Решение простейших тригонометрических уравнений с параметром

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №48. Тригонометрические уравнения с параметром.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Тригонометрическое уравнение с параметром;

2) Решение тригонометрического уравнения с параметром;

3) Значения параметра, при котором простейшее тригонометрическое неравенство имеет решение.

Глоссарий по теме:

Если некоторое уравнение F(x, a)=0 требуется решить относительно переменной х, то а называется параметром, а это уравнение называется уравнением с параметром а относительно переменной х.

Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 464 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Если некоторое уравнение F(x, a)=0 требуется решить относительно переменной х, то а называется параметром, то это уравнение называется уравнением с параметром а относительно переменной икс.

Простейшим примером уравнения с параметром является такое: .

Если требуется решить такое уравнение, то ответ мы должны записать так:

1) при |a|>1 уравнение решений не имеет

3) при 0 1 уравнение решений не имеет

2) при

).

2. Рассмотрим решение более сложных тригонометрических уравнений с параметрами.

Решите уравнение с переменной х и параметром а:

Решение: рассмотрим это уравнение как квадратное относительно и введем новую переменную: , .

Его дискриминант:

Очевидно, что если , то есть , то вспомогательное уравнение и исходное уравнение решений не имеют.

Если , то вспомогательное уравнение имеет один корень: . Это удовлетворяет условию , поэтому при .

.

Если , то вспомогательное уравнение имеет два корня. Но для того чтобы исходное уравнение имело корни, нужно чтобы .

Так как вершина параболы находится в точке , то для того чтобы вспомогательное уравнение имело на отрезке [-1; 1] одно решение, нужно, чтобы выполнялось условие: ,

где .

, .

То есть одно решение на отрезке [-1; 1] вспомогательное уравнение будет иметь при , причем это больший корень вспомогательного уравнения:

, , .

два решения на отрезке [-1; 1] вспомогательное уравнение будет иметь при

.

.

1) при решений нет

2) при .

3) при .

4) при .

Если в этом примере требуется найти наибольшее значение параметра, при котором уравнение имеет решение, то ответ будет 3. Если требуется найти, например, наименьшее целое решение, то ответ будет 0.

Решим относительно переменной x уравнение:

Преобразуем исходное уравнение:

Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно . Введем новую переменную .

Рассмотрим вспомогательное уравнение.

.

Его дискриминант:

Видно, что это уравнение имеет решение только при a=0. При остальных значениях параметра уравнение решений не имеет.

Проверим, дает ли полученное решение вспомогательного уравнения решение исходного уравнения.

Если a=0,то .

Отсюда .

Ответ: 1) при ,

2) при решений нет.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. При каком наибольшем значении параметра уравнение имеет решение

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно .

Найдем его дискриминант:

Видно, что вспомогательное уравнение всегда имеет решение.

Но , поэтому нужно выяснить, при каком значении параметра t корни уравнения попадают в отрезок [0; 1].

Так как старший коэффициент этого уравнения положителен, то для того чтобы хотя бы один корень уравнения (функции f(p)) попал в отрезок [0; 1], нужно, чтобы выполнялось одно из неравенств: .

, . Наибольшее значение 0.

2. Найдите наименьшее положительно значение параметра, при котором решением неравенства является любое действительное число.

Неравенство всегда верно, то есть выполнено при любых значениях переменной. Значит, данное неравенство будет всегда верно, если , то есть , .

Наименьшее положительное значение параметра .

Проектная работа по теме Решение тригонометрических уравнений с параметрами
проект по алгебре (11 класс) по теме

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования (повышения квалификации)

специалистов Московской области

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математических дисциплин

Особенности методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс средней (полной) школы

Решение тригонометрических уравнений с параметрами

МБОУ СОШ №28 г. Мытищи

Алышова Наталья Сергеевна

Сергиев-Посад, 2012 год

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

По итогам ЕГЭ-2011 (таблица 1) можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшую трудность у учащихся. Около 87,9% не приступают к выполнению данного типа заданий, а максимальный балл получают только 0,87 %. Это связано с тем, что программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам найти время на уроке для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Не приступали (в %)

Приступили, но получили 0 баллов

Положительный результат (в %)

Таблица 1. Средние результаты выполнения заданий С1-С6

Все рассмотренные задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о тригонометрических уравнениях с параметрами, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, — степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это, конечно, возможно: разложить рациональное выражение на множители; разложить тригонометрический многочлен на множители; избавиться от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.

Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений

Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассмативаются тригонометрические уравнения с параметрами и определенные алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелегких заданий.

Итак, рассмотрим уравнение

F ( х, у, . z; α,β, . γ ) = 0 (F)

с неизвестными х, у, . z и с параметрами α,β, . γ ; при всякой допустимой системе значений параметров α 0 ,β 0 , . γ 0 уравнение (F) обращается в уравнение F(х, у, . z; α 0 ,β 0 , . γ 0 ) = 0 ( F 0 )

с неизвестными х, у. z, не содержащее параметров. Уравнение ( Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти

множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащему параметры, и устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, . z; α,β, . γ) = 0 ( F ), Ф (х, у, . z; α,β, . γ) = 0 ( Ф )

с неизвестным х, у. z и с параметрами α,β, . γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений

параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами

Пример 1. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Введем новую переменную: x, t . Тогда данное уравнение принимает вид: t 2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.

Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение

Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

0 ≤ а +3 ≤ 1, -3 ≤ а ≤ -2.

Ответ. Уравнение имеет решение при а .

Пример 2. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра р, при которых уравнение

6sin 3 x = p – 10cos2x не имеет корней.

6sin 3 x = p – 10cos2x ;

6sin 3 x + 10cos2x = p;

6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p;

6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = p.

Введем новую переменную: , t тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t 3 – 20t 2 + 10 = p.

Рассмотрим функцию у = 6t 3 – 20t 2 + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Определяем критические точки функции:

Число 2 не принадлежит промежутку , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 на отрезке .

Значит, при р исходное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение 6sin 3 x=p–10Cos2x не имеет корней при р

Пример 3. (Введение дополнительных переменных, )

При каких значениях параметра а выражение 2 + cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х?

Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 не имеет корней.

2(cos 2 x + sin 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 – однородное уравнение второй степени.

Если бы cosx = 0, то и sinx = 0, что невозможно, так как cos 2 x + sin 2 х = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на .

Получим уравнение вида 2tg 2 x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную: t = tgx, t тогда 2t 2 + at + 5 = 0.

Далее можно проводить рассуждения двумя способами.

Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до R и будет искомым ответом.

Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

D = а 2 – 40, а 2 – 40 ≥ 0, а 2 ≥ 40,

Дополнением этого множества до R является промежуток (-2

Способ 2. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда D

D = a 2 – 40, a 2 – 40 а 2 40,

Ответ. Выражение 2+cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х, если a ; ).

Пример 4. (Функция задана в виде )

При каких значениях a и b уравнение

имеет единственное решение?

Решение задачи основывается на том факте, что если функция f задана равенством , то условия A=B, C=0 являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнение f(x)=0 имело единственное решение. Таким образом, решение задачи сводится к решению относительно параметров a и b системы:

Из первого уравнения системы находим, что

то приходим к рассмотрению систем

Как легко видеть, решениями второй системы являются все значения параметра а, определяемые равенством

Что же касается первой системы, то она оказывается несовместной. Отсюда с учетом второго уравнения системы поиск требуемых параметров a и b сводится к поиску решений системы:

Ответ здесь очевиден:

Пример 5. (Применение классических формул)

Найти наибольшее целое значение параметра а , при котором уравнение

cos2x + asinx = 2 a – 7 имеет решение.

Преобразуем заданное уравнение:

cos2x + a sinx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 х + asinx = 2 a – 7;

sin 2 х — a sinx + a – 4 = 0;

Решение уравнения
дает:

Решений нет, или .

Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Пример 6. Применение классических формул

Уравнение легко преобразуется к виду:

Если то и уравнение корней не имеет.

Если Последнее уравнение имеет корни, если

Пример 7. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

При уравнение решений не имеет.

Пример 8. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Если то x – любое число, так как имеем очевидное равенство

Пример 9. (Вспомогательные преобразования)

Выполняем очевидные преобразования:

Последнее уравнение будет иметь решение если

Пример 10. (Графический метод)

Найти все значения а, при которых каждое из уравнений

и имеет хотя бы один корень.

Посмотрим сначала когда первое уравнение имеет корни. С учетом области значений косинуса выражение под корнем всегда положительное. Получаем:

А вот здесь сейчас будет интересно. Казалось бы, все прекрасно, возводим в квадрат и вперед, по стандартной схеме исследуем корни квадратного уравнения. Но не все так просто. Поскольку на наличие корней будет влиять знак произведения, стоящего в правой части.

Можно очень легко выкрутиться из этой ситуации без рассмотрения большого числа случаев. Как всегда на помощь приходят графики.

Рассмотрим функции . Точка пересечения этих графиков должна попасть в отрезок [-1;1] поскольку .

Точка пересечения для возрастающей прямой для убывающей . Не составляет большого труда увидеть, что точка пересечения будет в промежутке от -1 до 1, если

Теперь займемся вторым уравнением. Здесь все проще.

Функция, стоящая в правой части достигает своего наименьшего значения -10 в точке . График функции в левой части представляет собой «перевернутый» график модуля, смещенный по оси абсцисс на величину а.

Для того, чтобы уравнение имело корни, должно быть выполнено условие

Примечание: Второй случай можно разобрать и иначе, выполнив условие, что наименьшее значение функции должно быть неположительным. Для этого надо раскрыть модули всеми возможными способами и составить систему неравенств.

С учетом условия, полученного для первого уравнения, пишем ответ:

Тригонометрические уравнения с параметром

Что такое «уравнение с параметром» и его решение – см. §32 справочника для 8 класса

п.1. Уравнения с функцией первого порядка и параметром

Уравнения вида \(F(g(x),a)=0\), где \(g(x)\) — некоторая линейная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично линейным уравнениям с параметром.
Как решать линейные уравнения с параметром – см. Примеры 5-7, §7 справочника для 7 класса.

п.2. Уравнения с квадратичной функцией и параметром

Уравнения вида \(F(g(x),a)=0\), где \(g(x)\) — некоторая квадратичная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично квадратичным уравнениям с параметром.
Как решать квадратичные уравнения с параметром – см. §32 справочника для 8 класса

Например:
Решим уравнение \( cos^4x-(a+2)cos^2x-(a+3)=0 \)
Замена: \(t=cos^2x,\ 0\leq t\leq 1\): \begin t^2-(a+2)t-(a+3)=0\\ D=(a+2)^2+4(a+3)=a^2+4a+4+4a+12=a^2+8a+16=(a+4)^2\\ t=\frac<(a+2)\pm(a+4)><2>= \left[ \begin -1\\ a+3 \end \right. \end Корень \(t_1=-1\lt 0\) не подходит по определению замены.
Второй корень \(t_2=a+3\) должен удовлетворять ограничениям: $$ 0\leq a+3\leq 1\Rightarrow -3\leq a\leq -2 $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin cos^2x=a+3\Rightarrow\frac<1+cos2x><2>=a+3\Rightarrow cos2x=2a+5\Rightarrow\\ \Rightarrow 2x=\pm arccos(2a+5)+2\pi k\Rightarrow x=\pm\frac12 arccos(2a+5)+\pi k \end Ответ:
При \(a\lt -3\cup a\gt -2\) решений нет, , \(x\in \varnothing\)
При \(-3\leq a\leq -2,\ x=\pm\frac12 arccos(2a+5)+\pi k \)

п.3. Другие уравнения с параметрами

При решении других тригонометрических уравнений с параметрами используются тригонометрические преобразования, замены переменных, переход от одного уравнения к системе (совокупности) уравнений и т.п.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение: a) \( sin3x=asinx \)
Формула для тройного угла – см. §16 данного справочника.
\(sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha\)
Подставляем: \begin 3sinx-4sin^3x=a sinx\\ sinx(3-4sin^2x-a=0\\ \left[ \begin sinx=0\\ 3-4sin^2x-a=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ sin^2 x=\frac<3-a> <4>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ \frac<1-cos2x><2>=\frac<3-a> <4>\end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ cos2x=\frac <2>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ 2x=\pm arccos\frac<2>+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ x=\pm\frac12 arccos\frac<2>+\pi k \end \right. \end Первое семейство решений \(x=\pi k\) существует при любых \(a\).
Для второго семейства решений действует ограничение: \begin -1\leq\frac<2>\leq 1\Rightarrow -2\leq a-1\leq 2 \Rightarrow -1\leq a\leq 3 \end Ответ:
При \(a\lt -1\cup a\gt 3\) одно семейство решений \(x=\pi k\)
При \(-1\leq a\leq 3\) два семейства решений \( \left[ \begin x=\pi k\\ x=\pm\frac12 arccos\frac<2>+\pi k \end \right. \)

б) \( sin^2x-5cosx+a=0 \) \begin (1-cos^2x)-5cosx+a=0\\ cos^2x+5cosx-(a+1)=0 \end Замена: \(t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\)
\(t^2+5t-(a+1)=0\)
\(f(t)=t^2+5t-(a+1)\) — это парабола ветками вверх с вершиной: \begin t_0=-\frac52=-2,5,\\ f(t_0)=t_0^2+5t_0-(a+1)=6,25-12,5-(a+1)=-6,25-(a+1) \end За счет параметра \(a\) парабола перемещается по вертикали вдоль оси \(t_0=-2,5\).
Интервал \(-1\leq t\leq 1\) лежит справа от оси, т.е. только одно решение квадратного уравнения попадает в этот интервал. Условие существования этого решения (пересечение оси абсцисс) – разные знаки функции на концах интервала: \begin f(-1)f(1)\leq 0\\ \left(1-5-(a+1)\right)\left(1+5-(a+1)\right)\leq 0\\ (a+5)(a-5)\leq 0\\ -5\leq a\leq 5 \end \(D=5^2+4(a+1)=4a+26\geq 0\Rightarrow a\geq -6,5\)
Условие \(-5\leq a\leq 5\) достаточно для существования решения, при нем \(D\gt 0\).
Получаем: \begin t=\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\Rightarrow cosx=\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\\ x=\pm arccos\left(\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\right)+2\pi k \end Ответ:
При \(|a|\gt 5\) решений нет, \(x\in \varnothing\)
При \(|a|\leq 5,\ \ x=\pm arccos\left(\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\right)+2\pi k \)

в) \( 2cos3x+4cos5x=a^2-4a+10 \)
Исследуем параболу \(f(a)=a^2-4a+10\)
\(D=16-40=-24\lt 0\) — парабола всегда положительна
Вершина: \(a_0=-\frac<-4><2>=2,\ f(a_0)=2^2-8+10=6\)
Таким образом, наименьшее значение функции \(f_=f(2)=6\).
Для суммы \(2cos⁡3x+4cos⁡5x\) значение 6 является наибольшим из возможных.
Получаем систему: \begin \begin 2cos3x+4cos5x=6\\ a^2-4a+10=6 \end \end Нижнее уравнение мы уже решили и получили \(a=2\).
Решаем верхнее уравнение для максимальных значений косинусов: \begin cos3x+2cos5x=3\Rightarrow \begin cos3x=1\\ cos5x=1 \end \Rightarrow \begin 3x=2\pi k\\ 5x=2\pi n \end \Rightarrow \begin x=\frac23\pi k\\ x=\frac25\pi n \end \\ \frac23\pi k=\frac25\pi n\Rightarrow\frac<3>=\frac<5>\Rightarrow k=3m,\ \ m\in\mathbb\Rightarrow x=\frac23\pi\cdot 3m=2\pi m \end
На чертеже видно, что сумма косинусов достигает максимального значения 6 через каждые \(2\pi,\) т.е. полный оборот.
Ответ:
При \(a\ne 2\) решений нет, \(x\in \varnothing\)
При \(a=2,\ x=2\pi k \)

г) \( asin^2x+cos^2x=0 \)
\(a(1-cos^2x)+cosx=0\)
\(acos^2x-cosx-a=0\)
Замена: \(t=cosx,\ -1\leq t\leq 1\)
\(at^2-t-a=0\)
При \(a=0\) квадратное уравнение вырождается в линейное, получаем: \begin cos x=0,\ \ x=\frac\pi2+\pi k \end При \(a\ne 0:\ D=1+4a^2,\ \ t_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt<1+4a^2>><2a>\)
Рассмотрим модуль корня с плюсом: \begin |t_2|=\frac<1+\sqrt<1+4a^2>><2|a|>\gt\frac<1+2|a|><2|a|>\gt 1 \end Таким образом, этот корень не подходит.
Сравним модуль корня с минусом и единицу: \begin |t_1|=|\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>|=\frac<\sqrt<1+4a^2>-1><2|a|>\ ?\ 1\\ \sqrt<1+4a^2>-1\ ?\ 2|a|\\ \sqrt<1+4a^2>\ ?\ 2|a|+1\\ 1+4a^2\leq 4a^2+4|a|+1 \end Получаем, что \(|t_1|\leq 1\). Этот корень нам подходит. \begin cosx=\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\\ x=\pm arccos\left(\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\right)+2\pi k \end Ответ:
При \(a=0,\ x=\frac\pi2+\pi k\)
При \(a\ne0,\ x=\pm arccos\left(\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\right)+2\pi k \)