2+2\pi k\leq 2x\leq\frac\pi2+2\pi k \end \Rightarrow \begin \left[ \begin x=\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right.\\ -\frac\pi4+\pi k\leq x\leq\frac\pi4+\pi k \end \end

Семейство решений \(x=\frac\pi2+\pi k\) не подходит по требованию ОДЗ (закрашенные сектора). Остается только: \begin x=\frac\pi4+\frac<\pi k> <2>\end

Подставляем полученный \(x\) во второе уравнение: \begin 2sin^2\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\right)-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0 \end Используем формулу понижения степени: \(2sin^2x=1-cos2x\) \begin 2sin^2\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\right)=1-cos\left(2\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\right)\right)=1-\underbrace_<=0>=1 \end Получаем: \begin 1-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0\Rightarrow cos\left(2y-\frac\pi3\right)=1\Rightarrow 2y-\frac\pi3=2\pi n\Rightarrow\\ \Rightarrow 2y=\frac\pi3+2\pi n\Rightarrow y=\frac\pi6+\pi n \end Ответ: \(\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>;\ \frac\pi6+\pi n\right)\)

б) \( \begin tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>cos^3y\\ tg\left(\frac\pi4-x\right)=2\sqrt<2>sin^3y \end \)
Рассмотрим произведение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)\cdot tg\left(\frac\pi4-x\right)=\frac<1+tgx><1-tgx>\cdot \frac<1-tgx><1+tgx>=1 $$ Умножим уравнения и получим: \begin 1=8cos^3ysin^3y=(2cosysiny)^3=sin^32y\Rightarrow sin2y=1\Rightarrow 2y=\frac\pi2+2\pi k\\ y=\frac\pi4+\pi k \end Поставляем полученный y в первое уравнение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>cos^3\left(\frac\pi4+\pi k\right) $$ Косинус равен ±1, в зависимости от четверти, в которой находится угол \(y\): \begin cos\left(\frac\pi4+\pi k\right)= \left[ \begin \frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y=\frac<\pi><4>+2\pi k\\ -\frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y=\frac<5\pi><4>+2\pi k \end \right. \end В первом случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>\cdot\left(\frac<\sqrt<2>><2>\right)^3=1\Rightarrow\frac\pi4+x=\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=\pi n $$ Во втором случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>\cdot\left(-\frac<\sqrt<2>><2>\right)^3=-1\Rightarrow\frac\pi4+x=-\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=-\frac\pi2+\pi n $$ Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x=\pi n\\ y=\frac\pi4+2\pi k \end \\ \begin x=-\frac\pi2+\pi n\\ y=\frac<5\pi><4>+2\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\pi n;\ \frac\pi4+2\pi k\right),\ \left(-\frac\pi2+\pi n;\ \frac<5\pi><4>+2\pi k\right)\right\>\)

в) \begin \begin \sqrt<1+sinxsiny>=cosx\\ 2sinxctgy+1=0 \end \end ОДЗ: \( \begin 1+sinxsiny\geq 0\\ cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end \Rightarrow \begin cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end \)
\(1+sinxsiny\geq 0\) — это требование всегда выполняется.
Возведем первое уравнение в квадрат: \begin 1+sinxsiny=cos^2x\Rightarrow 1-cos^2x+sinxsiny=0\Rightarrow\\ \Rightarrow sin^2x+sinxsiny=0\Rightarrow sinx(sinx+siny)=0\Rightarrow \left[ \begin sinx=0\\ sinx+siny=0 \end \right. \end Из второго уравнения следует, что \(sinx=0\) никогда не является решением \((0+1\ne 0)\). Значит, остается \(sinx+siny=0\) \begin \begin sinx+siny=0\\ 2sinxctgy+1=0 \end \Rightarrow \begin siny=-sinx\\ ctgy=-\frac<1> <2sinx>\end \Rightarrow cosy=siny\cdot ctgy=\frac12\Rightarrow\\ \Rightarrow y=\pm arccos\frac12+2\pi k=\pm\frac\pi3+2\pi k\\ sinx=-siny\Rightarrow \left[ \begin x=y+\pi=\pi\pm\frac\pi3+2\pi n= \left[ \begin \frac<4\pi><3>+2\pi n\\ \frac<2\pi><3>+2\pi n \end \right. \\ x=-y=\pm\frac\pi3+2\pi n \end \right. \end По ОДЗ \(cosx\geq 0\), подходят только нижние корни.
Получаем две пары решений.
Ответ: \(\left\<\left(-\frac\pi3+2\pi n;\ \frac\pi3+2\pi k\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi n;\ -\frac\pi3+2\pi k\right)\right\>\)